高等代数下复习ppt课件.ppt

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1、高代复习大纲,2012春,题型,选择题填空题小计算题大计算题证明题,主要内容,二次型线性空间线性变换-矩阵欧几里得空间,二次型,合同变换化标准形正惯性指数、负惯性指数、符号差实二次型、复二次型的合同的等价条件,定理：数域P上任一对称矩阵合同于一 个对角矩阵.,实对称矩阵A、B合同,指数相等.,复对称矩阵A、B合同,实二次型,正定性定义正定矩阵,2)实对称矩阵A正定,正定矩阵是可逆矩阵.,A的顺序主子式 Pk 全大于零.,例用合同变换求下面二次型的标准形,作非退化线性替换X=CY,则二次型化为标准形,令,则,例、判定下面二次型是否正定.,其顺序主子式,正定.,解：的矩阵,解：的矩阵,A的第k阶顺

2、序主子式Pk,（习题7）,正定.,例5、证明：,为半正定二次型.（习题15）,证法一：,故，f 半正定.,证法二：,考虑二次型,则,则对,线性空间,线性空间定义基、坐标过渡矩阵扩基定理直和个等价条件同构定义,数域P上的两个有限维线性空间 同构,例（1）证明：线性空间Pxn是n 维的，且,（2）证明：1，xa，(xa)2，(xa)n1,1，x，x2，xn-1 为 Pxn 的一组基,也为Pxn的一组基,证:（1）首先，1，x，x2，xn1是线性无关的,1，x，x2，xn-1为Pxn的一组基，,从而，Pxn是n维的.,其次，,可经 1，x，x2，xn-1线性表出,注：,在基1，x，x2，xn-1下的

3、坐标就是,此时，,（2）1，x-a，(x-a)2，(x-a)n-1是线性无关的,即,f(x)可经1，x-a，(x-a)2，(x-a)n-1线性表出.,1，x-a，(x-a)2，(x-a)n-1为Pxn的一组基,在基1，x-a，(x-a)2，(x-a)n1下的坐标是,注：,此时，,下的坐标，其中,例5在线性空间 中求向量 在基,过渡矩阵其中,并求向量 在基 下的坐标.,而，,解：,在基下的坐标就是,设在基下的坐标为，则,所以在基下的坐标为,的过渡矩阵，其中,解：设,则有,或,，,从而有,它扩充为P4的一组基，其中,例7 求 的维数与一组基，并把,解：对以为列向量的矩阵A作,初等行变换,由B知，为

4、 的一个极大,故，维 3，,就是 的一组基.,无关组.,则 线性无关，从而为P4的一组基.,例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，,证：证维数相等.,证明：,首先，可表成,其次，若 则,所以，1，i为C的一组基，,又，,所以，,故，,线性变换,线性变换定义线性变换的矩阵相似矩阵特征值、特征向量可对角化定义,哈密尔顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理,定理设 为 维线性空间V的一个线性变换，,则 可对角化 有 个线性无关的特征向量.,线性变换,值域与核定义若当标准形,例1.设线性空间 的线性变换为,求在标准基下的矩阵.,解：,例3.设 为线性空间V一组基，线性变换在,这组基下的矩阵为

5、,为V的另一组基，且,（1）求 在 下的矩阵B.,（2）求,解：（1）由定理4，在基下的矩阵,（2）由有,于是,解：A的特征多项式,例2.设线性变换在基 下的矩阵是,求的特征值与特征向量.,故的特征值为：（二重）,把 代入齐次方程组 得,即,它的一个基础解系为：,因此，属于 的两个线性无关的特征向量为,而属于 的全部特征向量为,不全为零,因此，属于5的一个线性无关的特征向量为,把 代入齐次方程组 得,解得它的一个基础解系为：,而属于5的全部特征向量为,例3.设求,解：A的特征多项式,用去除得,练习1：已知为A的一个特征值，则,（1）必有一个特征值为;,（2）必有一个特征值为;,（3）A可逆时，

6、必有一个特征值为;,（4）A可逆时，必有一个特征值为.,（5）则 必有一个特征值为.,例2.问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使,为对角矩阵.这里,得A的特征值是2、2、-4.,解:A的特征多项式为,对于特征值2，求出齐次线性方程组,对于特征值4，求出齐次方程组,的一个基础解系:（2、1、0），（1、0、1）,的一个基础解系:,令,则,所以A可对角化.,线性变换在此基下的矩阵为,1)求 及,2)在 中选一组基，把它扩充为V的一组基，,并求 在这组基下的矩阵.,并求 在这组基下的矩阵.,3)在 中选一组基，把它扩充为V的一组基，,例3、设是线性空间V的一组基，已知,解：1）先求 设 它在,下

7、的坐标为,故,由于 有 在 下的坐标为,解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：,由于 的零度为2，所以 的秩为2，,又由矩阵A，有,即 为2维的.,再求,从而,是 的一组基.,2）因为,从而有,所以，线性无关，,就是 的一组基.,而,可逆.,从而，线性无关，即为V的一组基.,在基 下的矩阵为,3）因为,可逆.,而,从而 线性无关，即为V的一组基.,在这组基下的矩阵为,-矩阵,初等变换化标准形三大因子行列式因子不变因子初等因子矩阵相似定理,数字矩阵 相似 与等价.,例 用初等变换化矩阵为标准形.,解：,即为 的标准形.,例、求 矩阵的不变因子,的非零二级子式为:,解：1）的非零1级子式为:,又

8、,所以，的不变因子为：,2）,又,而,的不变因子为,练习：求 的不变因子,答案:,例1.证明：下列三个矩阵彼此都不相似.,证：的不变因子是：,的不变因子是：,的不变因子是：,故 的不变因子各不相同，因此不相似。,例2、求矩阵A的初等因子,解：对 作初等变换,A的初等因子为:,练习,求初等因子：,例1、求矩阵A的若当标准形.,解：,的初等因子为,故 A的若当标准形为,欧氏空间,欧氏空间定义正交度量矩阵标准正交基定义施密特(Schmidt)正交化正交矩阵正交变换定义分类：旋转、镜面反射实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵,欧氏空间,正交相似合同最小二乘法,(定理7)对 总有正交矩阵T，使,例3、已知,在通常的内积定义下，求,解：,又,通常称为与的距离，记作,例1.把,变成单位正交的向量组.,解：令,正交化,再单位化,即为所求,例1设,求一正交矩阵T使 成对角形,解：先求A的特征值,A的特征值为（三重）,其次求属于 的特征向量，即求解方程组,得其基础解系,把它正交化，得,再单位化，得,这是特征值(三重)的三个单位正交特征向量，,也即是特征子空间 的一组标准正交基,再求属于 的特征向量，即解方程组,得其基础解系,再单位化得,这样 构成 的一组标准正交基，它们,都是A的特征向量，正交矩阵,使得,