数理统计CH概率分布课件.ppt

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1、第1章 概率分布Probability Distribution,9/24/2022,1,王玉顺：数理统计01_概率分布,f(x)Area under curveRandom var,事件和概率：讨论描述随机现象及其统计规律的术语及概念、现象发生可能性的计量、相互关系和运算；随机变量及分布：讨论随机现象的确定性数学表达，相同条件、大量重复观测下随机变量所遵循的取值规律；数字特征：讨论分布特征的数字表达；大数定律：讨论重复试验次数对频率和均值观测稳定性的影响。,1 概率分布,本章内容,9/24/2022,2,王玉顺：数理统计01_概率分布,事件和概率：讨论描述随机现象及其统计规律的术语及概念、现

2、象发,1.1 事件与概率Event and Probability,1 概率分布,9/24/2022,3,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.1 事件与概率1 概率分布9/24/20223王玉顺：数,自然界存在两种现象，确定性现象：一定条件下必然发生；随机性现象：一定条件下可能发生，但结果不止一个，哪个结果发生预先并不知道。随机现象虽然表现为不确定性，但在大量、相同条件重复试验下，其观测结果会呈现出某种特定的规律，称作随机现象的统计规律。比如，多次抛掷一枚均质硬币，正面朝上的频率接近0.5。,随机现象(Random Phenomenon),1.1 事件与概率,9/24/2022,4,王玉顺：数

3、理统计01_概率分布,自然界存在两种现象，确定性现象：一定条件,数理统计学就是研究大量的随机现象，但限定为一类特定的随机现象，即在相同条件重复试验下所能观测到的随机现象。它研究随机现象的发生机制、统计规律和统计特征，研究解决工程实际问题的统计方法。,随机现象(Random Phenomenon),1.1 事件与概率,9/24/2022,5,王玉顺：数理统计01_概率分布,数理统计学就是研究大量的随机现象，但限定为一类特定的,1.1.1 事件Random Event,1.1 事件与概率,9/24/2022,6,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.1.1 事件1.1 事件与概率9/24/20226

4、王玉顺,满足下述三个条件的试验称为随机试验：（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定会出现哪一个结果。随机试验在统计学里可简称为试验。,1.1.1 事件,(1)随机试验(Random Experiment),9/24/2022,7,王玉顺：数理统计01_概率分布,满足下述三个条件的试验称为随机试验：1.1.1 事件(1)随,1.1.1 事件,E1：一枚硬币抛一次，观察出现哪一面；E2：一枚硬币抛三次，观察正反面的排列；E3：一枚硬币抛三次，观察正面出现的次数；E4：一颗骰子抛一次

5、，观察出现的点数；E5：在一批灯泡产品中，测定任一只的寿命；E6：在一批灯泡产品中，测定任一只的阻值。E7：在一超市里，观察每10分钟进来的人数；,(1)随机试验(Random Experiment),9/24/2022,8,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.1.1 事件E1：一枚硬币抛一次，观察出现哪一面；(1,广义地讲，对任何一个特定对象的随机抽查或观测，均可看作是随机试验。比如，多次抛一枚均质硬币是随机试验，观测一个种族的身高、体重等是随机试验，观测某作物的株高是随机试验，观测条件近似动物对某种药物的生理反应是随机试验，小区测产是随机试验，等等。,1.1.1 事件,(1)随机试验(Ra

6、ndom Experiment),9/24/2022,9,王玉顺：数理统计01_概率分布,广义地讲，对任何一个特定对象的随机抽查或观测，均可看,1.1.1 事件,随机试验的每一个可能结果，称作基本事件（elementary event），亦称作简单事件（simple event），基本事件是描述随机试验不可能再分的事件。,(2)基本事件(Elementary Event),9/24/2022,10,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.1.1 事件 随机试验的每一个可能结果，称作基本事,1.1.1 事件,抛硬币试验，正面朝上是一个基本事件，反面朝上也是一个基本事件。观测一个种族的身高状况，1.7

7、5米是一个基本事件，1.83米是一个基本事件，1.45米也是一个基本事件。小区测产，25.4kg是一个基本事件，26.7kg也是一个基本事件。花括弧括内容表达事件，常用于利用文字或表达式陈述事件的场合。,(2)基本事件(Elementary Event),9/24/2022,11,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.1.1 事件 抛硬币试验，正面朝上是一个基本事,1.1.1 事件,由若干个基本事件组合而成的事件，称作复合事件（compound event），也称作复杂事件。通常所说的随机事件（random event）是基本事件和复合事件的统称，即可指基本事件又可指复合事件。,(3)复合事件(

8、Compound Event),9/24/2022,12,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.1.1 事件 由若干个基本事件组合而成的事件，称作,事件A=HHH,HHT,HTH,HTT表示“第一次出现的是正面”用t表示灯泡的使用寿命（h），则 事件B1=t1000表示“灯泡是次品”事件B2=t1000表示“灯泡是合格品”事件B3=t1500表示“灯泡是一级品”,1.1.1 事件,(3)复合事件(Compound Event),9/24/2022,13,王玉顺：数理统计01_概率分布,事件A=HHH,HHT,HTH,HTT表示“第一,1.1.1 事件,连续两次抛掷一枚硬币，均出现正面是一个复合事

9、件，出现一正一反是一个复合事件，均出现反面也是一个复合事件。观测一个种族分区域的身高，平均1.77米、平均1.68米均是复合事件。小区测产，产量在10kg20kg之间是一个复合事件，产量在20kg30kg之间也是一个复合事件。,(3)复合事件(Compound Event),9/24/2022,14,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.1.1 事件 连续两次抛掷一枚硬币，均出现正面,1.1.1 事件,每次试验中一定发生的事件称作必然事件（certain event），在任何一次试验中都不可能发生的事件称作不可能事件（impossible event）。随机事件简称作“事件”，而将不可能事件和必

10、然事件视作随机事件的两个极端事件。,(4)必然事件与不可能事件(Certain and Impossible Event),9/24/2022,15,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.1.1 事件 每次试验中一定发生的事件称作必然事件,掷一枚均质硬币试验，出现两个面之一是必然事件，两个面谁也不出现是不可能事件。小区测产，产量小于0kg是不可能事件，产量大于等于0kg是必然事件。,1.1.1 事件,(4)必然事件与不可能事件(Certain and Impossible Event),9/24/2022,16,王玉顺：数理统计01_概率分布,掷一枚均质硬币试验，出现两个面之一是必然事件，,我们

11、称一个随机事件发生，当且仅当它所包含的一个基本事件在试验中出现,1.1.1 事件,考察抛一枚硬币的试验，事件 A=出现正面若试验结果为出现反面，则事件A未发生若试验结果为出现正面，则事件A发生考察小区测产的事件 A=产量大于10kg若试验结果为11.2kg，则事件A发生若试验结果为5.4kg，则事件A未发生,(5)事件发生(Event come about),9/24/2022,17,王玉顺：数理统计01_概率分布,我们称一个随机事件发生，当且仅当它所包含的一个基本事件在试验,1.1.2 概率Probability,1.1 事件与概率,9/24/2022,18,王玉顺：数理统计01_概率分布,

12、1.1.2 概率1.1 事件与概率9/24/202218王玉,用于度量事件发生可能性大小的数值称作事件的概率（probability）。事件通常可用大写字母表示，如A、B等，相应的概率可用P(A)、P(B)等表示。,1.1.2 概率,(1)事件的概率,9/24/2022,19,王玉顺：数理统计01_概率分布,用于度量事件发生可能性大小的数值称作事件的概率（pr,概率具有下述性质：设A为任一事件，则0P(A)1；对于必然事件，有P()=1；对于不可能事件，有P()=0。,1.1.2 概率,(2)概率的性质,9/24/2022,20,王玉顺：数理统计01_概率分布,概率具有下述性质：1.1.2 概

13、率(2)概率的性质9/24/,不可能事件P()=0，必然事件P()=1。但反过来不成立，因为概率只代表“可能性”的大小，可能性为0的事件不一定总不发生，可能性为1的事件不一定总是发生比如小区测产，事件产量是25kg的概率等于0，但它不一定总不发生；事件产量不是25kg的概率等于1，但它不一定总是发生,1.1.2 概率,(2)概率的性质,9/24/2022,21,王玉顺：数理统计01_概率分布,不可能事件P()=0，必然事件P()=1。但反过来不成立,在相同的条件下进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数nA 称为事件A发生的频数。比值nA/n 称为事件A发生的频率，并记成fn(A)，

14、即,1.1.2 概率,(3)概率的统计定义,9/24/2022,22,王玉顺：数理统计01_概率分布,在相同的条件下进行了n次试验，在这n 次试验中，事件,历史上曾有几个著名的抛一枚均质硬币试验，试验者观测了抛掷次数、正面出现次数和正面出现频率等。结果发现，频率在0.5附近摆动，详见表1.1。试验重复次数愈大频率与0.5的偏差愈小，表现出向0.5稳定趋近的倾向，因此预测事件的概率为0.5。试验次数愈大，事件频率在某个定值两侧摆动的幅度愈小，称作事件频率具有稳定性。,1.1.2 概率,(3)概率的统计定义,9/24/2022,23,王玉顺：数理统计01_概率分布,历史上曾有几个著名的抛一枚均质硬

15、币试验，试验者观测了,251 249 256 253 251 246 2440.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.4880.002-0.002 0.012 0.006 0.002-0.008-0.012,nAfn(A),n=500时抛硬币试验,实 验 者 德摩根 蒲丰K 皮尔逊K 皮尔逊,n nH fn(H),2048 40401200024000,1061 2048 601912012,0.51810.50960.50160.5005,表1.1,1.1.2 概率,(3)概率的统计定义,9/24/2022,24,王玉顺：数理统计01_概率分布,251 24

16、9 256 2,1.1.2 概率,随试验次数n的增大，若事件A的频率fn(A)越来越幅度变小地在某一常数p两侧摆动，则称常数p为事件A的概率(probability)，记作P(A)=p。称此陈述为概率的统计定义。(statistical probability)。,(3)概率的统计定义,9/24/2022,25,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.1.2 概率 随试验次数n的增大，若事件A的频率f,1.2 随机变量及分布Random Variable and Probability Distribution,1 概率分布,9/24/2022,26,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.2 随机变

17、量及分布1 概率分布9/24/202226王玉,前面事件与概率的研究仅仅实现了随机现象及其关系的概念描述，远没有达到工程应用的程度，难于解决复杂多样的实际问题；引入人们熟悉的微积分实现随机现象的数值化定量分析，使能用计算机高效地处理工程实际的统计学问题；随机变量及其分布的理论和方法，实质上就是利用确定性数学方法研究和解决随机数学（统计学）问题。,1.2 随机变量及分布,(1)随机现象定量分析的意义,9/24/2022,27,王玉顺：数理统计01_概率分布,前面事件与概率的研究仅仅实现了随机现象及其关系的概念描述，远,实施某随机试验，若用实数变量X表示试验结果，则X的取值明确可知且不止一个，试验

18、前并不知道X会取那个值，表征随机试验结果的实数变量X称作随机变量；X的值用实数x表示，即一次试验的结果，是所有可能试验结果中的一个，称x为X的观察值，简称观测(observation)；,(2)随机变量(Random Variable),1.2 随机变量及分布,9/24/2022,28,王玉顺：数理统计01_概率分布,实施某随机试验，若用实数变量X表示试验结果，则X的取值明确可,由于随机变量X量化（数值化或数字化）表达了随机试验结果，因此它也具有随机试验的三个基本特征：随机变量X可在相同条件下重复观测；随机变量X的所有可能值明确可知，并且不止一个；每次观测总是恰好获得X所有可能值中的一个，但观

19、测前却不能肯定是哪一个。,1.2 随机变量及分布,(2)随机变量(Random Variable),9/24/2022,29,王玉顺：数理统计01_概率分布,由于随机变量X量化（数值化或数字化）表达了随机试验结,掷一枚均质硬币试验：样本空间1=H,T，随机变量表达该问题，以“X=1”表示正面向上的事件，以“X=0”表示反面向上的事件；掷一枚骰子试验：样本空间=1,2,3,4,5,6，随机变量表达该问题，以“X=1”表示出现1点的事件，“X=2”表示出现2点，以此类推；作物育种试验：以“X4.5”表示产量大于4.5kg的事件，不等式表达一个基本事件的集合。,1.2 随机变量及分布,(3)随机事件

20、(Random Event),9/24/2022,30,王玉顺：数理统计01_概率分布,掷一枚均质硬币试验：样本空间1=H,T，随机变量表达该,用随机变量X和某指定观测x可定义下述3种随机事件：,试验结果为x的事件：X=x试验结果小于或等于x的事件：Xx试验结果大于x的事件：Xx,1.2 随机变量及分布,(3)随机事件(Random Event),9/24/2022,31,王玉顺：数理统计01_概率分布,用随机变量X和某指定观测x可定义下述3种随机事件：试验结果为,概率分布是概率论的基本概念之一，它用函数和微积分描述随机变量取值的概率规律。考察随机变量X与某指定观测x的关系，用事件概率P(Xx

21、)以及事件概率的变化速率P(Xx)/1或dP(Xx)/dx描述概率分布；离散随机变量用求和函数描述概率分布；连续随机变量用积分函数描述概率分布。,1.2 随机变量及分布,(4)概率分布(Probability Distribution),9/24/2022,32,王玉顺：数理统计01_概率分布,概率分布是概率论的基本概念之一，它用函数和微积分描述随机变量,本节主要讨论下述几个问题：随机变量、随机变量的观测、事件、概率四者之间的关系；离散变量的分布函数和概率密度；连续变量的分布函数和概率密度；常见离散分布和连续分布；随机变量的标准化变换；正态分布的概率计算。,1.2 随机变量及分布,本节内容,9

22、/24/2022,33,王玉顺：数理统计01_概率分布,本节主要讨论下述几个问题：1.2 随机变量及分布本节内容9/,1.2.1离散变量的概率分布Discrete Variable and Probability Distribution,1.2 随机变量及分布,9/24/2022,34,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.2.11.2 随机变量及分布9/24/202234王玉顺,若随机变量X或事件X=x的所有可能取值为有限个或可列个，即取值存在间隔，则称X为离散随机变量(discrete variable)。比如，抛硬币试验取值0,1，播种穴粒数取值0,1,2,，以及其它“计数”类的随机变量

23、。为便于数学处理，经常将随机变量的取值范围扩展到离散无穷域0,1,2,+，只不过取某些值的概率等于0。,1.2.1 离散变量的概率分布,(1)离散随机变量(Discrete Variable),9/24/2022,35,王玉顺：数理统计01_概率分布,若随机变量X或事件X=x的所有可能取值为有限个或可列个，即取,离散随机变量用X表示，它的观察值用实数x表示，则离散变量随机试验中所发生的随机事件用等式表示：,1.2.1 离散变量的概率分布,(2)随机变量、观察值和随机事件,随机事件,观察值,9/24/2022,36,王玉顺：数理统计01_概率分布,离散随机变量用X表示，它的观察值用实数x表示，则

24、离散变量随机,观察值x按大小顺序分别记作xi，xixi-1，i=1,2,，则离散随机变量X的分布函数F(xi)定义如下：,分布函数亦称作概率累积函数Cumulative Distribution Function,(3)分布函数(Distribution Function),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,37,王玉顺：数理统计01_概率分布,观察值x按大小顺序分别记作xi，xixi-1，i=1,2,事件X=xi的概率记作pi=P(X=xi)。则离散随机变量X的概率密度f(xi)定义分布函数的变化率：,(4)概率密度(Probability Density),1.2.1 离

25、散变量的概率分布,概率密度记为,离散变量的概率密度Probability Density亦称作概率函数Probability Function,9/24/2022,38,王玉顺：数理统计01_概率分布,事件X=xi的概率记作pi=P(X=xi)。则离散随机变量X,概率密度表征离散随机变量取值x与取该值概率的函数关系，即描述按观测值大小顺序排列的概率分布规律。按定义，概率密度可理解为观察值的一个单位增量所对应的分布函数增量，或者发生事件离散随机变量X等于某指定观测x的概率。,1.2.1 离散变量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),9/24/2022,39,王玉顺

26、：数理统计01_概率分布,概率密度表征离散随机变量取值x与取该值概率的函数关,概率密度可表示成如下的矩阵形式,矩阵的第1行为随机变量的观察值，第2行为事件X=xi的概率pi，矩阵元素上下对应。,1.2.1 离散变量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),9/24/2022,40,王玉顺：数理统计01_概率分布,概率密度可表示成如下的矩阵形式 矩阵的第1行为随机变量的观察,抛硬币试验,抛骰子试验,1.2.1 离散变量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),9/24/2022,41,王玉顺：数理统计01_概率分布,抛硬币试验抛骰子试验1.

27、2.1 离散变量的概率分布(4)概率,所谓离散随机变量X的概率分布，就是指分布函数F(xi)和概率密度f(xi)两个基本函数，它们提供了随机变量概率分布规律的完整信息。,(5)概率分布(Probability Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,42,王玉顺：数理统计01_概率分布,所谓离散随机变量X的概率分布，就是指分布函数F(xi,概率值非负：,全概率和等于1：,两极端事件的分布函数值：,(6)离散变量概率分布的性质,1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,43,王玉顺：数理统计01_概率分布,概率值非负：全概率和等于1：两极端事件的

28、分布函数值：(6)离,若离散随机变量X的随机试验仅有两个可能结果，可将其表述为X=1和X=0两个事件，则X服从0-1分布。抛硬币试验，出现正面为1，出现反面为0种子发芽试验，发芽为1，不发芽为0杀虫剂试验，有效为1，无效为0田间播种出苗试验，出苗为1，不出苗为0,(7)0-1分布(0-1 Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,44,王玉顺：数理统计01_概率分布,若离散随机变量X的随机试验仅有两个可能结果，可将其表述为X=,0-1分布概要：,(7)0-1分布(0-1 Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,45,

29、王玉顺：数理统计01_概率分布,0-1分布概要：(7)0-1分布(0-1 Distribut,(7)0-1分布(0-1 Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,46,王玉顺：数理统计01_概率分布,(7)0-1分布(0-1 Distribution)1.2.,遵循0-1分布规律的试验称作贝努利试验(binomial experiment)做n次贝努利试验称作n重贝努利试验n次抛硬币试验，统计正面出现的次数发芽试验，统计n粒种子中发芽的种子个数杀虫剂试验，统计n条虫子中被灭杀虫口数播种试验，统计n粒种子中出苗的种子个数,(8)二项分布(Binomial D

30、istribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,47,王玉顺：数理统计01_概率分布,遵循0-1分布规律的试验称作贝努利试验(binomial e,设贝努里试验随机变量仅取0和1两个观察值，对于n重贝努里试验，若每次试验中事件=1发生的概率记为p，那么用以描述n次试验中事件=1发生次数的随机变量X可用随机变量系之和表示：,(8)二项分布(Binomial Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,48,王玉顺：数理统计01_概率分布,设贝努里试验随机变量仅取0和1两个观察值，对于n重,=1代表什么与我们所关心的问题有关,(8)

31、二项分布(Binomial Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,49,王玉顺：数理统计01_概率分布,=1代表什么与我们所关心的问题有关(8)二项分布(Bi,随机变量系之和,服从参数为n,p的贝努利分布(binomial distribution)，亦称二项分布，记作XB(n,p)，其中0p1。二项分布的概率密度为：,(8)二项分布(Binomial Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,50,王玉顺：数理统计01_概率分布,随机变量系之和服从参数为n,p的贝努利分布(binomial,Binomial分布概

32、要：,(8)二项分布(Binomial Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,51,王玉顺：数理统计01_概率分布,Binomial分布概要：(8)二项分布(Binomial,(8)二项分布(Binomial Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,52,王玉顺：数理统计01_概率分布,(8)二项分布(Binomial Distribution,(8)二项分布(Binomial Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,事件X=x的概率等于n个0-1积事件的条件概率,9/24/2022,53,王

33、玉顺：数理统计01_概率分布,(8)二项分布(Binomial Distribution,P=0.3,0.5,0.7,(8)二项分布(Binomial Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,54,王玉顺：数理统计01_概率分布,P=0.3,0.5,0.7(8)二项分布(Binomial,设Y=X/n，相当于X乘了一个常数1/n，它指n重贝努利试验中事件出现的频率。不难推论，频率Y仍服从二项分布。即,(8)二项分布(Binomial Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,55,王玉顺：数理统计01_概率分布,设Y

34、=X/n，相当于X乘了一个常数1/n，它指n重贝,二项分布是具有n重贝努里试验背景的一种重要分布当n=1时，二项分布转化成0-1分布。因此0-1分布可被视作二项分布的一个特例由于二项分布随机变量X是0-1分布随机变量的线性组合，因而X可被视作0-1总体抽样获得的统计量,(8)二项分布(Binomial Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,56,王玉顺：数理统计01_概率分布,二项分布是具有n重贝努里试验背景的一种重要分布(8)二项分布,观察某作物田间出苗状况，若每穴粒数相同，则沿播行单位长度上（当作小区）的出苗数或出苗率服从泊松分布；对一个容器按等时

35、间间隔（看作小区）观测细菌的存活数；公路交叉路口单位时间间隔内过往的汽车数；汽车站或理发馆单位时间间隔内到达的顾客数等均服从泊松分布。,(9)泊松分布(Poisson Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,57,王玉顺：数理统计01_概率分布,观察某作物田间出苗状况，若每穴粒数相同，则沿播行单位,Poisson分布概要：,(9)泊松分布(Poisson Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,58,王玉顺：数理统计01_概率分布,Poisson分布概要：(9)泊松分布(Poisson Di,以顾客去理发馆为例导出

36、Poisson分布：设每人去理发馆的概率是p，则不去的概率是1-p；当顾客源容量n与理发馆容量处于供需平衡状态时，有np=，且n愈大p愈小顾客是否去理发馆是n重贝努利试验，设去理发馆的人数为X，则人数为x的概率为,(9)泊松分布(Poisson Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,59,王玉顺：数理统计01_概率分布,以顾客去理发馆为例导出Poisson分布：(9)泊松分布(P,顾客源容量n很大时则概率p很小，去理发馆人数X等于x的概率可用下述极限近似,(9)泊松分布(Poisson Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/2

37、4/2022,60,王玉顺：数理统计01_概率分布,顾客源容量n很大时则概率p很小，去理发馆人数X等于x的概率可,1.2.2.1 离散随机变量的概率分布,(9)泊松分布(Poisson Distribution),9/24/2022,61,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.2.2.1 离散随机变量的概率分布(9)泊松分布(Poi,分布函数,概率本质：,全概率和：,(9)泊松分布(Poisson Distribution),1.2.1 离散变量的概率分布,9/24/2022,62,王玉顺：数理统计01_概率分布,分布函数概率本质：全概率和：(9)泊松分布(Poiss,1.2.2连续变量的概率分

38、布Continuous Variable and Probability Distribution,1.2 随机变量及分布,9/24/2022,63,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.2.21.2 随机变量及分布9/24/202263王玉顺,1.2.2 连续变量的概率分布,若随机变量X或事件Xx的中的临界观测x可在一定范围内连续(无缝、不间断)取值，即值域为(,+)或任意指定区间；或者说某区间内的所有数值都是随机试验的可能结果；则称X为连续随机变量(Continuous Variable)小区产量在(10,65)内取值，是连续随机变量玉米株高在(135,195)内取值，是连续随机变量其它“计

39、量”类变量也是连续随机变量。,(1)连续随机变量(Continuous Variable),9/24/2022,64,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.2.2 连续变量的概率分布若随机变量X或事件Xx的中的,随机事件,随机事件,(2)随机变量、临界观察值与事件,临界观察值,1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,65,王玉顺：数理统计01_概率分布,随机事件随机事件(2)随机变量、临界观察值与事件临界观察值1,若X为一连续随机变量，x为任意实数，x+，则X的分布函数或概率累积函数F(x)定义为：,若将X看作数轴上的随机点，那么分布函数F(x)的直观意义就是随机点X落在区间(,x)

40、上的概率。定义域为整个数轴，值域在0,1上。,(3)分布函数(Distribution Function),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,66,王玉顺：数理统计01_概率分布,若X为一连续随机变量，x为任意实数，x,不可能事件：事件 的概率F()=0；必然事件：事件 的概率F(+)=1,概率本质：,单调非减：,(3)分布函数(Distribution Function),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,67,王玉顺：数理统计01_概率分布,不可能事件：概率本质：单调非减：(3)分布函数(Dis,连续随机变量的分布函数F(x)是事件的概率，是连续函数，其

41、函数曲线呈现为“S”形。,(3)分布函数(Distribution Function),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,68,王玉顺：数理统计01_概率分布,连续随机变量的分布函数F(x)是事件的概率，是连续函,设F(x)是随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f(x)，即f(x)0，使对任意实数x有,则称f(x)为连续随机变量X的概率密度(probability density)或密度函数(density function)或分布密度(distribution density),(4)概率密度(Probability Density),1.2.2 连续变量的概率分布,9/

42、24/2022,69,王玉顺：数理统计01_概率分布,设F(x)是随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f(x)，,密度非负：,全概积分：,导数关系：,1.2.2 连续变量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),概率密度是分布函数的变化速率,9/24/2022,70,王玉顺：数理统计01_概率分布,密度非负：全概积分：导数关系：1.2.2 连续变量的概,概率密度曲线与x轴所围面积等于1；分布函数F(x)值等于密度曲线f(x)、x轴和X=x直线三者所围区域的面积(图中阴影面积)。,1.2.2 连续变量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density

43、),9/24/2022,71,王玉顺：数理统计01_概率分布,概率密度曲线与x轴所围面积等于1；1.2.2 连续变量的概率,即随机变量X落在区间(x1,x2)上的概率，等于分布函数F(x)在该区间上的增量。由公式可知，X取任一定值 x1=x2=x的概率为0，这说明，虽然不可能事件的概率等于0，但反过来一个概率等于0的随机事件未必是不可能事件，这一特点是连续随机变量所特有的。公式可用于连续随机变量的概率计算。,(5)区间事件的概率,1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,72,王玉顺：数理统计01_概率分布,即随机变量X落在区间(x1,x2)上的概率，等于分布,(5)区间事件的概率,

44、1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,73,王玉顺：数理统计01_概率分布,(5)区间事件的概率1.2.2 连续变量的概率分布9/24/,高斯(Carl Friedrich Gauss,17771855)发表于1809年的绕日天体运动的理论一书涉及了误差分布的确定问题；设某个物理量的真值为，它的n个独立测量值为x1,x2,xn，则可用最大似然法估计：,(6)正态分布(Normal Distribution),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,74,王玉顺：数理统计01_概率分布,高斯(Carl Friedrich Gauss,1777,高斯(Carl Fried

45、rich Gauss,17771855)认为n个独立测量值x1,x2,xn的算术平均是的合理估计，并证明误差概率密度仅在具有下面形式的条件下，的最大似然估计才是n个独立测量值的算术平均，亦即,(6)正态分布(Normal Distribution),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,75,王玉顺：数理统计01_概率分布,高斯(Carl Friedrich Gauss,1777,拉普拉斯(Laplace,1749-1827)根据他所发现的中心极限定理推论，若误差可看成许多量的叠加，误差理应有Gauss分布。这是历史上第一次提到所谓的“元误差学说”；元误差学说：误差是由大量的、由

46、种种原因产生的元误差叠加而成；1837年，海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出元误差学说。他把误差设想成由数量很多的、独立同分布的“元误差”叠加而成。,(6)正态分布(Normal Distribution),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,76,王玉顺：数理统计01_概率分布,拉普拉斯(Laplace,1749-1827)根据他所发,按照海根(G.Hagen)的元误差学说：,(6)正态分布(Normal Distribution),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,77,王玉顺：数理统计01_概率分布,按照海根(G.Hagen)的元误差学说：(6)

47、正态分布(No,玉米株高观测和频数、频率统计,(6)正态分布(Normal Distribution),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,78,王玉顺：数理统计01_概率分布,株高分组（cm）组中值（cm）频数 频率 164,16,玉米株高分布,(6)正态分布(Normal Distribution),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,79,王玉顺：数理统计01_概率分布,玉米株高分布(6)正态分布(Normal Distribut,Normal分布概要：,(6)正态分布(Normal Distribution),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2

48、022,80,王玉顺：数理统计01_概率分布,Normal分布概要：(6)正态分布(Normal Dist,固定则概率密度曲线位置不变，曲线形状随的增大而峰值降低及两尾变粗和拉长,(6)正态分布(Normal Distribution),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,81,王玉顺：数理统计01_概率分布,固定则概率密度曲线位置不变，曲线形状随的增大而峰值降低,固定则概率密度曲线形状不变，位置随 的增大而右平移,(6)正态分布(Normal Distribution),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,82,王玉顺：数理统计01_概率分布,固定则概率密度曲

49、线形状不变，位置随 的增大而右平移(6,分布函数形状是S型曲线,(6)正态分布(Normal Distribution),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,83,王玉顺：数理统计01_概率分布,分布函数形状是S型曲线(6)正态分布(Normal Dist,分布函数与概率密度是积分关系,(6)正态分布(Normal Distribution),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,84,王玉顺：数理统计01_概率分布,分布函数与概率密度是积分关系(6)正态分布(Normal D,对称性：概率密度曲线关于x=对称,极值点：x=是概率密度的唯一极值点，其极值为,曲线形

50、状：愈大密度曲线中心愈右移 愈大密度曲线愈低矮肥胖 反之，愈小密度曲线中心愈左移 愈小密度曲线愈高耸瘦峭,(6)正态分布(Normal Distribution),1.2.2 连续变量的概率分布,9/24/2022,85,王玉顺：数理统计01_概率分布,对称性：概率密度曲线关于x=对称极值点：x=是概率,1.2.3正态分布的概率计算Calculating the Probability based on Normal Distribution,1.2 随机变量及分布,9/24/2022,86,王玉顺：数理统计01_概率分布,1.2.31.2 随机变量及分布9/24/202286王玉顺,1.2.