电信复变函数与积分变换复变函数CH1 复数ppt课件.ppt

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1、,复变函数与 积分变换,主讲教师：董晓亮,课程名称,复变函数,课程简介,对 象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变函数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分.,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、共形映射等.,复数与复变函数、解析函数、,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处.但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果.,背景,复数的起源：将10分成两个数，二者的乘积是40.-Cardano，1545意大利 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇

2、论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。,复变函数的理论基础奠定于十九世纪，达到全盛。其中：A.L.Cauchy-复变函数的积分 K.Weierstrass-复变函数的级数 G.F.B.Riemann-复变函数的映照性质 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系日益密切.华罗庚在多复

3、变典型域的调和分析做出重大贡献。张广厚与杨乐在复变函数的全纯与亚纯函数族的研究中,首次发现了函数值分布论中的两个主要概念“亏值”和“奇异方向”之间的具体联系，被数学界定名为张杨定理。,俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构设计问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了巨大贡献。,复变函数的应用,主要内容,引言第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数第三章 复变函数的积分第四章 解析函数的幂级数表示方法第五章 解析函数的洛朗级数与孤立奇点第六章 留数及其应用第七章 共形映射*第八章 解析延拓*第九章 调和级数*,1.复数的概念 2.代数运

4、算 3.共轭复数,CH1 1复数,一、复数的概念,1.虚数单位:,对虚数单位的规定:,虚数单位的特性:,复数的概念,判断复数相等,由此可见,在复数中无法定义大小关系.,一般,任意两个复数不能比较大小。,二、复数的代数运算,1.两复数的和:,2.两复数的积:,3.两复数的商:,全体复数引入以上的四则运算后就称为复数域,z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，,4.共轭复数:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反

5、的两个复数称为共轭复数.,例2,解,(conjugate),5.共轭复数的性质:,以上各式证明略.,1.点的表示 2.向量表示法 3.三角表示法 4.指数表示法,二 复数的表示方法,1.点的表示,y 轴除去原点！,2.向量表示法,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴 为始边,以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时),辐角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，,z=0时，辐角不确定.,当z落于一,四象限时，不变。,当z落于第二象限时，加。,当z落于第三象限时，减。,设复数 z=x+iy(z0时)反正切主值,辐角主值,关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：,

6、其中，的化简过程为：,辅助证明：,证,注意：,由向量表示法知,3.三角表示法,4.指数表示法,1.复数的乘积与商 2.复数的乘幂 3.复数的方根,三 复数的乘幂与方根,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.,证明：设z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)=r1r2ei(1+2),1.数的乘积与商,因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,几何意义：将复

7、数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.,定理1可推广到n 个复数的乘积。,要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.,Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,应从集合相等的角度理解,定理2 两个复数的商的模等于它们的模相除，两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角相减.,于是 Argz=Argz2-Argz1 即,由复数除法的定义 z=z2/z1，即 z1z=z2|z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（z10）,证明,z3,z1,z2,由公式有：,注意、是复数的辐角主值，其范围(-,更进一步三者都是三角形的内角，则容易得到平面几何的三角形

8、内角和定理：,设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。,2.复数的乘幂,定义,问题 给定非零复数z=re i(z 0)，求所有的满足n=z 的复数。,3.复数的方根,（开方）乘方的逆运算,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。,几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。,引进复数的几何表示，可将平面图形用 复数方程(或不等式)表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。,例1 用复数方程表示:（1）过两点

9、 zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆。,解（1）z=z1+t(z2-z1)（-t+）,例2 方程 表示 什么图形？,解,1.区域的概念 2.简单曲线（或Jordan曲线)3.单连通域与多连通域,四 区 域,1.平面点集的几个基本概念,D-区域,D的所有边界点组成D的边界.,注：区域都是开的，不包含它的边界点.下面看几个区域的实际例子.,例1 集合,为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两条直线：,例2 集合,为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为 半射线.,例3 集合,为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆.,2.简单曲线（J

10、ardan曲线),令z(t)=x(t)+iy(t)atb;则曲线方程可记为：z=z(t)，atb,简单闭曲线的性质(Jardan定理),3.单连通域与多连通域,例如|z|0）是单连通的；0r|z|R是多连通的.,多连通域,单连通域,1.复变函数的定义 2.映射的概念 3.反函数或逆映射,五 复变函数,1.复变函数的定义,定义,例2,例1,在几何上，w=f(z)可以看作：,定义域,函数值集合,2.映射的概念,以下不再区分函数与映射（变换）.,在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.,复变

11、函数的几何意义是一个映射（变换）,例3,解,关于实轴对称的一个映射,旋转变换(映射),例4,解,图1-1,图1-2,图2,例5,3、反函数或逆映射,例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射,故为多值函数,2支.,定义 设 w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*,例 已知映射w=z3，求区域 0argz 在平面w上的象,例,1.函数的极限 2.运算性质 3.函数的连续性,6 复变函数的极限与连续性,一、函数的极限,定义,几何意义:当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 邻域中,注(1)定义中 的方式是任意的.与一元实变函数相比较

12、要求更高.,(2)w0是复数.,2.运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理1,(3)若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.,例,三、函数的连续性,定义,定理3,例4 证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。,证明,定理4 连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。,有界性：,例2,1.复球面与无穷大 2.无穷远点,7 复球面与无穷远点,一、复球面与无穷大:,在点坐标是(x,y,u)的三维空间中，把xOy面看作是z面。考虑球面S：,取定球面上一点N(0,0,1)称为球极。,我们可以建立一个复平面C到S-N之间的一个1-1对应（球极射影）：,球极射影:,我们称上面的映射为球极射影：,(x,y,0),(x,y,u),(0,0,1)三点共线 x:y:-1=x:y:u-1;,二无穷远点:,对应于球极射影为N，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，,称 为扩充复平面，记为。,关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：,它和有限复数的基本运算为：,这些运算无意义：,