高等代数考研复习矩阵ppt课件.pptx

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1、高等代数考研复习,2014年8月,第二章 矩阵,矩阵是高等代数研究的主要对象之一，也是数学及许多科学领域中最重要的工具.矩阵问题丰富多彩，技巧性高.在高等代数中扮演着重要角色.本章主要复习内容:(1)矩阵运算与特殊矩阵(2)初等变换与矩阵的逆(3)矩阵的秩(4)分块矩阵及应用,1.矩阵的运算与特殊矩阵(1)矩阵的线性运算(a)矩阵的加法 设 是数域P上的矩阵，和定义为.(b)数乘矩阵 设，与 的乘积定义为 矩阵加法与数乘称为矩阵的线性运算，且满足运算律.,(2)矩阵的乘法(a)设 定义 与 的乘积为：其中，注：两个矩阵只有当前面矩阵的列数与后面矩阵的行数相等时才能相乘.满足的运算律有：结合律；

2、分配律；数与乘法的结合律即：但是，乘法一般不满足交换律即:有三种原因，你是否知道？(b)方阵的幂及矩阵多项式,称为矩阵的方幂.矩阵多项式：设 为方阵，称 为矩阵 的多项式。对任意的 都有(3)矩阵的转置(a)将矩阵 的行列互换，所得到的矩阵称为 的转置。记为 或,(b)转置的性质 特别(4)特殊矩阵(a)对角矩阵 对角矩阵的和、差、积、方幂为主对角线上元素的和、差、积、方幂.它的逆为,(b)对称阵与反对称阵 若方阵 满足，即 则称A为对称矩阵.若方阵 满足，即 则称A 为反对称矩阵.结论1：任一方阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和即 结论2：奇数阶反对称矩阵的行列式为零；偶数阶反对称矩阵的行

3、列式可能为零也可能非零.,(c)基本矩阵 形如 的矩阵称为基本矩阵.结论1：任一矩阵都可由基本矩阵线性表出.结论2：与任意矩阵可换的矩阵一定是数量矩阵.证明可利用基本矩阵.(d)正交矩阵，幂等矩阵，幂零矩阵，对合矩阵,(e)可换矩阵 若方阵满足 则称矩阵A与B可换.结论1：与对角阵(主对角元互不相等)可换的矩阵只能是对角矩阵.结论2：与 可换的矩阵只能 是同型的准对角矩阵.当A与B可换时，下面结论成立.的展开式成立.特别，当 时，上述公式应用广泛.,题型分析：例1 设,求.求矩阵的方幂一般有三种方法：归纳法，(2)可换公式法，(3)相似对角化法.由于矩阵A是特殊矩阵，所以使用可换公式法简单！例

4、2 设 为任意多项式，求出 的表达式.,例3 设A、B为n阶方阵，且 证明：分析：证明A、B可换，联想到可逆定义即可获结论.例4 设 求所有与A可换的矩阵.提示：先化简，后计算.例5 设 均为n阶方阵，其中 的元素均为1，证明方程 仅有零解.注意：这种元素均为1的矩阵有特殊性质,以后还会遇到！,2.初等变换与矩阵的逆(1)初等变换(a)交换矩阵的两行(列).(b)矩阵的某一行(列)同乘一个非零数.(c)矩阵的某一行(列)的常数倍加到另一行(列).(2)初等矩阵 对单位矩阵 作一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵有三种形式：,结论1：初等矩阵都是可逆的，且结论2(变换与矩阵乘积的关系)在

5、矩阵A的左(右)侧乘初等矩阵，相当于对矩阵A作一次相应的行(列)初等变换.(3)矩阵的等价 对矩阵A做初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价.,若 则矩阵 与矩阵 等价，称为 的等价标准形.即存在可逆矩阵 使,结论1：,等价标准形在处理矩阵问题中有重要应用！,结论2：可逆矩阵的等价标准形是 结论3：矩阵A与B等价的充要条件是(4)逆矩阵(a)逆矩阵的定义 对于方阵 如果存在方阵 使得 则称矩阵 可逆，为 的逆矩阵，记为(b)逆矩阵的性质,(c)伴随矩阵及相关公式 设 称 为A的伴随矩阵，下面公式成立：(d)矩阵可逆的判别条件 矩阵 可逆的充分必要条件为：也有等价条件(e)求逆矩阵的方法,伴

6、随矩阵法：此法仅限于二阶矩阵.初等变换法：题型解析:(a)与逆矩阵定义及性质相关问题.(b)与伴随矩阵有关问题.（c）矩阵方程解法.,证明A 可逆，并求 方法一：初等变换法.方法二：利用矩阵的特殊性及运算性质.例2 设A为n阶方阵,若 可逆且求证:(1)(2)例3 设A 满足 证明：与 可逆，并求逆.,例1 设,例4 已知 均可逆，证明：可逆，并求逆.例5 已知 可逆，证明：可逆，且 这是一个较难的问题，可以灵活地从几个方面去考虑：(a)利用逆的定义(b)利用反证法，构造齐次方程组(c)利用增补项方法构造,下面问题与伴随矩阵有关，四个结论是重要的.(a)(b),(c)(d)要求会证明四个公式，

7、清楚他们的联系.,且 求矩阵 例2 已知A为3阶非零方阵，且 证明，A可逆，并求,例1 已知A的伴随矩阵,例3 设n阶矩阵A满足,又矩阵,其中,为A中元素的代数余子式，证明,例4 证明：与任意n阶可逆矩阵可交换的矩阵一定与任意n阶矩阵可交换.,例5 如果可逆的n阶方阵A的每行元素之和为a，试证明：的每一行元素之和为,矩阵方程是线性代数研究的重要对象.矩阵方程求解大致分为两步进行：先化简方程，然后求解.如果所求未知矩阵只有一个，通过移项，合并同类项提取公因子等使之变形为 或 或的形式，再通过左乘或右乘可逆矩阵，即可求出未知矩阵.如果矩阵方程除含有所求的未知矩阵外，还含有未知伴随矩阵、未知可逆矩阵

8、、未知矩阵的转置等形式时，常常先利用公式进行转化，转化为第一种形式.,例1 设3阶矩阵A与B满足 若,求矩阵B.,例2 设3阶方程A与B满足 若,求矩阵B.,例3 已知矩阵A、B如下，且满足求,例4 设A为 矩阵，证明：矩阵方程,必有解.,证明：设 则存在可逆矩阵P、Q使得,令,于是有,3.矩阵的秩(1)矩阵秩的两种定义：a)矩阵A的行秩等于列秩，称为A的秩.记为 b)的充分必要条件为A至少有一个 阶子式非零，但是所有 阶子式全为零.注：掌握子式、主子式、顺序主子式的概念.,(2)矩阵秩的求法 依据：初等变换不改变矩阵的秩.对矩阵 作初等变换将它化为阶梯形，则阶梯形矩阵非零行的个数为矩阵的秩.

9、(3)矩阵秩的性质 a)b)若矩阵 可逆，则 c)d)e),f)特例，若 则 g)设 则h)设 则题型分析：1)矩阵秩的求法与简单性质应用 例1 讨论矩阵 的秩.,例2 设A是一个 矩阵，B是 矩阵，如果 试求 并证明 例3 设A,B是n阶方阵，且 求 例4 设A为n阶方阵，且 证明:(1)(2)若 则,2)利用齐次线性方程组的解处理矩阵秩的问题 例1设，证明：例2 证明：例3 证明：的充分必要是 与 同解.例4 设A、B、C是三个n阶矩阵，如果 则 例5 设A为任意n阶方阵，证明：,3)秩不等式的证明 例1(西尔维斯特不等式)证明：熟悉分块矩阵的应用！例2 设 都是n阶方阵，且证明：例3 设

10、 证明：,4.分块矩阵 1)分块矩阵乘法与转置 a)b)设 则,2)常见分块法 a)行、列分块.b)二分块 c)四分块 d）准对角矩阵 3)分块矩阵的初等变换与初等矩阵 a)交换两行，b)某一行(列)左(右)同乘一个可逆矩阵.c)某一行(列)的矩阵倍加到另一行.,分块初等矩阵：将 作一次初等变换得到的矩阵称为分块初等矩阵.结论：对分块矩阵做一次行初等变换，相当于在它的左边乘上相应的分块初等矩阵.题型分析:(1)分块及分块乘法的应用.(2)分块初等变换的应用.例1 设B为 矩阵，C为 矩阵，且 证明：1)如果 那么，2)如果 那么，,例2 设，若 则存在秩为r的矩阵 与使得例3 设A是n阶方阵，

11、证明：存在可逆矩阵B及一个幂等矩阵C使得例4 设 当 可逆时，求两种方法，定义法，初等变换法。例5 设 都是n阶方阵，且 当A可逆时，证明：,例6 设 证明:(1)(2)若 则 上面结论在 时称为降阶公式，在行列式计算中扮演重要角色.下面两个例子说明它的应用.例 计算行列式(1)(2),例7 证明：设A为n阶方阵，证明:的充分必要为 注：本题的充分性主要说明构造分块矩阵解决要证明的问题!例8 设A是 矩阵,证明：例9 设 且A的列向量组线性无关，证明：的任意 个列向量有相同的相关性.,下次再见！,行列式是高等代数中的一个基本概念，它不仅是研究线性方程组理论的有力工具，而且在求逆矩阵、求矩阵的秩

12、、判断向量组的线性相关性以及求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都起着重要的是作用.本章复习内容分三个部分：(1)行列式定义(2)行列式性质(3)行列式计算.定义是基础，性质是关键，计算是核心.,第一章 行列式,二阶三阶行列式是使用对角线法定义的，四阶以上的行列式对角线法不成立.n阶行列式是通过对二阶三阶行列式定义的分析、归纳总结得到的.1.1 行列式的定义(1)项的构成(2)项的个数(3)每项的符号,1 行列式的定义,其中 是 的一个排列.,例1 已知,求 与 的系数.,1.2 排列的性质(1)对换改变排列的奇偶性.(2)奇偶排列各半.(3)任一排列都可通过一系列对换变为自然排列，并且所

13、做的对换次数的奇偶性与排列的奇偶性相同.,例2 求,2.行列式的性质,(1)(对称性).反应了行与列具有相同的性质.(2)(互换性)行行互换行列式反号.(3)(比例性)两行对应成比例，行列式为零.(4)(数量性)行有公因子可提到行列式之外.(或数K乘行列 式等于数K 乘行列式的某一行.)(5)(倍加性)某一行的倍数加到另一行，行列式不变.,(6)(拆分性),(7)行列式展开定理-降阶定理 两个概念：余子式，代数余子式 关系：定理：推论：,(8)Laplace定理 K 阶子式()，K 阶代数余子式，主子式，顺序主子式.定理：在行列式D 中，任意选定K 行，由这K 行元素所组成的一切K 阶子式与它

14、们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。,例1 设,求 D 的第K行元素的代数余子式之和，即,例2 计算,例2推广为,3.行列式计算中常用的结论,(1)对角线行列式,(2)三角形行列式,下三角,(3)范德蒙德行列式 由一组数的连续方幂(从0到n)构成的行列式称为范德蒙德行列式.,对范德蒙德行列式要求会证明！方法：用逐行想减法降阶得递推公式，然后使用数学归纳法证明.,(4)对称行列式、反对称行列式 若 或 则称 为对称行列式.若 或 则称 为反对称行列式.结论：奇数阶反对称行列式为零.(5)分块行列式,A为n阶方阵，B为m阶方阵.,(6)行列式乘积公式：(i)(ii)(iii)4 行列式的计算,今天是星期六20003 222222,2009,学学雪雪,