第四章非弹性碰撞过程及电子阻止本领.docx

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1、 第四章 非弹性碰撞过程及电子阻止本领 在前面几章我们采用经典的二体碰撞动力学研究了载能粒子在固体中的碰撞过程及核阻止本领的计算，计算过程相对地较为简单。但对于电子阻止本领的计算，由于涉及到入射粒子同靶原子核外电子的多体相互作用过程，计算过程要复杂的多。自本世纪三十年代量子力学诞生以来，入射粒子在固体中的电子阻止本领一直是一个较活跃的研究领域。特别是近30年以来，随着实验测试手段的不断提高，人们可以较精确地测量电子阻止本领的值，这又进一步地促进了人们对电子阻止本领的理论研究。一般地，研究电子阻止本领的主要理论方法有：量子力学扰动理论、线性介电响应理论、量子散射理论、半唯象理论及经验理论（公式）

2、。本章将分别对上述理论给以简单介绍。4.1 高速离子的电子阻止本领 量子力学扰动理论描述 （一）非弹性散射截面 考虑由一个入射粒子和一个靶原子组成的系统。在时刻，入射粒子同靶原子之间不发生相互作用，系统处于未扰动状态。这时系统的哈密顿量为，其中和分别为入射粒子的哈密顿量和孤立靶原子的哈密顿量。与相对应的系统的本征函数为，本征值为。 当在时，入射粒子与靶原子开始相互作用，设系统的波函数为，满足如下薛定谔方程 （4.1-1） 其中是它们之间的相互作用势。将按的本征函数展开： （4.1-2）其中为展开系数。将（4.1-2）式代入方程（4.1-1），并利用波函数的正交性，可以得到关于展开系数的方程 (

3、4.1-3)其中为系统从本征态跃迁到本征态的频率， (4.1-4)则为跃迁矩阵元，其中表示空间体积元。再根据波函数的归一性，很容易得到展开系数所满足的归一化条件 (4.1-5） 对于高速入射粒子，相互作用势相对是个小量，这样可以采用微扰理论来求解方程(4.1-3)。在方程(4.1-3)右边求和中仅保留这一项，并利用，可以得到 (4.1-6)一般地相互作用势与时间无关，这样根据上式很容易得到的表示式，由此可以得到系统从初始状态跃迁到的几率为 (4.1-7）当时，则跃迁几率趋于与一个稳态的值 (4.1-8）式中函数要求系统在跃迁前后能量守恒，即。 体系的本征波函数可以写成原子的本征波函数和入射粒子

4、（可以视为自由粒子）的本征波函数的乘积 (4.1-9）其中和分别是入射粒子的波矢和位矢，表示靶原子中个电子位置矢量的集合。同样，系统的本征能量可以写成入射粒子的动能和靶原子的本征能量之和。这样入射粒子同靶原子碰撞前后的能量守恒方程为 (4.1-10） 由于入射粒子的能量是连续变化的，所以系统的能量也是连续变化的，由此可以得到。下面我们确定原子仍保持在固定的状态上，而入射粒子散射进以为中心的立体角内的几率。将方程(4.1-8）两边同乘以，并完成对的积分，则可以得到在单位时间内散射到空间立体角的几率为 (4.1-11）其中是入射粒子散射后的速度。将上式除以入射粒子的通量，则最后得到在一阶Born近

5、似下非弹性微分散射截面为 (4.1-12）其中是入射粒子散射前的速度。（二）Bethe-Bloch公式 在高能情况下，入射粒子同靶原子碰撞时，其能量损失主要用于激发或电离靶原子核外的电子。当一个原子从初始状态跃迁到终态时，其能量变化为。那么入射粒子在固体中穿过单位长度内，由于非弹性碰撞而损失的能量（即电子阻止本领）为 (4.1-13）其中是固体的原子密度，微分散射截面由(4.1-12）式给出。 下面的问题是如何计算出现在微分散射截面中的跃迁矩阵元。首先我们确定相互作用势的形式。在高速情况下，可以近似地认为入射粒子是一个裸离子，它与靶原子的相互作用可以用裸库仑势来表示。如果把坐标原点固定在靶原子

6、核上，则相互作用势为 (4.1-14）上式右边第一项为入射粒子同靶原子核的相互作用，而第二项是与核外电子的相互作用。引入波矢及利用(4.1-4)式和(4.1-9）式，则矩阵元可以表示成 (4-15）根据波函数的正交性，容易看出上式第一项的积分结果为零。对上式中的第二项进行分部积分，并利用函数的性质，最后矩阵元可以表示为 (4.1-16）将其代入(4.1-15）式，则电子阻止本领可以表示成 (4.1-17）在上式中，波矢与极角不是独立的。由图4.1可以得到如下关系 (4.1-18） 图4.1 波矢的示意图 对于固定的值，有和。这样方程(4.1-17）可以写成 (4.1-19） 下面确定方程(4.

7、1-19 ）中的积分上下限。由(4.1-18）式可以看出，有和。假设入射粒子在同靶原子碰撞前后其动量变化较小，即，并利用能量守恒公式(4.1-10），则积分下限为 (4.1-20） 将代入(4.1-10）式，并考虑到的限制，可以得到 (4.1-21）其中。 下面进一步地考察当入射粒子的动量变化最大时，靶原子的能量变化是多少。利用多电子体系的波函数的Hartree表述，方程(4.1-19）中的矩阵元可以写成 (4.1-22）根据波函数的正交性可知，要想使上式的积分结果不为零，必须要求个电子中只能有一个电子的终态与初态不相同。现假设这个电子为第j个电子，则(4.1-22）式右边求和中只剩下一项，即

8、 (4.1-23）这个积分值取决于在积分区域（原子体积）内的振荡行为。设原子的线度为，如果，则在原子尺度内振荡较为剧烈。在在种情况下，除非该电子的终态能把这种振荡抵消掉，否则积分结果分零。也就是说，为了使积分不为零，要求电子的终态波函数为。这是一个自由电子的波函数。由此可见，在的情况下，入射粒子传给靶原子的动量 全部交给了一个电子，并使这个电子成为一个自由电子，其它电子的状态没有变化。实际上，这种过程对应于入射粒子电子的弹性碰撞过程。由第三章的讨论可知，一个电子同一个入射粒子进行弹性碰撞时，电子得到的能量为 (4.1-24） 其中是电子的质量。对于对头碰撞（），电子得到的能量最大，即 (4.1

9、-25） 将其代入(4.1-21）式，最后可以得到积分上限的值为 (4.1-26） 下面我们完成方程(4.1-19）右边的积分。为了讨论方便，我们用表示方程(4.1-19）右边的积分部分 (4.1-27）我们可以将上面积分中的积分区域划分成两部分，即和。由前面的讨论可知，在的区域，这时原子中个电子中只有一个电子的状态发生了变化，该电子得到的能量为。因此有 (4.1-28）由于当时，仅当时，上式的积分才不为零，所以有 (4.1-29）对于的情况，有，因此可以将进行泰勒展开，即 。这样可以得到 (4.1-30）引入偶极振子强度 (4.1-31）及靶原子中电子的平均激发能 (4.1-32）则(4.1

10、-30）式可以写成为 (4.1-33） 其中利用了偶极振子强度的求和规则。把和结合起来并代入方程(4.1-27），最后得到高速带电粒子在固体中的电子阻止本领为 (4.1-34）这就是著名的Bethe-Bloch。 方程(4.1-34）是在一阶Born近似下得到的，因此电子阻止本领正比于入射粒子电荷数的平方。也就是说，无论对于正离子还是负离子，用Bethe-Bloch给出的电子阻止本领都相同。然而在50年代，Barkas观察到具有相同入射速度的粒子在固体中的穿行深度稍大于粒子的穿行深度，即意味着的能量损失小，而的能量损失大，这就是所谓的“Barkas效应”。最近，Aderson等人测量了质子和反

11、质子的能量损失，发现在同等入射速度情况下反质子的能量损失约比质子的能量损失低3%19%。可以证明：在二阶Born近似下，电子阻止本领的二阶修正量将正比于，由此可以解释Barkas效应。Sigmund等人曾也对此进行了较详细的研究。 在Bethe-Bloch公式(4.1-34）中，平均激发能是一个关键的物理量。 从理论上严格地计算平均激发能要涉及到靶原子的本征波函数和本征能量。对于一个多电子系统的原子，计算其本征波函数和本征能量是相当复杂的，需要采用Hartree-Fock-Slater（HFS）方法。只有对氢原子才能进行解析求解。计算结果表明，对于氢原子琴平均电离能为15eV。图4.1显示了平

12、均激发能实验测试值和理论计算值。 图4.2 平均激发能随靶原子序数的变化。4.2 电子阻止本领的线性介电响应理论描述在上一节我们采用量子力学的扰动理论研究了带电粒子在固体中的电子阻止本领，并在一阶Born近似下推导出了Bethe-Bloch 公式。Bethe-Bloch 公式仅适用于高速入射粒子的情况，一般要求入射粒子的速度要大于电子在原子中运动的Bohr速度cm/s。然而在通常的等离子体或离子束材料表面改性技术中，入射到固体表面上的重离子的能量一般小于200 keV，对应的速度远小于Bohr速度。在本世纪50年代Lindhard等人将固体中的电子成份看成是一均匀的自由电子气，采用线性介电响应

13、理论的方法对带电粒子在固体中的电子阻止本领进行了较为系统的描述。原则上讲，该理论不受入射粒子速度的限制，可以在较大的速度范围内适用。后来人们又分别考虑了电子气中电子之间的关联-交换相互作用、靶原子内壳层束缚电子的分布及入射粒子电荷态的变化等因素的影响，对原始的Lindhard理论进行了不断的完善。目前在描述电子阻止本领的诸多理论中，介电响应理论不仅是一种较为完善的理论，而且能够在较大的入射粒子速度范围内与实验值符合得较好。本节将对该理论进行较为系统的介绍。（一）介电响应理论 我们知道固体材料中原子的外壳层价电子可以在离子晶格中自由移动，形成所谓的自由电子气，而离子晶格只能在其平衡位置做微振动，

14、构成一正电荷的本底。对于一般的金属和半导体材料，电子气的密度较高，约为，是一种简并的量子气体。当一带电粒子在固体中穿行时，它将对处在平衡状态的电子气产生扰动，引起其密度涨落。电子气中的电子受到入射粒子（设为正离子）的吸引而要向其周围聚集。因为入射粒子是运动的，在其前面聚集的电子要比在其后面聚集的电子少，从而产生一个方向与入射粒子运动方向相反的感应电场。入射粒子前进时必须克服该感应电场造成的阻力，从而不断地损失其能量。 我们考虑入射离子上有一定的束缚电子分布，其密度为。设入射离子的原子序数为，质量为，以速度在电子气中穿行，其电荷密度空间分布为 (4.2-1)其中右边第一项为入射粒子的核电荷密度分

15、布。束缚电子密度分布满足归一化条件 (4.2-2）是束缚电子数。如果，则(4.2-1）式对应于裸离子的电荷密度分布。入射离子的运动方程为 (4.2-3）设入射速度方向沿着轴方向，利用，则可以得到 (4.2-4）这就是电子阻止本领，其中是入射离子的能量。 下面的任务是如何求出感应电场。实际上，电子气中的总电场是由两部分组成的：一部分是由外电荷分布产生的外电场，它可以由泊松方程来确定；另一部分是由扰动电荷密度产生的感应电场，其中，总电场遵从泊松方程 (4.2-5）为了讨论方便，引入电势，它与电场的关系为。这样方程可以写成 (4.2-6）引入付里叶变换 (4.2-7）其中为任意物理量。这样对方程(4

16、.2-6）进行付里叶变换，可以得到 (4.2-8）其中和分别是外电荷密度和扰动电荷密度的付里叶变换。根据(4.2-1）式和(4.2-7）式，外电荷密度的付里叶变换表示式为 (4.2-9） 其中是束缚电子密度的付里叶变换。利用泊松方程，很容易与证明外电荷密度相对应的外电势为。在下节我们将看到，在线性近似下感应电荷密度与外电荷密度有如下关系 (4.2-10）其中是电子气的纵向介电函数，它仅与电子气的性质有关。将上式代入(4.2-8）式，我们可以得到感应电势为 (4.2-11） 对(4.2-4）式的积分进行付里叶变换，并利用和(4.2-11）式，可以得到 (4.2-12）设速度的方向沿着轴，并令，则

17、上式可以写成 (4.2-13）这就是在线性介电响应理论机制下电子阻止本领的一般形式。可见它依赖于入射离子的速度、入射离子上的束缚电荷分布以及电子气的介电函数。（二）介电函数 在没有具体讨论固体中电子气的介电性质之前，首先让我们引入描述电子气平衡状态的几个物理量。由量子统计物理可以知道，固体中电子气是一个 Fermi系统，电子的自旋量子数为。在平衡状态下，电子的动量分布服从Fermi-Dirac分布 (4.2-14)其中是Fermi波数，可以由归一化条件给出 (4.2-15)由此可以给出电子的Fermi速度和Fermi能量 ； (4.2-16) 为了简化计算，通常人们引入一个无量纲的参量来代替电

18、子气的密度，其定义为 （4.2-17）其中是Bohr半径。后面我们将看到是描述电子气性质的一个重要的参量。这样借助于无量纲的参数，Fermi波数、Fermi速度及Fermi能量又分别可以表示为 （4.2-18） 下面我们确定电子气的介电函数。当入射离子在电子气中穿行时，电子气的平衡状态要受到扰动，这时电子的动量分布将偏离其平衡分布。如果仅考虑电子之间的库仑相互作用，不考虑它们之间的关联-交换相互作用，这样电子在相空间的分布函数满足量子伏拉索夫（Vlasov）方程 (4.2-19) 其中电势满足泊松方程 (4.2-20)感应电荷密度 (4.2-21)可以看出，在经典极限下，方程(4.2-19)

19、趋于经典的伏拉索夫方程 (4.2-22) 方程(4.2-19) 和 (4.2-20) 是一个非线性的方程组，在一般情况下很难求解。如果外界带来的扰动不是太大，可以将上述方程组线性化。令 (4.2-21) 其中为电子扰动分布函数，是个小量，满足。将(4.2-21)式代入方程 (4.2-19) 和 (4.2-20)并线性化，可以得到 (4.2-22) (4.2-23)对方程(4.2-22) 和 (4.2-23)进行付里叶变换，并利用平移公式 ，可以得到 (4.2-24) (4.2-25)为了满足因果性关系的要求，我们在方程(4.2-24)中引入了一个无穷小量。由方程(4.2-24) 和 (4.2-

20、25) 联立，很容易得到电势为 (4.2-26)其中 (4.2-27)为电子气的介电函数，有时也称这种介电函数为无归相位近似(Random-Phase Approximation)介电函数，简称RPA介电函数。可见介电函数仅于电子气的性质有关。 将电子的平衡分布函数(4.2-14) 式代入(4.2-27) 式，并完成积分，可以得到 (4.2-28) 其中为无量纲变量，为常量。在上式中，无量纲函数 和 分别为 (4.2-29) (4.2-30)其中。在上述讨论中，我们没有考虑电子气中电子之间的关联-交换作用的影响，即RPA介电函数仅适用于描述弱耦合的电子气，这要求电子气的密度参数。然而，对于一般

21、的金属材料，的取值范围为从1.49 (Au, W) 到5.88 (Cs)。因此，有必要考虑电子之间的关联-交换作用对介电函数的影响。Utsumi和Ichimaru等人采用多粒子的量子Monte-Carlo方法给出了如下局域场修正（Local-Field Correction，简称LFC）的介电函数 (4.2-31)其中为Lindhard极化率，为局域场修正因子，它包含了电子之间的关联-交换作用。（三） 质子在固体中的电子阻止本领 对于质子，可以认为其上没有束缚电荷存在，是一个裸离子。根据(4.2-1）式，可以得到其电荷空间分布的付里叶变换为 (4.2-32)将其代入方程(4.2-13），则质子

22、的电子阻止本领为 (4.2-33)将及用无量纲的变量代替，并利用局域场修正的介电函数(4.2-31) 式，则(4.2-33) 式可以写成 (4.2-34)其中 (4.2-35)阻止本领数，它仅是入射粒子速度和电子气密度的函数，而函数的定义为 (4.2-36) 首先我们考虑低速质子（）的电子阻止本领。在这种情况下，有。 这样函数，及可以分别近似地表示为 (4.2-37)其中是一个与电子气关联能量有关的参数。将(4.2-36) 和 (4.2-37) 式代入 (4.2-35) 式，并完成积分，最后得到低速质子的阻止本领为 (4.2-38) 其中仅是密度参数的函数 (4.2-39)其中。由(4.2-3

23、8)式可以看出：在低速情况下，电子阻止本领正比于入射粒子的速度。如果不考虑电子气中电子的关联-交换相互作用效应，即时，(4.2-38)式则退化为Lindhard和Winter的结果。由于考虑了电子气中电子的关联-交换作用效应，的值或电子阻止本领明显地增加。产生这种增加的原因是：对于低速离子，它在电子气中的运动速度较慢，有足够的时间可以同它周围电子气中的许多电子发生相互作用，并将其能量传给电子气，用于激发电子气。电子气的激发能包括库仑相互作用能和关联-交换作用能。在高速情况下，可以忽略电子气电子的关联-交换作用效应。因为在这种情况下，电子运动的较快，来不及同它周围的较多电子发生相互作用，这样关联

24、-交换作用效应显得不重要。这时根据 (4.2-27) 式，介电函数可以近似地表示成 (4.2-40) 利用无量纲的变量和，可以将上式改写成 (4.2-41) 其中。将上式代入方程(4.2-34)，利用主值积分公式并完成对 的积分，则可以得到 (4.2-42)其中为阶跃函数，它要求上式中的积分上下限和满足如下方程 (4.2-43)由此可以得到和。这样完成(4.2-42)式的积分，可以得到高速质子在固体中的电子阻止本领为 (4.2-43) 其中为电子气的振荡频率。可以看出，如果我们认为为电子气的平均激发能，则(4.2-42)式与Bethe-Bolch公式(4.1-34)形式完全相同。这说明在高速情

25、况下，电子阻止本领的线性介电理论描述和量子扰动理论描述是一致的。在任意速度区间，必须采用数值积分的方法来完成(4.2-35)式的积分。由介电函数(4.2-28) 式可以看出，对电子阻止本领的贡献来自两部分，即电子气中的单粒子激发（Single-Particle Excitations）区和集体激发(Collective Excitations)区。对于前者，有及，这时阻止本领数可以直接由(4.2-35)式计算，并记为；而对于后者，有及，这时(4.2-35) 式中的双重积分可以化成为线积分 (4.2-44) 其中；为共振点，由方程的根确定；的值由方程确定。 （四）局域密度近似前面我们是采用均匀电

26、子气模型来描述入射离子在固体中的能量损失的。实际上，当入射离子能量较低时，它很难接近靶原子的内壳层电子，其能量损失主要用于激发靶原子外壳层的价电子部分，这时可以采用均匀电子气模型。但若入射离子的能量较高时，它不仅同靶原子外壳层电子作用，而且还要同靶原子的内壳层束缚电子作用，这时不能再把固体中的电子成分看成为均匀的电子气。一般地，可以认为固体中原子的电子密度是球对称分布的，且在空间上变化较为缓慢。这样我们把原子的体积划分成许多小区间，在每一个小区间内，近似地认为电子是均匀分布的，可以用前面的均匀电子气模型来计算电子阻止本领。然后将每一个小区间对电子阻止本领的贡献叠加起来并进行平均。这就是所谓的局

27、域密度近似（Local-Density Approximation，简称LDA）方法。由(4.2-34)式可以得到在局域密度近似下，质子在固体中的电子阻止本领为 (4.2-45)其中为固体的原子密度，为原子的平均半径。 Zeigler等人曾考虑了固态效应并采用量子力学中的HFS方法计算了固体中的孤立原子的电子密度。尽管用这种方法给出的电子密度较为精确，但用它来计算电子阻止本领较为复杂。下面我们采用Kaneko给出的电子密度模型 (4.2-46)其中为固体中价电子气的密度，是内壳层电子的密度分布，是内壳层与外壳层交界处的半径，可以由连续性条件确定。根据HFS方法计算的结果，Green等人曾给出一

28、种参数化的自由原子的电子密度表示式 (4.2-47)其中是参数，。 这样借助于(4.2-45)式，我们计算质子在固体中的电子阻止本领。图4.3显示了电子的关联-交换相互作用效应对质子在Ti中的电子阻止本领的影响，其中实线是由LFC介电函数(4.2-31) 式给出的，虚线是RPA介电函数(4.2-28) 式给出的。可见在低能区间，图4.3 质子在Ti中的电子阻止本领，其中实线和虚线分别是采用LFC介电函数和RPA介电函数计算得到的。 图4.4 质子在Au中的电子阻止本领，其中实线是采用LFC介电函数计算得到的结果，虚线是由Ziegler等人的经验公式给出的结果，其它符号为实验结果。电子的关联-交

29、换相互作用效应使得电子阻止本领的值明显地增大，而在高能区间二者几乎没有差别，这与前面的解析结果是一致的。图4.4 显示了质子在Au中的电子阻止本领。可以看出，由(4.2-1) 式计算的结果与Ziegler等人的经验公式及实验数据在较大的能量范围内符合的较好。(五) 重离子在固体中的有效电荷数及电子阻止本领一般地，从离子源中引出的重离子或穿越等离子体鞘层直接到达固体表面上的重离子都不是裸的，其上具有一定的束缚电子存在。当重离子在固体内部运动时，由于它不断地同固体中的原子发生碰撞，可以使自身上的束缚电子被剥离掉。同时它也可以激发固体中的电子气，从电子气中捕获电子。因此对于重离子，它在固体中的电荷态

30、的瞬时变化是十分复杂的，其上的束缚电子的数目取决于它与电子气中电子的相对速度。1982年， Brandt 和Kitagawa（BK）引入了有效阻止电荷的概念来描述重离子电荷态的变化。下面我们对BK的理论模型进行简单地介绍。 在BK理论中，假设入射离子上的束缚电子的密度是球对称性分布的，其形式为 (4.2-48)其中是束缚电子数，是屏蔽半径。离子的基态能量（不是动能）为 (4.2-49)其中是束缚电子的动能，是核-电子之间的相互作用能，是束缚电子之间的相互作用能，它们的表示式分别为 (4.2-50) (4.2-51) (4.2-52)在(4.2-49)式中是个变分参数。当这些束缚电子处于基态时，

31、入射离子的基态能量应最小，即 (4.2-53)由此可以确定出屏蔽半径 (4.2-54) 及变分参数。可见，屏蔽半径依赖于束缚电子的数目。为了讨论方便，我们引入电离度这个物理量。当入射粒子完全被电离时，这时电离度最大，；当入射粒子为中性原子时，这时电离度最小，。在一般的情况下，电离度的大小同入射离子与电子气中电子的平均相对速度有关，其中是电子气中电子的速度。Nortchliffe根据Bohr的剥离判据，提出了电离度的形式如下 (4.2-55) 由于在平衡状态下，电子气中的电子服从Fermi-Dirac分布(4.2-14)。则可以得到相对速度为 (4.2-56) 在线性介电响应理论框架内，考虑了入

32、射离子的束缚电子分布后并利用(4.2-1）式和(4.2-48)式，电子阻止本领的表达式为 (4.2-57)其中 (4.2-58)可见当时，(4.2-57) 式即退化为裸离子的电子阻止本领。 为了描述入射离子电荷态的变化，Brandt-Kitagawa引入了有效电荷数的概念 (4.2-59)其中 由(4.2-57)式给出。首先我们讨论一下低速离子（）的有效电荷数。在BK的工作中，使用的是RPA介电函数，见 (4.2-28) 式。在低频和长波近似下，RPA介电函数可以近似地表示为 (4.2-60)将(4.2-60) 式代入 (4.2-59)式，并利用，则可以证明低速离子的有效电荷数为 (4.2-6

33、1)其中仅是的函数 (4.2-62) (4.2-63)由于有效电荷数是由两种情况下电子阻止本领的比值给出的，因此它对靶的参数（）的依赖性较弱。可以证明，在考虑了电子气中电子的关联-交换作用之后，有效电荷在数值上变化不大，但对低速重离子的电子阻止本领影响较大。在高速情况下（），使用 (4.2-40) 式给出的介电函数，有效电荷数为 (4.2-64)其中，。当重离子在固体中穿行时，不仅要考虑其电荷态的变化，还要考虑其离子核的尺度效应。在前面的讨论中，尽管我们考虑了重离子上面的束缚电子分布的存在，但在计算感应电势时没有考虑重离子的空间尺度效应带来的影响，是在全空间中计算感应电势的。实际上，重离子占据

34、的那部分空间（通常称为死球，Dead Sphere）不存在被激发的靶电子，因此在计算感应电势时必须扣除 这部分空间的贡献。考虑了死球效应后，则(4.2-57)式变为 (4.2-65)其中 (4.2-66) 及。可见当时，。在一般的情况下，死球的半径约为屏蔽长度的量级。利用(4.2-65)式，并采用局域场修正的介电函数及局域密度近似方法，可以对重离子在固体中的电子阻止本领进行数值计算。图4.5和图4.6分别显示了碳离子在金靶Au中及铝离子在银靶Ag中的电子阻止本领，其中取。可见计算结果在较大的入射能量范围内与实验结果及Ziegler等人的经验公式符合的较好。图4.5 碳离子在金靶中的电子阻止本领

35、。实线为正文中提到的计算结果，虚线为Ziegler等人的经验公式给出的结果，其它符号为实验值。图4.6 铝离子在银靶中的电子阻止本领。实线为正文中提到的计算结果，虚线为Ziegler等人的经验公式给出的结果，其它符号为实验值。 4.3低速离子的电子阻止本领的散射理论描述 在上一节我们根据线性介电响应理论研究了离子在固体中的电子阻止本领，尤其在低速情况下发现电子阻止本领正比于入射速度。低速离子的电子阻止本领是一个十分吸引人的研究课题。因为用于材料表面改性的重离子，其能量较低，一般情况下有。由于低速离子与固体中的原子相互作用过程较为复杂，已有不同的理论模型用于计算电子阻止本领，如早期Firsov的

36、半唯象理论。特别是在60年代初期， Ormord和Duchorth在实验中发现低速离子在固体中的电子阻止本领随其原子序数的增加呈明显地振荡，而且振荡的周期与入射离子的原子壳层结构规律有关。后来的大量实验结果又对这种电子阻止本领的振荡性做了进一步地证实。上节介绍的Brandt-Kitagawa有效电荷理论不能对低速离子电子阻止本领的振荡性作出解释，因为它采用了一种统计的方法来描述入射离子上的束缚电子分布的，反映不出束缚电子的壳层分布，给出的电子阻止本领随的增加而单调地增加。为此，近年来Echenique等人给出了一种建立在非线性密度泛函基础之上的量子散射理论描述。（一）电子阻止本领现在研究一速度为的入射离子在密度为的电子气中运动。由于入射离子的速度较低，可以认为它与电子气中的电子之间的相互作用是一弹性的散射过程。另外由于离子的质量远大于电子的质量，我们可以认为离子是不动的，而电子气中的电子是在离子势场中散射。入射离子的能量损失是用于电子气中电子在散射时的动量增加。先考虑电子气中一个速度为的电子在离子势场中的散射。在散射前，该电子相对入射离子的速度为，散射后的相对速度为（），散射角为，微分散射截面为，如图4.7所示。在散射前后该电子的动量变化沿着离子速度 电子