抽象代数理论问题与方法课件.pptx

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1、1,教材与参考书,教材张广祥:抽象代数理论、问题与方法,科学出版社, 2005课程名称:近世代数学习内容:教材前6章,1教材与参考书教材,2,学习前6章,1 导引(3)2 数环与数域(6)3 尺规作图(4)4 对称与群(5)5 代数方程的Galois理论(7)6 从勾股定理到费马定理(7),2学习前6章1 导引(3),3,本教材特点,以问题解决为主线避免概念化教学,3本教材特点,4,问题解决,第2章 数环与数域:整数的平方和定理第3章 尺规作图问题:尺规作图3大难题第4章 对称与群:晶体分类定理第5章 代数方程的Galois理论: 不可解方程第6章 从勾股定理到费马定理: 2次代数整数环分类,

2、4问题解决第2章 数环与数域:整数的平方和定理,5,问题解决,第7章 域上的代数:实数域上可除代数; 欧拉恒等式;合成代数分类问题第8章 多项式环的理想:希尔伯特基定理; 代数簇不可约分解第9章 理想的唯一分解性:整数唯一分解 定理推广第10章希尔伯特第17问题:整函数平方和,5问题解决第7章 域上的代数:实数域上可除代数;,6,第1章 导引,1.1 方法与对象1.2 映射与运算1.3 群、环、域的定义,6第1章 导引,7,1.1 方法与对象,代数学发展的4个阶段: 1 文字叙述阶段 2 简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段,71.1 方法与对象,8,1.1 方法与对象,1 文字叙

3、述阶段主要特点: 直观推理古代中国: 筹算法古代希腊: 几何数论,81.1 方法与对象1 文字叙述阶段,9,古代中国: 筹算法,算筹计数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,9古代中国: 筹算法算筹计数,10,古代中国: 筹算法,九章算术：筹算开方,10古代中国: 筹算法九章算术：筹算开方商(根)5 5 2,11,九章算术：开方术,11九章算术：开方术2 3商 2 3 2 5实 4 3法负,12,古代希腊: 几何数论,1+3+5+(2n-1)=n2.,12古代希腊: 几何数论,13,2 简化文字阶段,丢番图（Diophantus,公元250年）算术使用简化文字符号12345678910：

4、平方： ， （dunamis）立方：， （kubos）x3+8x-1： *x:; x3+8x: ; 减: ;常数: *,132 简化文字阶段丢番图（Diophantus,公元25,14,3 符号代数阶段,字母表示数M.Stiefel(1486-1567)1553综合算术使用+、-、F.Viete(1540-1603) : cubus aequalia a cubus+a plano2in b+b cubus,143 符号代数阶段字母表示数,15,3 符号代数阶段,符号代数的意义字母表示数：代数学不再停留在具体的数字计算，有了真正意义的数学公式、运算法则，并由此进化为现代数学符号系统、现代数学公

5、理系统项武义：近代代数学的分界不在于“字母表示数”而是“不定元引入”,153 符号代数阶段符号代数的意义,16,4 结构代数阶段,结构代数：从公理系统出发研究特定的代数系统，群、环、域等抽象代数是现代数学的基础拓扑学：基本群、上同调群代数数论：理想论代数几何：代数簇,164 结构代数阶段结构代数：从公理系统出发研究特定的代数,17,抽象代数三大基础,1 高次方程求根问题：Galois群，扩域2 费马问题高斯方法：Kummer理想论3 复数的几何解释：Hamilton四元数,17抽象代数三大基础,18,思考问题1,刘徽像利用乘法公式解释筹算开方法 的原理,18 思考问题1,19,思考问题2：素数

6、的复整数分解,5=（1+2i）（1-2i）问题：通常整数（有理整数）p=a+bi在复整数中存在非平凡分解的充分必要条件注：1 ，i是复整数中仅有的非平凡因子,19思考问题2：素数的复整数分解,20,思考问题3：数学符号的价值和功能,现代数学密切依赖于高度专业化的符号系统，数学符号系统不仅仅是简化的表达形式，也是思维的有力工具：例，蝴蝶定理的“傻瓜证法”.试用你自己的例证说明数学符号的价值和功能.,20思考问题3：数学符号的价值和功能现代数学密切依赖于高度专,21,蝴蝶定理,21蝴蝶定理ADGOFCHBE1324,22,蝴蝶定理,蝴蝶定理“傻瓜证法”,22蝴蝶定理蝴蝶定理“傻瓜证法”,23,1.

7、2 映射与运算,映射定义；单射、满射、一一映射集合A上的2元映射称为（ 2元）运算,231.2 映射与运算,24,集合分类,定义：非空集A上2元关系ab，满足 1 自反性：aa 2 对称性：若ab则ba 3 传递性：若ab、 bc则ac称2元关系为等价关系等价类 A（a）= xa | xA 商集 = A（a）| aA ,24 集合分类定义：非空集A上2元关系ab，满足,25,集合分类,等价关系，例：等于；朋友关系；模n同余：若n|a-b则记ab（n），称为a与b模n同余同余类：0，1，2，n-1,25集合分类,26,思考问题：映射的交换图,已知映射：AB满，定义：AA ，：BA 证明一一；图交

8、换 = A B A,26思考问题：映射的交换图已知映射：AB满，定义：A,27,1.3 群、环、域的定义,群的定义 整数加群（Z，+）： 1. 加法封闭 2. 加法结合 3. 加法交换 4. 有0元 5. 有逆元,271.3 群、环、域的定义 群的定义,28,群的定义,群的定义:非空集G,存在2元运算(乘法),满足条件 1. 封闭律 2. 结合律 3. 单位元e 4. 逆元a-1称G是一个群.,28群的定义群的定义:非空集G,存在2元运算(乘法),满足条,29,群的一些简单性质,1. 群的单位元唯一2. 每个元素的逆元唯一3. 乘法不必交换,若交换则称为交换群4. 若干例: 有理数加群、非零有

9、理数乘群 n次单位根乘群、完全线性群GL(n,F)5. 子群定义,29群的一些简单性质1. 群的单位元唯一,30,环的定义,整数环Z:全体整数两个运算,加法、乘法,满足 1. Z是加群 2. 乘法封闭、结合、交换 3. 乘法对加法分配律称为整数环.,30 环的定义,31,环的定义,环的定义:非空集R有两个运算,加与乘,满足 1. R是一个加群（交换） 2. 乘法封闭、结合 3. 左右分配律则称R是一个环.注: 0元、单位元、可逆元（单位）、交换环,31 环的定义环的定义:非空集R有两个运算,加与乘,满足,32,环的例,环的若干实例：整数环、有理数环（域）、多项式环、连续函数环、全矩阵环Maxn

10、(R)子环定义,32 环的例环的若干实例：,33,域的定义,域的定义域的若干实例:有理数域、实数域、复数域数域Q(i)、Q（ ）,33 域的定义域的定义,34,本节思考问题,汤璪真（毛泽东同学）群：定义整数集Z上“*”运算:a*b=a+b-1,证明(Z,*)是一个群.并讨论(Z,*)与整数加群之间的关系.,34 本节思考问题,35,本节新增习题,习题1 证明含n个元素的集合A(称为文字集)上的全体一一映射,把复合映射作为映射的乘法,组成一个群,记这个群为Sn,称为n次对称群.习题2 证明整数模5的同余类(剩余类)对于同余类的加法和乘法运算成为一个环.问这个环含几个元素?这个环是不是域?,35本节新增习题习题1 证明含n个元素的集合A(称为文字集,