电势满足泊松方程ppt课件.ppt

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1、第二章 静电场,本章重点：,本章难点：,静电势及其满足的微分方程及边值关系、分离变量法、镜象法,分离变量法（柱坐标）,本章主要内容2.1 静电场的标势及其微分方程2.2 唯一性定理2.3 拉普拉斯方程 分离变量法2.4 镜象法,静电场的基本特点：由相对观察者静止的电荷产生的场，不随时间变化,这两个方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础,左边两式为静电场的基本方程(与磁场无关),2.1 静电场的标势及其微分方程,1静电（势）能,一、静电场的标势,无旋性,有源性,由于无旋性，满足,因而静电场是保守力场，可引入势能,是自由电荷,线性均匀介质,导电物质中的欧姆定律,电磁性质方程,凡保守力都有与

2、其相关的势能，静电场是有势场。,设静电场中P1、P2点电势能分别为：,保守力做功等于势能增量的负值,势能具有相对性，令,约定：一般选取无穷远处电势能为零,静电场与场中电荷qo共同拥有。,取决于电场分布。和场中检验电荷q0无关。可用以描述静电场自身的特性，称为电势。因此电场中某点P的电势表示为左式,2.电势,标量,单位：伏特（V）,具有相对意义，其值与零势点选取有关，但两点间的电势差与零势点选取无关。,若电场对电荷作了正功，则电势下降,相距为 的两点间的电势差为,2.电势,点电荷Q激发的电场强度为,因此电场中某点P的电势为：,（积分路径可以是任意的，这里我们选择沿径向积分最方便）,在多个点电荷电

3、场中的电势为,电势叠加原理,点电荷场中的电势：,在多个点电荷电场中的电势满足电势叠加原理,V,若电荷连续分布于有限区域V内，电荷密度为,平衡。此时，感应电荷有确定的分布密度，而空间中的电场也同时确定。因此，电荷和电场相互制约。求解此种电场和电荷在数学上属于边值问题，即求微分方程的满足给定边界条件的解。,通常，给定的电荷激发电场，电场又引起导体上电荷的重新分布（感应电荷），最后在总电场下达,由于,相距为 的两点的电势差为,因此,电场强度等于电势的负梯度。,二、静电势的微分方程和边值关系,由,、,和,可得在均匀介质中,为自由电荷密度,1.泊松方程静电势的微分方程,给出边界条件就可以确定电势的解,2

4、.电势的边值关系,在两介质分界面两侧相邻的两点P1和P2，其电势差为,在界面上，电势是连续的,由于场强有限，而P1P20，因此,电场法向的边值关系,沿法向,因而,有导体时，出现静电平衡现象，满足：1.导体内部不带净电荷，电荷只能分布于导体表面上；2.导体内部电场为零；3.导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，导体为等势体。,设导体表面的自由电荷面密度，它外面介质的电容率为，可得导体表面的电势的边界条件,导体表面的电势的边界条件,下一节将证明：如果给定区域V内的自由电荷分布，以及区域边界S上的电势或者区域边界的导体所带的总电荷，即能唯一的确定电场。,2.电势的边值关系,三静电场的能量,能

5、量密度,总能量,仅讨论均匀介质,在静电情形下，,可得,总能量,因此,右边第二项,面积分遍及无穷界面，由于，而面积，所以，面积分当r时趋于零。,若已知,总能量为,总能量,若已知,总能量为,左边公式积分只需遍及电荷分布区域V，而且只有作为静电场总能量才有意义，不能看作能量密度,在非恒定情况下，电场和磁场相互激发，其形式就是独立于电荷分布之外的电磁波运动，因而场的总能量不能完全通过电荷或者电流表示出来。,例、,求均匀电场,的电势,解：均匀电场可看作由两无限大平行板组成的电容器产生的电场。因为电荷分布在无穷区域，可选空间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势,注意：零电势的选取问题,电偶极子产生的电势,

6、P点电势：,（无穷远为零点）,求近似值：,(R l),同理,求近似值：,(R l),若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：,例带电Q的导体球（半径为a）的静电场总能量。,解：（方法一）导体球的电荷分布于球面上，整个导体为等势体，球面上的电势为Q/40a，因此，静电场总能量为,解：（方法二）球内电场为零，因此只需对球外积分，静电场总能量为,、引言,静电学的基本问题是：求出在所有边界上满足边值关系或者给定边界条件的泊松方程的解。,2.2 唯一性定理,我们希望知道，需要给出哪些条件，静电场的解才能唯一的确定呢？唯一性定理,唯一性定理的意义：,1.在解决实际问题时有所依据；,2.对许多实际问题往往需

7、要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解，如果尝试解满足唯一性定理要求的全部条件，即是唯一正确的解。,二、泊松方程和边界条件,假定所研究的区域为V，一般情况下V内可以有多种介质或导体，每一种介质自身是均匀、线性、各向同性的。假设V内的自由电荷分布 给定，每一均匀区域的电容率为i，则有泊松方程,i,在两区域Vi和Vj分界面上满足边值关系,边值关系,二、泊松方程和边界条件,i,边值关系,泊松方程和边值关系是电势必须满足的方程，是电场的基本规律。,还必须给出V的边界S上的什么条件，V,内的电势才能唯一的确定呢？,唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，并且在V的边界S上给定（1）电势 或者（2）电势

8、的法线方向偏导数则V内的电场唯一的确定,二、泊松方程和边界条件,边值关系,唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，并且在V的边界S上给定（1）电势 或者（2）电势的法线方向偏导数则V内的电场唯一的确定,唯一性定理的解释：在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足给定的或者/n。,泊松方程,边值关系,唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，且在V的边界S上给定（1）或（2）V内的电场唯一的确定,证明:设有两组不同的1和2满足唯一性定理的条件，则,令,（每个均匀区域Vi内）,在两均匀区域界面上,在整个区域V的边界上,或者,泊松方程,边

9、值关系,唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，且在V的边界S上给定（1）或（2）V内的电场唯一的确定,考虑第i个均匀区域Vi的界面Si上的积分,对所有分区域Vi，求和,在两均匀区域Vi和Vj的界面上，,泊松方程,边值关系,唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，且在V的边界S上给定（1）或（2）V内的电场唯一的确定,在两均匀区域Vi和Vj的界面上，,但是，,因此，上式左边内部分界面的积分互相抵消，只剩下整个V的边界S上的积分，但在S上，,或者,两种情形面积分都等于零。,泊松方程,边值关系,唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，且在V的边界S上给定（1）或（2）V内的电场唯一的确定,两种情形

10、面积分都等于零。因此,上式左边的被积函数,因而在V内各点上都有,即在V内，=常数，1和2至多只能相差一个常数，但电势的附加常量对电场没有影响。,唯一性定理得证。,三、有导体存在时的唯一性定理(均匀单一介质中有导体),总电荷Q为已知，则区域 V内电场唯一确定。,已知，及导体上的,或,当,V内的电荷分布已知,导体中,四、应用举例,1.半径为a的导体球壳接地，壳内中心放置一个点电荷 Q，求壳内场强。,不满足,已知点电荷产生的电势为,但它在边界上,要使边界上任何一点电势为0，,它满足,根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。,可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。,设,2.3 拉普拉斯方程的解 分离

11、变量法,某些情况下，例如有导体存在时，电荷分布于导体的表面，导体内部没有电荷，如果选择导体表面作为区域V的边界，内部=0。泊松方程化为拉普拉斯方程。,一、拉普拉斯方程,静电势的微分方程泊松方程,这一问题的任务是求拉普拉斯方程满足边界条件的解,二、轴对称下拉普拉斯方程的通解,一般情形下，拉普拉斯方程用球坐标表示为,其通解为,一般情形下，拉普拉斯方程用球坐标表示为,缔合勒让德函数（连带勒让德函数）,式中anm，bnm，cnm和dnm为任意常数，由边界条件定出。,二、轴对称下拉普拉斯方程的通解,轴对称情形下，拉普拉斯方程表示为,其通解为,-为勒让德函数,球对称性,根据具体条件确定常数,选择坐标系和电

12、势参考点：坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；,分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解；,（1）外边界条件：电荷分布有限,注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定|s（接地|s=0），或给定总电荷 Q，或给定。,三解题步骤,电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如均匀场中，,（直角坐标或柱坐标），电势参考点可选在坐标原点。,（2）内部边值关系：介质分界面上,一般讨论分界面无自由电荷的情况,例一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心的包围着一个半径为R1的导体球，使这个导体球接地，求空间个点的电势和这个导体

13、球的感应电荷。,解：电荷在球上均匀分布，场有球对称性，与、无关，因此可设壳外和壳内的电势分别为,边界条件为,（1）内导体球接地,（1）内导体球接地,（2）导体球壳为等势体,（3）球壳带总电量为Q，因而,代入边界条件可得,因此有,其中,因而得电势的解,导体球上的感应电荷为,例如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，用分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。,解：(1)边界为球形，选球坐标系，电荷分布在有限区，选,（3）确定常数,在导体壳上,（5）球壳上的感应电荷,以上结果均与高斯定理求解一致。,壳外面,壳内面,作 业,1.一个半径为R的电介质球，极化强度为，电容率为。（1）

14、计算束缚电荷的体密度和面密度；（2）计算自由电荷的体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。2.在均匀外电场中置入半径为R的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差；（2）导体球上带总电荷Q。,、镜像法的概念和适用条件,拉普拉斯方程适用于所考虑区域内没有自由电荷的情况，如有自由电荷，则需通过求解泊松方程得到电场。但是，许多情况下求解比较复杂。,2.4 镜 像 法,在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是唯一正确解。,一种重要的特殊情形是区域内只有一个或几个点电荷，区域边界是导体或介质界面

15、。解该类问题可以应用一种特殊的方法镜像法，,在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是唯一正确解。对于只有一个或几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。如果这种等效能够满足边界条件，则等效电荷就可以用来代替导体面上的感应电荷，从而，问题的解可以简单的表示出来。,镜像法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。,适用情况：a)所求区域有少许几个点电荷，界面上的感应电荷一般可以用假想代替。b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。c)给定边界条件,注意：a）做替代时，

16、所研究区域的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在所求区域之外。b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。c）一旦考虑了假想电荷，不再考虑界面上的电荷分布。d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。,例1.距无限大接地平面导体板a处有一点电荷Q，求空间电势。,解：所求空间为右半空间,右半空间，Q在（0，0，a）点，电势满足泊松方程。,边界上,从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。,因为像电荷在左半空间，所以舍去正号解,解为,解：因导体球接地故球的电势为零。根据镜像法原则假想电荷应在球内。因空间只有一个点

17、电荷，场应具有轴对称，故假想电荷应在轴线上，即极轴上。,例.真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。,设,因 任意的,设,3有一点电荷Q位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间的电势。,假想电荷应在第 I 象限之外。要保证互相垂直的两个接地导体板的电势同时为零，应当放几个像电荷？,解：（1）分析：,x,y,O,x,y,O,作 业,1.接地的空心导体球的内外半径为R1和R2，在球内离球心为a(a R1)处置一点电荷Q，（1）用镜像法求电势。（2）导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？2.接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求空间中的电场。,