偏微分方程初步概要课件.ppt

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1、Partial Differential Equation(P.D.E),数学物理方程,吴事良,10/10/2022,1,北京科技大学数力系,Partial Differential Equation,Keep mind active,make yourself comfortable.,10/10/2022,2,北京科技大学数力系,Keep mind active,make yoursel,PDE的起源及发展：,欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，随后，达朗贝尔也在论动力学中提出了特殊的偏微分方程。,1746年，达朗贝尔在其论文张紧的弦振动时形成的曲线的研究中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲

2、线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。,丹尼尔贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程。,10/10/2022,3,北京科技大学数力系,PDE的起源及发展：欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，随后，达,今天，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。,偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪。法国数学家傅立叶，在从事热流动的研究中，写出了热的解析理论，在文章中他提出了三维空间的热

3、方程。,10/10/2022,4,北京科技大学数力系,今天，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分,教材：,数学物理方程 谷超豪等 高教出版社(第三版),参考：,偏微分方程,周蜀林,北大出版社偏微分方程,陈祖墀,中科大出版社(第二版),Partial Differential Equations,L.C.Evans,AMS,2008,fourth printing http:/math.berkeley.edu/evans/,10/10/2022,5,北京科技大学数力系,教材：数学物理方程 谷超豪等 高教出版社(第三版)参考：偏微,Definitions:,Differenti

4、al equation:Equation that relates the derivatives of an unknown function,ODE:the unknown function in the differential Eq.only depends on a single variable,PDE:the unknown function in the differential Eq.depends on more than one variable,1.,2.,E.g.,(ODE),(PDE),10/10/2022,6,北京科技大学数力系,Definitions:Diffe

5、rential equat,ODE One Variable Calculous(一元微积分),PDE Multi-Variable Calculous(多元微积分),10/10/2022,7,北京科技大学数力系,ODE PDE 10/10/20227北京科,记号(Notations),be a function.,the set of all derivatives of order k.,gradient(梯度).,Let,10/10/2022,8,北京科技大学数力系,记号(Notations)be a function.t,Laplacian of u.,be a vector-valu

6、ed function,Let,Divergence(散度)of u.,Clearly,=|all derivatives of order k are continuous,10/10/2022,9,北京科技大学数力系,Laplacian of u.be a vector-v,1.1.Basic Concepts(PDE的基本概念),unknown function,order PDE:,Order：,Classical solution：and satisfies the Eq.(1).,the highest order derivative occurring in the Eq.,1

7、0/10/2022,10,北京科技大学数力系,1.1.Basic Concepts(PDE的基本概念)u,分类一：,Linear,Non-linear,Semilinear(半线性),Quasilinear(拟线性),Full nonlinear(完全非线性),PDE,10/10/2022,11,北京科技大学数力系,分类一：LinearNon-linearSemilinear,线性 DE：,PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如(二阶线性PDE)：,常系数线性PDE:,不然称为变系数的,齐次线性PDE:,不然称为非齐次的,线性PDE的主部:具有最高阶数偏导数组成的部分,主部,

8、10/10/2022,12,北京科技大学数力系,线性 DE：PDE中对所含未知函数及其各阶,PDE中对最高阶导数项是线性的。例如：,半线性PDE：,完全非线性PDE：,PDE中对最高阶导数不是线性的。,拟线性PDE：,拟线性PDE中，最高阶导数项的系数仅为自变量的函数。例如：,非线性 PDE：,PDE中含有未知函数及其各阶导数的非线性项。,10/10/2022,13,北京科技大学数力系,PDE中对最高阶导数项是线性的。例如：半线性PDE：完全非线,例子经典方程（未知函数为二元函数）：,1.,2.,Transport Eq.(输运方程),10/10/2022,14,北京科技大学数力系,例子经典方

9、程（未知函数为二元函数）：1.2.Transp,4.,3.,Wave Eq.(波动方程),10/10/2022,15,北京科技大学数力系,4.3.Wave Eq.(波动方程)10/10/20221,5.,Laplace Eq.,6.,Heat Eq.热传导方程,10/10/2022,16,北京科技大学数力系,5.Laplace Eq.6.Heat Eq.,7.,8.,二阶拟线性,9.,一阶完全非线性,Reaction-Diffusion Eq.,Hamilton-Jacobi Eq.,极小曲面方程,二阶半线性,10/10/2022,17,北京科技大学数力系,7.8.二阶拟线性9.一阶完全非线性

10、Reaction-Dif,例子经典方程组：,1.,这里 分别为电场强度和磁场强度，为光速.,1873年，伦敦皇家科学院J.C.Maxwell用系统而精确的形式表达了有关电和磁的全部定律。爱因斯坦称赞它是“在牛顿以来物理上所经历的最深刻、最有成果的一次真正观念上的变革”，它开辟了无线电时代的新纪元。,10/10/2022,18,北京科技大学数力系,例子经典方程组：1.这里 分别为电场强度和磁场强,2.,System of conservation laws(守恒律方程组),3.,Reaction-diffusion system(反应扩散方程组),行波解(传播过程中波形不变)：传染病、神经网络、

11、化学反应等,10/10/2022,19,北京科技大学数力系,2.System of conservation laws,4.,其中 为粘性系数，分别为流体的速度和压力,Navier-Stokes Eqs.for incompressible,viscous flow(不可压缩粘性流),1、The NavierStokes equations are the most fundamental equations of fluid mechanics.2、The existence or non-existence of global solutions is a major unsolved p

12、roblem(open problem)in mathematics！,10/10/2022,20,北京科技大学数力系,4.其中 为粘性系数，分别为流体的速度,1.2.Well-posed problems(适定性问题),1、定解问题PDE+定解条件(具体方程时阐述),2、适定性若一个偏微分方程定解问题满足：(i)它的解存在；(ii)它的解唯一；(iii)(稳定性)它的解连续的依赖定解条件和定解问题中的已知函数，则称此定解问题是适定的；否则称为是不适定的.,注：稳定性是非常必要的.数学模型是实际问题的近似，得到的初始与边值数据都会有误差，因而定解问题的解与实际问题的解必定有差异，我们只能要求测

13、量的误差越小时，定解问题的解与实际问题的解越靠近.,10/10/2022,21,北京科技大学数力系,1.2.Well-posed problems(适定性问题,Wave Eq.(波动方程)双曲型,Poissions Eq(位势方程)椭圆型,Heat Eq.热传导方程 抛物型,内容：,三类方程解的适定性：存在、唯一、稳定 性；解的正则性、渐近性(衰减性)等,10/10/2022,22,北京科技大学数力系,Wave Eq.(波动方程)双曲型Poissions,存在性：Step1、形式解假定定解问题的解具有非常好的性质(如光滑性)，进而求出定解问题的解的表达式.这样的解称为形式解.Step2、严格证

14、明在定解条件满足一定的要求时，所得到的形式解确实是古典解.,唯一性及稳定性：Step1、先导出一些有用的先验估计 在解存在的先验假定下，导出解所满足的估计(最大模估计，均方模估计等).Step2、利用这些估计得出定解问题的解的唯一性及稳定性.,使用的方法:,10/10/2022,23,北京科技大学数力系,存在性：Step1、形式解假定定解问题的解具有非常好的性,注：波动方程、热传导方程及Laplace方程(在一定的情况下)都可求出解的具体表达式.但是绝大部分方程是求不出解的表达式的.对于这些方程只能从理论上研究解的性质或数值上模拟解的性态.,10/10/2022,24,北京科技大学数力系,注：波动方程、热传导方程及Laplace方程(在一定的情况下,作业:,1、复习重积分及曲线、曲面积分2、复习P356-371 的第三节：场论初步3、数分下册P347：4、5、6 P348：9(交),Q：Green及Guass公式能否推广到n维的空间中去？,10/10/2022,25,北京科技大学数力系,作业:1、复习重积分及曲线、曲面积分Q：Green及Guas,