梁昆淼数学物理方法第8章ppt课件.ppt

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1、第八章 分离变数法,8.2 非齐次振动方程和输运方程,8.3 非齐次边界条件的处理,8.1 齐次方程的分离变数法,8.4 泊松方程,（一）、分离变数法,8.1 齐次方程的分离变数法,考虑定解问题：,泛定方程,边界条件,初始条件,弦两端固定,弦两端固定，之间形成驻波,驻波的一般式,分离变量,边界条件,代入泛定方程,代入边界条件,和,与x 和 t 无关,令,边界条件有,（1）、0,以下求X,而由边界条件,（1）、0,故 0 不可能,（2）、=0,而由边界条件,故=0 不可能,（3）、0,而由边界条件,因为,所以,有,由T满足的方程,称为本征值,是Furier级数的基本函数族,分离变数的解,当 n=

2、1，称为基波；,称为本征振动,本征振动的角频率为,频率为,当 n 1，称为 n 阶谐波,本征振动的线性叠加仍满足泛定方程和边界条件，故为一般解,An 和 Bn由初始条件确定,初始条件,初始条件,初始条件,称为本征振动,系数,解题过程：,泛定方程,得X和 T,分离变数,边界条件得本征值,本征振动,初始条件得本征振动系数,（二）、例题,例：两端自由振动的自由杆定解问题：,泛定方程,边界条件,初始条件,弦两端自由,驻波的一般式,分离变量,边界条件,代入泛定方程,代入边界条件,和,与x 和 t 无关,令,边界条件有,（1）、0,以下求X,仅得无意义的解,（2）、=0,C0 任意,（3）、0,而由边界条

3、件,因为,所以,有,由T满足的方程,称为本征值,是Furier级数的基本函数族,分离变数的解,初始条件,所有本征振动的叠加为,初始条件,本征振动,系数,例：细杆热传导问题，初始一端温度为0，另一端为 u0,零的一端温度保持不变，另一端与外界绝热。求细杆温度,泛定方程,边界条件,初始条件,驻波的一般式,分离变量,边界条件,代入泛定方程,代入边界条件,和,与x 和 t 无关,令,（1）、0，=0,以下求X,仅得无意义的解,（2）、0,而由边界条件,因为,所以,有,由T满足的方程,为本征值,分离变数的解,Ck 由初始条件定,初始条件,例：矩形薄板的稳定温度分布问题，边界条件如图所示。,泛定方程,边界

4、条件,分离变量,非齐次边界条件，化简,泛定方程,边界条件,分离变量,边界条件,泛定方程,边界条件,和,以及,有,边界条件,所有本征振动的叠加为,故,故,例P160，题8：铀块的中子扩散和增殖过程。每秒钟在单位体积中产生的中子数用 u 表示。研究厚为l的层状铀块。求临界厚度。,泛定方程,边界无中子流入与流处,临界条件,n=0,l=0无意义,n=1,为最小厚度,中子浓度分布,例P160，题10：薄膜的限定源扩散，膜厚为l,膜两面的表层已有一定杂质，如每单位表面下杂质总量为 0，但此外不再有杂质进入薄膜。,泛定方程,边界无杂质进入薄膜,每单位表面下杂质总量为 0,有解,代入初始条件,例：输电线影响带

5、电云层与地间的电场,柱外泛定方程,导体为等势体，不妨取零点在导体上 得,Laplace 方程在极坐标下的表达方程为,边界条件,空间一点电势为 u,无限远处，Ey=0,Ex=E0,即：,泛定方程,边界条件,解：,令,因为,常微分方程,为欧拉方程,令,则,下面确定系数,边界条件,边界条件,若导体原来不带电D0=0,例P161题19：半径为a,表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射，阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为q，求柱内稳定温度分布。,泛定方程,稳定温度分布,一般解,稳定温度分布,一般解,代入边界条件,在0，2区间展开付氏级数,考虑定解问题：,泛定方程,边界条件,初始条件,弦两端固定,用式,代入方程

6、，不能分离变量,8.2 非齐次振动方程和输运方程（齐次边界条件）,泛定方程,边界条件,分离变量得本征方程,对应齐次方程为,1、齐次解,一、Fourier级数法,仿照常数变易法，令,2、Tn(t)的解,泛定方程,将,代入泛定方程,其中,将,代入初始条件,例：求定解问题：,泛定方程,边界条件,初始条件,解：,代入泛定方程有,将,代入初始条件,有,考虑定解问题：,另一方法：考虑线性叠加法,令,有,考虑强迫弦振动定解问题：,f(x,t)表示单位长度、单位质量作用力,f(x,)表示 内的冲量,这个冲量使得系统的速度有一定的增量，即 f(x,),(二）、冲量定理法,现在，我们把在时间 内得到的速度增量看成

7、是 t=瞬时集中得到的，而在 的其余时间里没有冲量的作用，即认为在这段时间内没有力的作用，故方程是齐次的。t=时的集中速度可置于“初始”条件中，得到的关于瞬时力引起的振动的定解方程为：,显然,令,而,例：用冲量法求定解问题：,泛定方程,边界条件,初始条件,解：,用冲量法，上述定解问题变为 v 的定解问题,代入初始,有,初始,有,于是,于是,考虑定解问题：,泛定方程,边界条件,初始条件,用式,代入方程，不能分离变量,8.3 非齐次边界条件的处理,1、边界条件的齐次化,2、辅助函数w(x,t)的选取,令,使,具有上述性质的w(x,t)有多个，最简单选取一条 w(x,t)x 直线,于是,定解问题成为

8、：,泛定方程,边界条件,初始条件,弦两端固定,例：研究一端固定，一端作周期运动的弦振动,泛定方程,边界条件,初始条件,解：,令,再令,有,3、其它非齐次边界条件的处理,泛定方程,边界条件,初始条件,令,使,定解问题：,边界条件,8.4泊松方程,泊松方程,与时间无关,不管边界条件如何，令特解 v,若,就转化为 Laplace 方程,例：在圆域内求泊松方程边值问题,泊松方程,由对称性,1）、寻找泊松方程的特解,解：,考虑,令特解 v,2）、泊松方程的转化为,边界条件,泊松方程,为 Laplace 方程,方程一般解,圆域内,代入边界条件,边界条件,例：在0 xa 0yb 上求泊松方程边值问题,泊松方程,1）、寻找泊松方程的特解,解：,考虑,2）、泊松方程的转化为,其解,Fourier展开,其解,边界条件,例：研究半带形区域的电势 u(x,y),Laplace方程,解：,考虑,等式右边作付氏展开,