概率论与数理统计第三章ppt课件.ppt
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1、,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,二维随机变量 边缘分布 随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布,第三章 多维随机变量及其分布,1、二维随机变量,一、概念,定义1 设在试验E的样本空间S=e上定义了两个 随机变量X、Y,称向量(X,Y)为二维随机变量或二维随 机向量.,二维随机变量(X,Y)不仅与各个随机变量X,Y有关,也与X,Y间的内在联系有关.,因此,不能试图通过单独研究随机变量X,Y而来了解 二维随机变量(X,Y),必须将(X,Y)作为一个整体来研究.,类似于一维随机变量,我们也可利用“分布函数”来研 究二维随机变量(X,Y),并且分别就离散型与连续型来加 以分析.,请 你 注
2、 意,定义2 设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数,为二维随机变量(X,Y)的分布函数,也称为随机变量X 与Y的联合分布函数,其中 为任意实数.,分布函数 在点 处的函数值就是事件“随机点(X,Y)落在以点 为右上顶点的角形区 域”的概率.,二、分布函数及其性质,定义域为全平面,分布函数具有下列基本性质:,关于x、y均单调不减右连续.,对任意点 均有:,分布函数与离散型二维随机变量分布律、连 续型二维随机变量概率密度的关系见后.,随机向量落在矩形区域的概率,三、离散型二维随机变量,1、概念,定义3 如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值为 有限个或可列无限个点,则称(X,Y)为二维离散型随机
3、 变量.,2、分布律,设二维离散型随机变量(X,Y)可能取值为,则(X,Y)的分布律(概率分布)X与Y的联合分布律为,分布律满足:,分布律可用表格表示:,X,Y,概率的非负性,概率的规范性,【例1】P.71,将一枚硬币连抛三次,以X表示在“三次中出现正面的次数”,Y表示“三次中正、反面次数差的绝对值”,求X与Y的联合分布律.,解X取值0,1,2,3;Y取值1,3.基本事件总数为8.,X与Y的联合分布律为:,PX=0,Y=1=P()=0;PX=0,Y=3=1/8;TTT PX=1,Y=1=3/8;HTT,THT,TTH,PX=1,Y=3=P()=0;PX=2,Y=1=3/8;HHT,HTH,TH
4、H PX=2,Y=3=P()=0;,PX=3,Y=1=P()=0;PX=3,Y=3=1/8.HHH,古典概率,例1-续,X与Y的联合分布律为:,二维离散型随机变量的分布列形象化解释,设想将一单位质量的物质分配在(X,Y)所 有可能取值的点处,相应分配的量就是对应的概 率值。,这样一来,随机变量取值落在某个平面区域 G上的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。,请自学P.72:例2。,四、连续型二维随机变量,1、概念,定义4 设 为二维随机变量(X,Y)分布函数,如果存在非负函数 使对任意实数 有,则称(X,Y)为二维连续型随机变量,其中 称为 随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X与Y
5、的联 合概率密度.,2、概率密度及其性质,概率密度具有下列性质:,设G为平面xoy上的一个区域,则随机点(X,Y)落在G内的概率为:,曲顶柱体体积,确定待定参数,概率密度性质,若 在点 处连续,则有,由分布函数求概率密度,由概率密度求分布函数,【例2】(典型题),设r.v.(X,Y)的概率密度为,解由概率密度性质得,(1)确定C的值;(2)求(X,Y)的分布函数;(3)求概率,(1)因为,所以,故,例2-续1,(2)由概率密度求分布函数.,解题思路,画出联合概率密度的 非零区域;,点(x,y)在全平面范围 内取值;,综合上述两点得出就(x,y)的分段情形.,例2-续2,本例中分布函数应分为两段
6、来计算:就x0,y0与“其它”。,利用重积分对积分区域的可加性,只保留非零积分,例2-续3,(3)求概率PYX.,只需在概率密度f的非零 区域与事件区域 G=(x,y)|yx 的交集D上积分.,由公式,得:,例2-续4,本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计算 的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域 与所求概率的事件区域G来处理这类问题。,就P.73:例3来共同考虑如何分段?应分几段?怎 样计算各段值?(板书),二维均匀分布 设G为一个平面有界区域,其 面积为A.如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密 度为,则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布,记为(X,Y)U(G).,1、二维均
7、匀分布,两种常见的二维连续型分布,二维正态分布 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,2、二维正态分布,其中 均为常数,称(X,Y)为服从参数为 的二维正态分布,记为,2、边缘分布,一、边缘分布函数及其求法,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为,X与Y 作为单个随机变量的分布函数分别为,称,分别为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数.,问题:联合分布(函数)与边缘分布(函数)有什么关系?,结论:联合分布(函数)边缘分布(函数),但当X与Y相互独立时,联合分布(函数)与边缘分布(函数)可相互确定.3,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为,边缘分 布函数即X与Y的分布函数为,
8、则有,因此,由联合分布函数可 求得边缘分布函数:,即可通过联合分布函数求极限 来确定边缘分布函数。,二、离散型二维随机变量的边缘分布律,设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为,则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关 系得:,又由一维离散型随机变量分布函数与分布律关系得:,比较可得X的分布律为:,同理可得Y的分布律为:,我们称,(X,Y)关于X的边缘分布律,(X,Y)关于Y的边缘分布律,显然,由联合分布律可求得各个边缘分布律,只需 采用“同一表格法”.,设r.v.X与Y的联合分布律为,解利用公式得边缘分布律,见上表“边缘”.,求X,Y的边缘分布律.,【例3】,三、连续型二维随机变量的边缘
9、概率密度,设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度为,则由联合分布函数与边缘分布函数、联合概率密度关系得:,又由一维连续型随机变量分布函数与概率密度关系得:,比较可得X为连续型随机变量,且X的概率密度为:,同理可得Y的概率密度为:,我们称,(X,Y)关于X的边缘概率密度,(X,Y)关于Y的边缘概率密度,显然,由联合概率密度可求得各个边缘概率密度,只需对某一个变量在(-,+)上积分,但必须注意另 一个变量应在全体实数范围内取值.,参量积分,【例4】(典型题),设r.v.X与Y的联合概率密度为,解题思路,求X,Y的边缘概率密度.,画出联合概率密度的 非零区域;,参量x(y)在实数范围 内取值;,综
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