高等数学一阶微分方程ppt课件.ppt

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1、1,的微分方程,称为可分离变量的微分方程.,2.解法,1.定义,分离变量,6.2.1 可分离变量的微分方程,6.2 一阶微分方程,或,可化为形如,2,求得积分后,即得原微分方程的通解,两端积分,注意:如果,则常函数 也是方程的一个解.,这样的解并没有包含在通解之中,称之为奇解.,3,解,分离变量得,两端积分,得,从而,故原方程的通解为,而 也是方程的一个解.,例 求微分方程 的通解.,4,例 求方程 的通解.,解,分离变量,两端积分,为方程的通解.C为正常数.,多数情况下，微分方程的解只能用隐函数的形式给出，称之为方程的隐式解。,5,练习,解,通解为,C为任意常数.,P18 1(1),6,解

2、先求其通解,分离变量,得,两端积分,得,例 求解定解问题(初值问题):,整理得,原方程的通解为,7,注意:,得特解,得特解,得,于是所求定解问题的特解为,8,的一阶微分方程,称为齐次方程.,1.定义,6.2.2 齐次方程,例如,方程,可化成,是齐次方程.,可化为形如,9,分离变量,得,两端积分,2.解法,作变量代换,代入原方程,得,求得积分后再将 代入,即得原方程的通解.,化为可分离变量的方程.,则,10,解 原方程可化为,是齐次方程.,代入原方程得,两端积分,得,例 求微分方程 的通解.,11,解,得原方程的通解为,即,也是原方程的解,将 代入,及,例 解方程,12,分离变量,得,两端积分,

3、将 代入，得原方程的通解,代入原方程得,或,13,解,练习,14,求微分方程的通解,微分方程的通解为,解,练习,15,解方程,解,两边积分,练习,16,即得,而，故原方程的通解为,17,称为一阶线性非齐次微分方程.,称为一阶线性齐次微分方程.,6.2.3 一阶线性微分方程,1.定义 未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程,通常称此齐次方程是上述非齐次方程所对应的齐次方程,一阶线性微分方程的标准形式,线性,一阶,18,容易验证：解的结构：,一、如果 是非齐次方程的解,则它们的差是对应齐次方程的解。,结论:非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解.,二、如果 分别是非齐次方程

4、和齐次方程的解,则 是非齐次方程 的解.,19,齐次方程的通解为,(1)先解线性齐次方程,使用分离变量法,2.解法,积分,得,20,(2)再解线性非齐次方程,设非齐次方程通解形式为,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,称为常数变易法.,待定函数,21,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为,或,非齐次方程的一个特解,对应齐次方程通解,22,解 此方程为一阶线性方程,(1)先求对应的齐次方程,分离变量为,积分,得,对应的齐次方程通解为,例 求微分方程 的通解.,23,（2）设原非齐次方程通解为,代入原方程,得,积分,得,故,原方程通解为,24,解法1,例 求解微分方程 的通解,先求对应齐

5、次方程 的通解,1.,2.,25,例 求解微分方程 的通解,解法2,这是一阶线性非齐次方程,其中,26,解,例,27,练习,解初值问题:,解,将方程写为,由初始条件,特解,一阶非齐次线性方程,28,例 解方程,若将方程写成,则它既不是线性方程,又不能分离变量.,若将方程写成,以x为未知函数,即,一阶线性非齐次方程.,分析,y 为自变量的,29,此外,y=1也是原方程的解.,解,30,解 原方程可化为,设,原方程通解为,即,例 求微分方程 的通解.,31,解,这是典型的一阶线性方程.,分析,由通解公式有,练习,32,的微分方程,称为伯努利方程.,*6.2.4 伯努利方程,1.定义,2.解法 通过变量代换化为线性微分方程.,形如,方程的两边除 得,则,代入原方程整理得,即得伯努利方程的通解.,它是一阶线性方程,求出其通解,再将 代入,33,解,此方程是伯努利方程,其中,原方程化为,其通解为,故,原方程的通解为,例 求微分方程 的通解.,34,作业,习题6.2(18页),1.(2)(3)(4)(5)2.(1)(4)4.(2)5.(1)(2)(4).,