组合数学机械化通用程序库软件V10用户手册.docx

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1、30组合数学机械化通用程序库软件V1.0用户手册一、 引言本系统的名称为“组合数学机械化通用程序库软件V1.0”，是由南开大学研发的。本软件的首批用户是南开大学组合数学中心的老师和研究生。本用户手册是关于组合数学机械化通用程序库软件的帮助性文件，目的在于描述软件的安装和使用，重点在于阐述程序库中主要函数的理论背景、调用格式及输出结果。预期参考人员包括用户、测试人员、开发人员、项目管理者和其他质量管理人员。 本用户手册中涉及到如下专用术语和外文单词缩写形式：a) 组合恒等式机器证明：Zeilberger在Gosper算法的基础上提出了一套证明组合恒等式的系统方法，后来又提出了WZ-对的方法，不仅

2、能证明许多已有的恒等式，还能发现一些新的恒等式。其主要思想是证明组合恒等式的两边满足相同的递推关系，然后验证等式两边在初值情况下相等。b) 对称函数理论：对称函数理论是代数组合学中的一个重要研究领域，它主要研究对称群和对称多项式的代数性质和组合性质，在数学的其他分支和数学物理中有广阔的应用，是一个受到广泛关注的研究方向。c) 组合双射理论：组合双射是指在同样数量的两个对象之间的对应。该理论是组合计数理论的一个重要研究方向，有助于理解各种组合对象之间的密切联系。d) q-级数：主要内容为超几何级数的q-模拟。利用组合对应、算子理论、基本变换、反演、自动证明等方法研究q-恒等式和q-级数的性质。e

3、) APCI：Autoproof of Combinatorical Identitiesf) SYMF：Symmetric Functionsg) EPPT：Enuemrating Paths, Permutations and Treesh) CPQS：Computation Package for q-Seriesi) EVST：Extremal Value of Set Theoryj) PAPM：Package for Applications in Probability Method相关参考资料包括：a) 组合数学机械化通用程序库软件V1.0技术总结报告b) 组合数学机械化通用程

4、序库软件V1.0概要设计说明书c) 组合数学机械化通用程序库软件V1.0详细设计说明书d) 软件设计文档国家标准GB8567-88二、 功能介绍本软件共完成了六个通用程序库，重点实现了机器证明、q-级数、对称函数和组合计数等四个领域的常用函数包。这些程序库包括了机器证明、q-级数、对称函数、排列和路及树、集合论和概率方法等领域中常用的基本函数和过程。在组合恒等式机器证明方面，我们实现了Sister Celine算法求正则超几何项递归关系、算子消元法、q-Zeilberger算法、Gosper算法、素性判别的随机算法、正交多项式的关联系数求解、求多项式解的多项式算法等内容。其中Gosper算法和

5、q-Zeilberger算法的算法实现尤为重要。在q-级数方面，我们重点实现了有关q-级数等式方面的组合双射算法。主要包括Sylvester 映射、特定分拆生成、Corteel-Lovejoy 映射、Euler 定理的组合证明、Bressoud 映射、Franklin 对合、Durfee 方块和共轭分拆。这些组合双射算法是该领域的基本算法，为进一步构造双射提供了强大的工具。在对称函数方面，我们实现了该领域常用的一些函数和过程，包括置换的（轮换）分解、格排列生成、分拆与杨表表示、分拆与斜分拆的秩、寻找最长递增子序列、RSK 算法、排列的 Growth diagram生成、犹豫杨表和集合划分之间的

6、对应、匹配和 Oscillating tableaux 之间的对应等基本组合对象生成算法和基本组合算法。其中，RSK算法是对称函数的核心算法，具有广泛的应用，它的软件实现将大大有助于我们研究对称函数。在组合计数方面，我们重点研究了有关路、排列和树的程序实现。排列中的基本函数包括PermInsertion、PermPosition、PermList、PermSubseqN、IsPermutation等生成和判断函数。有禁模式的排列是计算机科学中重要的组合结构。在这方面我们编写了PermSamepatternt、PermNbpattern、PermNbpatterns、PermNbpatternT

7、、PermNbpatternsT、PermDistpattern、PermDistpatterns、PermAvoidP、PermAvoidPs等模式排列生成函数。此外我们编写了排列的基本统计量等生成函数。在路的算法实现方面，我们编写了Dyck 路、自由Dyck 路、有2k 个缺陷的n-Dyck 路的生成函数。匹配在生物信息学中有很多应用，我们实现了MatchingList、 MatchingNbpattern、MatchingAvoidP、RNASSN和RNA 二级结构等生成算法。在标号树方面，我们给出了标号树的序列表示和函数表示。在集合论方面，我们实现了具有特定性质的集合的生成函数，包括列

8、出包含某特定集合的子集的函数shade、列出包含于某特定子集的函数shadow、匹配布尔代数元素的函数matchtofirst、布尔代数对称链分解函数schd和寻找特定对称链函数symchain和寻找与集系有特殊性质的特定子集的函数Bondy。组合中的概率方法是通过设定概率空间，将某个存在性稳定转化为概率非零事件问题。在开发的程序库中，我们重点实现了离散随机变量和连续随机变量的期望和方差函数，快速排序算法和超图的二染色算法。这是概率方法中最经典的例子和最基本的算法。三、 运行环境 硬件环境：Intel Pentium III 650 MHz、128M RAM、2G硬盘空间或更高 操作系统：Wi

9、ndows 2000或Windows XP 支持软件：Maple 10四、 安装方法 本系统共有三个安装文件combmech.lib、combmech.hdb和combmech.ind，假设它们位于E盘根目录下，安装步骤如下：（1） 打开数学软件Maple 10。（2） 在Maple命令行内输入如下命令设定程序库路径 libname:=libname,E:;（3） 将程序库combmech.lib读入当前程序库路径readlib(E:combmech.lib);（4） 输入如下命令with(APCI);若显示结果如下Gosper2, Gosper3, Polysolve, Primetest,

10、 Rrop, Tran, cancel_operator, cceline, celine, celine1, re, sequence_to_tree, tree_to_sequence则表示已正确安装软件。五、 数学符号显示说明在Maple中数学的符号显示与实际表达方式不同，如输入“m2”显示为下标m2；输入“matrix(1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0) ”，则显示为.六、 软件使用本系统共包括六个程序库，下面将分别说明每个程序库主要函数如何使用。（1） APCI自动证明程序库（11） 调用软件包 with(APCI);显示结果如下Gosper2,

11、Gosper3, Polysolve, Primetest, Rrop, Tran, cancel_operator, cceline, celine, celine1, re, sequence_to_tree, tree_to_sequence（12） Gosper2和Gosper3函数Gosper算法给出了如下问题的解答：给定一个超几何项tn（相邻两项之比tn+1/tn为有关于n的有理函数），求超几何项zn使得zn+1-zn=tn。其算法可以分为三步：1、求tn相邻两项之比r(n)，2、求r(n)的GP表示，3、求Gosper方程的多项式解。函数Gosper2实现了算法的前两步，Gosp

12、er3实现了算法的第三步。Gosper2函数的理论背景如下： 满足上述条件的多项式a(n),b(n),c(n)被称为有理函数r(n)的GP表示。给定超几何项tn，求tn+1/tn的GP表示这一功能由函数Gosper2给出。例如取tn为如下超几何项 t:=binomial(2*n-3,n)/4n; 显示结果如下 调用函数Gosper2 Gosper2(t,n); 显示结果如下 给定多项式a(n),b(n),c(n)，关于多项式x(n)的如下方程被称为Gosper方程函数Gosper3实现了求解Gosper方程的功能。以方程nx(n+1)-(n-1)x(n)=1为例，调用如下：Gosper3(n,

13、 n+2, 1, n);显示结果如下 （13） 函数celine和cceline理论背景如下：下面以函数f(n,k)= kn!/(k!(n-k)!)为例进行说明如何调用函数celine和cceline.调用格式celine(n,k)-k*n!/(k!*(n-k)!),1,2);显示结果如下调用格式cceline(n,k)-k*n!/(k!*(n-k)!);显示结果如下（14） 函数re理论算法说明：使用该函数时需要使用软件包qsum9.mpl read:= E:qsum9.mpl;函数调用格式re(qhyperterm(0, , q, z, k), z);显示结果如下 The recurren

14、ce relation satisfies: （15） 函数Tran功能说明：此函数也需要软件包qsum9.mpl的支持，函数调用格式 Tran(qhyperterm(a, b, c, q, z, k), z);显示结果如下The condition that the Transformation Formulas should comply with is: |c/q|Rrop(pochhammer(x,n);显示结果如下 we can get a,b,c,y （17） 函数Polysolve理论背景函数调用格式Polysolve(N-1, n);显示结果如下 the solve of y(

15、n) is: （2） SYMF对称函数程序库（21） 调用软件包 with(SYMF);显示结果如下Bump, Bump2, ConjPar, Expectationplot, Expectv, InvBump, IsStdTab, IsTab, Par2StdTab, RSKcorresp1, RSKcorresp2, RSKinsert, Tab2Mat, Tab2Par, canonical, cellfilling, growthdia, insertone, invRSK, lattpermins, lattpermlist, longestisubs, mat2oscil, one

16、rowinsert, onerowinvinsert, oscil2mat, pair2vacilla, parrank, reducode, skewrank, srank, vacilla2pair（22） 函数pair2vacilla和vacilla2pair理论背景：函数调用格式pair2vacilla(1, 5, 2, 6, 3, 4, 7, 1, 7, 5);显示结果如下, , 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 1, 4, 5, 1, 4, 5, 1, 5, 1, 7, 5 Vacillating

17、 tableau V =, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1,2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1函数调用格式vacilla2pair(0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1);显示结果如下P=, 1, 5, 2, 6, 3, 4, 7T=, 1, 7, 5（23） 调用函数mat2oscil将一个匹配变成振荡杨表mat2oscil(1,4,2,6,3,5); 显示结果如下 然后调用函数oscil2mat将振荡杨表变回匹配oscil2ma

18、t(, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, );显示结果如下 这两个函数的理论背景如下：（24） 函数RSKcorresp1和RSKcorresp2理论背景：函数调用格式RSKcorresp1(5,7,1,3,2);显示结果如下 函数调用格式RSKcorresp2(5,7,1,3,2);显示结果：2（25） 函数growthdia理论背景：函数调用格式growthdia(3, 1, 2);显示结果： （26） 函数longestisubs是用来求一个序列的极大递增子列。函数调用格式longestisubs(5, 6, 2, 1, 7, 4, 3, 9, 8);显示结果：（27） 分拆与斜

19、分拆的秩相关函数理论背景：函数调用格式parrank(8, 6, 6, 4, 2);显示结果： 4函数调用格式skewrank(6, 6, 4, 2, 3, 2, 1);显示结果： 3函数调用格式reducode(6, 6, 4, 2, 3, 2, 1);显示结果：0 1 0 1 0 1 0 1 1 11 1 0 1 1 0 1 1 0 0（28） 分拆与杨表相关函数理论背景：函数调用格式IsTab(1,1,2,3,4);显示结果：true函数调用格式IsStdTab(1,5,2,3,4);显示结果：false函数调用格式Par2StdTab(2,1);显示结果：具有形状2,1的标准杨表共有2

20、个: 1, 2, 3, 1, 3, 2函数调用格式Tab2Par(1,2,3,2,3,4);显示结果：3,2,1函数调用格式Tab2Mat(1,2,3,2,3,4);显示结果： （29） 函数canonical给出置换的标准既约分解，其理论背景如下：函数调用格式canonical(5, matrix(1, 5, 3, 4, 5, 2, 1);显示结果：The canonical reduced decomposition of the input permutation is:1 2 1 3 2 4 3（210） 函数lattpermlist理论背景：函数调用格式lattpermlist(2,

21、 1);显示结果：1,2,1 1,1,2（3） EPPT路、排列和树程序库（31） 调用软件包 with(EPPT);显示结果如下DOtoDif, DRT_FunctionToTree, DRT_TreeToFunction, DiftoDO, DyckPath, FindPosition, FindPosition2, FlawDyckPath, FreeDyckPath, Inv2MajII, Inv2Perm, IsPermutation, Istree, Maj2InvII, Maj2Perm, MatchingAvoidP, MatchingInsertion, MatchingLi

22、st, MatchingNbpattern, MatchingSamepattern, MatchingSubseqN, PathFlaw, Patience_sort, Perm2Inv, Perm2Maj, PermAvoidP, PermAvoidPs, PermDistpattern, PermDistpatterns, PermExceed, PermInsertion, PermList, PermMaj, PermMajPos, PermNbpattern, PermNbpatternT, PermNbpatterns, PermNbpatternsT, PermPosition

23、, PermSamepattern, PermSubseqN, RNASS, RNASSN, belong, double_root_tree, sequence_to_tree, tree_to_seq_num, tree_to_sequence（32） 函数PermList用来枚举特定长度的排列。函数调用格式如下PermList(3);显示结果：3, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 3（33） 函数PermInsertion返回把一个元素插入排列得到的所有排列。调用格式PermInsertion(3,1,2,4);显示结果：4

24、, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 1, 4, 2, 3, 1, 2, 4（34） 函数PermPosition返回特定元素在排列中的位置。调用格式PermPosition(3,1,3,2);显示结果：2（35） 函数PermSubseqN列举排列中所有特定长度的子序列。调用格式PermSubseqN(1,3,4,2, 3);显示结果：1, 3, 4, 1, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 4, 2（36） 函数Patience_sort以贪婪策略寻找最长递增子序列。调用格式Patience_sort(2,3,1,6,4,5,6);显示结果：2，3，4，5（37） 函数Is

25、Permutation判断给定序列是否排列。调用格式IsPermutation(2,3,2,1,4);显示结果：It is not a permutation.（38） 模式排列理论背景：下面以枚举不含特定模式的排列函数PermAvoidP和PermAvoidPs说明PermAvoidP(3,1,3,2); 显示结果如下 PermAvoidPs(4,1,2,3,1,3,2,3,1,2); 显示结果如下 函数PermSamepatternt判断两个模式是否相同。调用格式PermSamepattern(1,3,2,4,7,6);显示结果：true函数PermNbpattern返回单个模式出现在序列

26、中的次数。调用格式PermNbpattern(4,2,1,3,1,2);显示结果：2函数PermNbpatterns返回多个模式出现在序列中的次数。调用格式PermNbpatterns(4,2,1,3,1,2,2,1);显示结果：2，4函数PermNbpatternT列举含有单个模式特定个数的排列。调用格式PermNbpatternT(4,1,2,1);显示结果：3, 4, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 4, 3, 1, 2函数PermNbpatternsT列举含有多个模式特定个数的排列。调用格式PermNbpatternsT(4,1,2,3,1,2,1,1);显示结果：4, 2, 3,

27、 1函数PermDistPattern列举对称群中元素及所含特定单个模式次数。调用格式PermDistpattern(3,2,1);显示结果： 3, 2, 1, 3 2, 3, 1, 2 2, 1, 3, 1 3, 1, 2, 2 1, 3, 2, 1 1, 2, 3, 0函数PermDistPatterns列举对称群中元素及所含特定多个模式次数。调用格式PermDistpatterns(3, 1, 2, 2, 3, 1);显示结果： 3, 2, 1, 0, 0 2, 3, 1, 1, 1 2, 1, 3, 2, 0 3, 1, 2, 1, 0 1, 3, 2, 2, 0 1, 2, 3, 3

28、, 0（39） 排列统计量相关函数理论背景： 调用格式Perm2Inv(7,8,4,2,6,9,1,3,5);显示结果：0, 0, 2, 3, 2, 0, 6, 5, 4调用格式Inv2Perm(0,0,2,3,2,0,6,5,4);显示结果：7, 8, 4, 2, 6, 9, 1, 3, 5调用格式PermExceed(3,2,5,4,1);显示结果：2调用格式Perm2Maj(7,8,4,2,6,9,1,3,5);显示结果：0, 1, 0, 2, 0, 1, 3, 3, 1调用格式Maj2Perm(0,1,0,2,0,1,3,3,1);显示结果：7, 8, 4, 2, 6, 9, 1, 3

29、, 5调用格式Inv2MajII(4,4,2,3,4,1,3,2,3);显示结果：3, 2, 1, 4, 4, 4, 3, 2, 3调用格式Maj2InvII(3, 2, 1, 4, 4, 4, 3, 2, 3);显示结果：4, 4, 2, 3, 4, 1, 3, 2, 3（310） 函数FreeDyckPath理论背景：调用格式FreeDyckPath(1);显示结果：调用格式DyckPath(2);显示结果：调用格式FlawDyckPath(2,1);显示结果：（311） 匹配相关函数背景：函数MatchingList列举所有特定长度的匹配。调用格式MatchingList(2);显示结果

30、：1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2调用格式MatchingNbpattern(1,2,2,3,1,4,4,3,1,2,1);显示结果：5调用格式MatchingAvoidP(3,1,2,3,1,2);显示结果：1, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3,

31、2, 1, 1, 2, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3（312） 函数RNASSN列举特定基序列的所有RNA二级结构。调用格式RNASSN(3);显示结果：1, 3, 2, 1, 3, 2（313） 函数DOtoDif和DiftoDO相关理论背景：调用格式DOtoDif(45,37,33,31,25,23,15,11,5,3,1);显示结果：76，60，38，27，19，8，1调用格式DiftoDO(3,11,17,28);显示结果：23，17，9，7，3（314） 标号树函数相关理论背景：调用格式tree_to_sequence*(Array(8, 6, 5, 4, 2,

32、 3, 1, 3, 4, 4, 7, 3, 7, 7), 8);显示结果：3,4,4,7,3,7result_seq调用格式sequence_to_tree(3, 4, 4, 7, 3, 7, 8);显示结果： 8 6 5 4 2 3 1 3 4 4 7 3 7 7T_edges函数DRT_TreeToFunction把双根树映射成函数。调用格式DRT_TreeToFunction(3,3,3,3,8,8,8,8,2,1,4,9,9,5,6,7,8,3);显示结果：3, 3, 9, 3, 8, 8, 8, 3, 8函数DRT_FunctionToTree把函数映射成双根树。调用格式DRT_Fu

33、nctionToTree（3, 3, 9, 3, 8, 8, 8, 3, 8，9）;显示结果：（4） CPQSq-级数程序库（41） 调用软件包 with(CPQS);显示结果如下Bressouddis2supdis, Bressoudsupdis2dis, Durfee1to3, Durfee3to1, Franklin, Frobenius2, Partitionlod, Sylvesterdis2odd, Sylvesterodd2dis, qconjugate, qeuler, qfrobenius（42） 函数Sylvesterdis2odd和Sylvesterodd2dis说明，这

34、是Sylvester映射的两个函数。函数Sylvesterdis2odd将一个各部分互不相同的分拆变成各部分为奇数的分拆。 Sylvesterdis2odd(11, 10, 78, 5, 4, 1); 显示结果如下 Sylvesterdis2odd(11, 10, 7, 5, 4, 1); 显示结果如下 函数Sylvesterodd2dis将一个各部分为奇数的分拆变成各部分互不相同的分拆。 Sylvesterodd2dis(11, 7, 7, 5, 5, 3); 显示结果如下 （43） 函数Partitionlod是生成各种不同条件的分拆，其调用格式为Partitionlod(n,k,dist

35、inct,odd)，参数说明如下：举例调用格式如下 Partitionlod(6, 5, 1, 0); 显示结果如下 （44） 函数qfrobenius和Frobenius2是用来演示Corteel-Lovejoy映射的。其具体背景如下：调用格式qfrobenius(5, 3, 3, 3, 1, 0, 1, 3, 4, 5, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6);显示结果如下2, 2, 7, 2, 7, 1, 3, 2, 1调用格式Frobenius2(2, 2, 7, 2, 7, 1, 3, 2, 1);显示结果如下5, 3, 3, 3, 1, 0, 1, 3,

36、4, 5, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6（45） 函数qeuler理论背景：调用格式qeuler(4, 2, 1);显示结果如下 （46） Bressoud映射两函数理论背景：调用格式Bressoudsupdis2dis（14, 11, 6, 4, 1）；显示结果如下14, 8, 7, 6, 1调用格式Bressouddis2supdis(14, 8, 7, 6, 1)；显示结果如下14, 11, 6, 4, 1（47） Franklin函数理论背景：调用格式Franklin(5，2)；显示结果如下4,2,1（48） 函数Durfee1to3、Durfee3t

37、o1和qconjugate理论背景：调用格式Durfee3to1(4, 4, 4, 4, 5, 3, 1, 4, 3)；显示结果如下9, 7, 5, 4, 4, 3调用格式Durfee1to3(9, 7, 5, 4, 4, 3)；显示结果如下4, 4, 4, 4, 5, 3, 1, 4, 3调用格式qconjugate(9, 7, 5, 4, 4, 3)；显示结果如下6, 6, 6, 5, 3, 2, 2, 1, 1（5） PAPM概率方法应用程序库（51） 调用软件包 with(PAPM);显示结果如下Color, Firstpass, Hgame, Hyper, RandomCut, Se

38、condpass, Thirdpass, Ylocal, colorable, contexpectation, contvariation, csort, discexpectation, discvariation, quicksort, sapp（52） 期望和方差相关理论背景：调用格式contexpectation(1/sqrt(2*Pi)*exp(-x2/2)；显示结果如下0调用格式contvariation(exp(-1/2*x2)/sqrt(2*Pi)；显示结果如下1调用格式discexpectation(exp(-1)/i!)；显示结果如下1调用格式discvariation(

39、exp(-1)/i!)；显示结果如下1（53） 序列排序相关函数理论背景：调用格式quicksort(29,32,18,49,512)；显示结果如下18, 29, 32, 49, 512调用格式csort(29,32,18,49,512)；显示结果如下18, 29, 32, 49, 512（54） 函数Ylocal根据图的关联结构和特定顺序改变顶点状态。调用格式with(networks)；Ylocal(cycle(4),1,2,4,3,4,1,0,0,1)；显示结果如下0, 1, 0, 1（55） 下面我们以简单交错路求解函数sapp为例进行说明。函数sapp在交错路存在的条件下返回一个顶点

40、序列。 sapp(0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1); 显示结果如下 下面看一个交错路不存在的例子 sapp(0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0);显示结果 （6） EVST极值集合论程序库（61） 调用软件包 with(EVST);显示结果如下（62） 函数shade和shadow理论背景：调用格式shade(5,2,1,2,2,5)；显示结果如下1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 5, 2, 3, 5, 2, 4, 5调用格式shadow(5, 3, 1, 2, 5, 2, 4, 3)；显示结果如下1, 2, 1, 5, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4（63） 函数MatchToFirst理论背景：调用格式MatchToFirst(4, 1)；显示结果如下 1, 1, 2 2, 2, 3 3, 1, 3 4, 1, 4 （64） 下面我们以布尔代数分解的两个函数schd和symchain进行说明。函数schd将布尔代数分解成互不包含的链的并。 schd(4); 显示结果如下 函数symchain给出过某一特定子集的对称链。symchain(7, 3, 4, 7); 显示结果如下