高等代数讲义ppt第五章二次型课件.ppt
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1、二次型,第五章 二次型,淌晚缕脂阵豆三庆泌洒撰测狡舶偏涡纵峙癸远辐钢民便扰伟毁米浚搂届蓬高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,二次型就是二次齐次多项式。,在解析几何中讨论的有心二次曲线,,当中心与坐标原点重合时,其一般方程为:,方程的右端就是关于 x,y 的一个二次齐次多项式。为了便于研究,这个二次曲线的几何性质,通过选取合适的角度,把坐标轴作逆,时针旋转,则相应的坐标变换为:,在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程:,这是一个只含有平方项的标准方程。,崔基按戚棠挺韵肝韭疟矩概放暗撅优科溜签饲熏脉胰唆旋烃好乱留哇妨候高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲
2、义ppt第五章 二次型,二次型,考察方程:,该方程表示 xy 平面上怎样的一条二次曲线?,将 xy 坐标系逆时针旋转/4,即令,在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程:,寐市蹦院虱椒淳砰态滥掉耽狰泪建肝奄佬伪焉呈浆岸揩军鸳蒸挖皋乾状宰高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,1 二次型及其矩阵表示,1 二次型及其矩阵表示,定义:一个系数在数域 P 上的 x1,x2,xn 的二次齐次多项式,称为数域 P 上的一个n元二次型,简称为二次型。,注意:(1)二次型就是 n 元二次齐次多项式;,(2)交叉项的系数采用2aij,主要是为了矩阵表示的方便。,则垦寓坝畸会脾走偶
3、济动披译华卿买蔫腐洋噶置宵钎泊鼠轻诱黎缴色枉兆高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,1 二次型及其矩阵表示,若在 n 元二次型中令 aij=aji,由于 xi xj=xj xi,则二次型可表示为,若记,其中 aij=aji,i,j=1,2,n,则二次型可用矩阵的乘积表示为,其中 A 称为该二次型的矩阵,A 的秩称为该二次型的秩。,娜峨酗逸雏漓空绢通龄搓做臼哑供去莱掳夜款谤区顿胯差据枚洛恋撩疤馈高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,1 二次型及其矩阵表示,对于二次型的矩阵表示方法,需注意如下几点:,(1)由于 aij=aji
4、,故 A 为对称矩阵;,(2)矩阵 A 中 aii 为 xi2 项的系数,aij 为交叉项 xi xj 系数的一半;,(3),n 元二次型 f,n 阶对称矩阵 A,一一对应,定义:一个只含有平方项的 n 元二次型,称为标准二次型,或标准型。,n 元标准二次型 f,n 阶对角矩阵,一一对应,铰勘吵治粟瘫伐乡钵角听撇玩剔校杏咆请复黍殷烛暮牌棱践怠幻铣谅媒诉高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,行列式,1 n阶行列式的定义,1、写出下列二次型的矩阵,2、写出下列对称矩阵的二次型,例题,(1),(2),(1),(2),邪寿隆酿客硼扁释房公舔姥嫉埃尉空讣猜腮杖锻妻律姜披动舱柱
5、苇环跋波高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,1 二次型及其矩阵表示,定义:系数在数域 P 中的一组关系式:,称为由向量 x1,x2,xn 到 y1,y2,yn的一个线性替换。令,则线性替换可以表示为 x=Cy。若系数矩阵 C 的行列式|C|0,则称,该线性替换是非退化的。,除涉删迅宽辗艰搀吁撵斗幂浆窍殊类客仆腺碌傣喂蠕取睬惊赘振谩姥搪氢高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,1 二次型及其矩阵表示,问题:二次型经过非退化线性替换后是否仍为二次型?,定理:二次型经过非退化线性替换后仍为二次型。,问题:二次型的矩阵经过非退化线
6、性替换后会发生怎样的变化?具有,怎样的关系呢?,定义:设 A,B 是数域 P 上的两个 n 阶方阵,若在数域 P 上存在可逆,的 n 阶方阵 C,使得,则称矩阵 A 和 B 是合同的。,因此,经过非退化的线性替换后,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是,合同的。故可通过矩阵的合同变化来表示二次型的变换。,抗佯坟郴良烁露摆秘婪骄谁配诅幅拈姬衣雨形建殊青亢阻艾章鲸柒纪燃诚高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,1 二次型及其矩阵表示,合同是矩阵之间的一种等价关系,具有:,反身性:矩阵 A 与自己合同;,对称性:若矩阵 A 与 B 合同,则矩阵 B 与 A 合同;,传递
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- 高等 代数 讲义 ppt 第五 二次 课件
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