《概率论与数理统计》高教版ppt课件.ppt

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1、国家级“十五”规划教材,概率论与数理统计教程,高等教育出版社,茆诗松、程依明、濮晓龙,数理统计： 第五章 第八章,概率论： 第一章 . 第四章,两 大 内 容,参 考 书 目,概率论与数理统计：陈希孺 科学出版社，2000.3概率论与数理统计： 李贤平等 复旦大学出版社 2003.5,简 要,“概率论与数理统计”是一门从数量侧面研究自然界中随机现象的统计规律性的学科。,1.1 随机事件及其运算1.2 概率的定义及其确定方法1.3 概率的性质1.4 条件概率1.5 独立性,第一章 随机事件与概率,2. 随机现象,1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象,1. 确定性现象,每天早晨太阳从东方升起

2、;,水在标准大气压下加温到100oC沸腾;,掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？,一天内进入某超市的顾客数;,某种型号电视机的寿命;,1.1 随机事件及其运算,1.1.1 随机现象,随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现.随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果 会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性.,1. 随机试验 (E) 对随机现象进行的实验与观察. 它具有两个特点：随机性、重复性.,2. 样本点 随机试验的每一个可能结果.,3. 样本空间() 随机试验的所有样本点构成的集合.,4. 两类样本空间

3、： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.,1.1.2 样本空间,1. 随机事件 某些样本点组成的集合, 的子集，常用A、B、C表示.,3. 必然事件 (),4. 不可能事件 () 空集.,2. 基本事件 的单点集.,1.1.3 随机事件,表示随机现象结果的变量.常用大写字母 X、Y、Z 表示.,1.1.4 随机变量,在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A.维恩图 ( Venn ).事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.,事件的表示,包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生.相等关系: A = B A

4、B 而且 B A. 互不相容： A 和 B不可能同时发生.,1.1.5 事件间的关系,解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.,2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.,例1.1.1,口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”， B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？,并： A B A 与 B 至少有一发生 交： A B = AB A 与 B 同时发生 差： A B A发生但 B不发生 对立： A 不发生,1.1.6 事件的运算,事件运算的图示,A B,A B,A B,德莫根公式,记号

5、概率论 集合论 样本空间, 必然事件 空间 不可能事件 空集 样本点 元素 AB A发生必然导致B发生 A是B的子集 AB= A与B互不相容 A与B无相同元素 AB A与B至少有一发生 A与B的并集 AB A与B同时发生 A与B的交集 AB A发生且B不发生 A与B的差集 A不发生、对立事件 A的余集,基本事件互不相容，基本事件之并=,注意点(1),注意点(2),若 A1，A2，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1A2 An= 则称 A1，A2，An 为的一组分割.,样本空间的分割,1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( )， AB = ( ),2. 设 A 与B 同时出现时 C

6、 也出现，则( ) AB 是 C 的子事件； C 是 AB 的子事件； AB 是 C 的子事件； C 是 AB 的子事件.,课堂练习,B,A,3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.,4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置， 试说明下列各对事件间的关系 A =|xa|，B =x a A =x20， B =x22 A =x22， B =x19,AB,相容,不相容,5. 试用A、B、C 表示下列事件： A 出现； 仅 A 出现； 恰有一个出现；

7、 至少有一个出现； 至多有一个出现； 都不出现； 不都出现； 至少有两个出现；,设为样本空间，F 是由的子集组成的集合 类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域,1.1.7 事件域,1. F ;,2. 若 AF ，则 F ;,3. 若 AnF ，n=1, 2, , 则 F .,1.1 习 题,3， 4， 5， 6， 9.,直观定义 事件A 出现的可能性大小.统计定义 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.,1.2 概率的定义及其确定方法,非负性公理： P(A)0;正则性公理： P()=1;可列可加性公理：若A1, A2, , An 互不相容，则,1

8、.2.1 概率的公理化定义,从 n 个元素中任取 r 个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.全排列：Pn= n!0! = 1.重复排列：nr选排列：,1.2.2 排列与组合公式,组 合,组合：,重复组合：,求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.,注 意,加法原理,完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法.,乘法原理,完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有

9、m1m2mn种不同的方法.,随机试验可大量重复进行.,1.2.3 确定概率的频率方法,进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数， 称 为事件A的频率.,频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).,用频率的稳定值作为该事件的概率.,频率稳定性的例子,P14 表1.2.1 .P15 表1.2.2 .P15 表1.2.3 .,古典方法 设 为样本空间，若 只含有限个样本点; 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为:P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数,1.2.4 确定概率的古典方法,抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 1=(正正正), (反正正), (正反正), (正正反), (

10、正反反), (反正反), (反反正), (反反反) 此样本空间中的样本点等可能.2=(三正), (二正一反), (二反一正), (三反) 此样本空间中的样本点不等可能.,注 意,古典方法确定概率的几种计算手段,1. 用排列组合直接计算,2. 用对立事件公式计算,3. 用加法公式计算,4. 利用对称性计算,特别注意掌握一些常见模型和问题,例1.2.1,六根草，头两两相接、 尾两两相接。求成环的概率.,解：用乘法原则直接计算,所求概率为,P28 习题1.2 (16),n 个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.,解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐， 而“甲乙相邻”只有两种情况，所以,P(

11、A) = 2/(n-1)。,例1.2.2,P28 习题1.2 (14),n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较),解：1) 先考虑样本空间的样本点数： 甲先坐、乙后坐，则共有n(n1) 种可能. 2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能. 3) 甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐， 所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：,例1.2.3,性质1.3.1 P()=0. 注意: 逆不一定成立.,1.3 概率的性质,性质1.3.2 (有限可加性) 若AB= ，则P(AB) = P(A)+P(B). 可推广到 n 个互不相容事件.性质1.3.3 (对立事件公式)

12、 P( )=1P(A).,1.3.1 概率的可加性,性质1.3.4 若AB，则 P(AB) = P(A)P(B)； 若AB，则 P(A) P(B).性质1.3.5 P(AB) = P(A)P(AB).,1.3.2 概率的单调性,(6) P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB)P(AC)P(BC) +P(ABC),1.3.3 概率的加法公式,AB=，P(A)=0.6，P(AB)=0.8， 求 B 的对立事件的概率。,解：由 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) = P(A)+P(B),例1.3.1,得 P(B) = P(

13、AB)P(A) = 0.80.6 = 0.2，,所以 P( ) = 10.2 = 0.8.,例1.3.2,解：因为 P(AB) = P(A)P(AB) ，所以先求 P(AB),由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB),= 0.4+0.30.6=0.1,所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3,P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB).,例1.3.3,解：因为A、B、C 都不出现的概率为,= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)= 11/41/41/4+0+1/16+1/160 =15/8 = 3

14、/8,P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/16, 求 A、B、C 都不出现的概率.,口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.,利用对立事件,解：记A为“第k 次取到黑球” ，则A的对立事件为,“第k 次取到白球” .,而“第k 次取到白球” 意味着：,“第1次第k1次取到黑球，而第k 次取到白球”,思 考 题,口袋中有2个白球，每次从口袋中随 机地摸出一球，并换入一只黑球. 求第k 次取到黑球的概率.,例1.3.4,解：用对立事件进行计算,记 A=“至少出现一次6点”，,则所求概率为,

15、一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.,例1.3.5,解：记 B = “至少出现一次双6点”，,则所求概率为,两颗骰子掷 24 次， 求至少出现一次 双6点 的概率.,从 1, 2, , 9中返回取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.,利用对立事件和加法公式,解：因为 “乘积能被10整除” 意味着：,“取到过5”(记为A) 且 “取到过偶数” (记为B)。,因此所求概率为 P(AB).,利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式,甲掷硬币n+1次，乙掷n次. (习题1.3第10题)求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.,利用对称性,解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数

16、. 甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.,因为 P(甲正乙正)= P(n+1-甲反 n-乙反),= P(甲反-1乙反),= P(甲反乙反),= 1P(甲正乙正) (对称性),所以 2P(甲正乙正)=1,由此得 P(甲正乙正)=1/2,N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品. (口袋中有M 个白球， NM 个黑球),常见模型(1) 不返回抽样,从中不返回任取n 个, 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：,此模型又称 超几何模型.,n N, m M, nmNM.,口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3 个.求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.,思 考 题,购

17、买：从01，35 中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.,彩票问题幸运35选7,中奖规则,1) 7个基本号码 2) 6个基本号码 + 1个特殊号码 3) 6个基本号码 4) 5个基本号码 + 1个特殊号码 5) 5个基本号码 6) 4个基本号码 + 1个特殊号码 7) 4个基本号码，或 3个基本号码 + 1个特殊号码,中奖概率, 中所含样本点个数：,将35个号分成三类： 7个基本号码、 1个特殊号码、 27个无用号码记 pi 为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：,中奖概率如下：,不中奖的概率为： p0=1p1p2p3p4p5p6 p7,N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品. 从

18、中有返回地任取n 个.则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：,常见模型(2) 返回抽样,条件： m n , 即 m = 0, 1, 2, , n.,n 个不同球放入 N 个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n 个盒子中各有一球的概率(nN),常见模型(3) 盒子模型,求n 个人中至少有两人生日相同的概率.看成 n 个球放入 N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn= P(至少两人生日相同)=,生日问题,p20=0.4058, p30=0.6963, p50=0.9651, p60=0.9922,n 个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对

19、自己帽子的概率.记 Ai = “第 i 个人拿对自己的帽子” ，i=1, , n.求 P(A1A2An)，不可用对立事件公式.用加法公式：,常见模型(4) 配对模型,P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), P(A1A2An) =1/n!P(A1A2An)=,配对模型(续),1.2 习题,4 ， 5， 直接计算 7， 8， 9，10，11， 抽样模型 12， 事件差公式 13 ， 直接计算 15， 盒子模型,1.3 习题,6， 对立事件、抽样模型 12，13， 盒子模型,1.2.5 确定概率的几何方法,若 样本空间充满某个区域，

20、 其度量(长度、面积、体积)为S； 落在中的任一子区域A的概率， 只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的位置无关 (等可能的). 则事件A的概率为: P(A)= SA / S,几何方法的例子,例1.2.3 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等距平行线， 向平面任意投掷一枚长为l 的针， 求针与平行线相交的概率.,蒲丰投针问题(续1),解： 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离， 又以表示针与此直线间的交角. 易知样本空间满足： 0 x d/2; 0 . 形成x-平面上的一个矩形，其面积为：S = d/2.,蒲丰投针问题(续2),A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x (l /2)

21、 sin . 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得,由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的概率为: 2l/d.而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相交，则频率为: n/N.用频率代替概率得： 2lN/(dn).历史上有一些实验数据., 的随机模拟,蒲丰投针问题的推广,平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形与平行线相交的概率 (习题1.2 第25题)分析：三角形与平行线相交有以下三种情况： 1) 一个顶点在平行线上; 2) 一条边与平行线重合; 3) 两条边与平行线相交.前两种情况出现的概率为零.所以只要去确定两

22、条边与平行线相交的概率.,解：记Pab,Pac,Pbc ,Pa,Pb,Pc分别为边ab,ac,bc, a,b,c与平行线相交的概率，则所求概率为 p=P(三角形与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc. 由蒲丰投针问题知Pa=2a/(d), Pb=2b/(d), Pc=2c/(d). 因为 Pa= Pab+Pac, Pb= Pab+Pbc, Pc= Pac+Pbc 所以 Pa + Pb + Pc = 2(Pab+Pac+Pbc), 由此得 p =Pab+Pac+Pbc=(Pa + Pb + Pc)/2 =(a+b+c)/(d).,1.2 习题,23， 27， 28。,因为概率是事件(集合)的函数

23、， 所以先讨论事件(集合)的“极限” .本节给出可列可加性的充要条件.,1.3.4 概率的连续性,若事件序列Fn满足：F1 F2 Fn 则称Fn为单调不减事件序列，其极限事件为,事件序列的极限,若事件序列Fn满足：F1F2 Fn 则称Fn为单调不增事件序列，其极限事件为,设P()是一个集合函数， (1) 若任对单调不减集合序列Fn，有 则称P()是下连续的.,集合函数的连续性,(2) 若任对单调不增集合序列Fn，有 则称P()是上连续的.,性质1.3.7 若P()是事件域F上的一个概率函数， 则P() 既是下连续的，又是上连续的.,概率的连续性,性质1.3.8若P()是事件域F上满足：非负、正

24、则的集合函数，则P() 有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.,可列可加性的充要条件,1.3 习题,2 ， 3， 15，16，17，18.,问题的提出： 1) 10个人摸彩，有3张中彩. 问：第1个人中彩的概率为多少？ 第2个人中彩的概率为多少？ 2) 10个人摸彩，有3张中彩. 问：已知第l个人没摸中， 第2个人中彩的概率为多少？,1.4 条件概率,定义1.4.1 对于事件A、B，若 P(B)0，则称 P(A|B) = P(AB) / P(B) 为在 B 出现的条件下，A 出现的条件概率.,1.4.1 条件概率的定义,1) 缩减样本空间： 将 缩减为B=B. 2) 用定义： P

25、(A|B) = P(AB) / P(B).,条件概率 P(A|B) 的计算,10个产品中有7个正品、3个次品，从中 不放回地抽取两个， 已知第一个取到次 品，求第二个又取到次品的概率.,P(B|A) = P(AB) / P(A) = (1/15) / (3/10) = 2/9,解：设 A = 第一个取到次品， B = 第二个取到次品，,例1.4.1,条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理.由此得： P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) P(AB|C)； 若 A 与 B 互不相容，则P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) ； P( |B) = 1 P(A|B).,条件

26、概率是概率,P(|B) = 1 ; P(B|) 1 ;P(A|) = P(A) ; P(A|A) = 1.,注 意 点,(1) 设P(B)0，且AB，则下列必然成立的是( ) P(A)P(A|B) P(A)P(A|B),(2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( ).,课堂练习,1.4 习题,2，3，5，6，7，9，10。,乘法公式;全概率公式；贝叶斯公式.,条件概率的三大公式,性质1.4.2 (1) 若 P(B)0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2

27、 An1)0，则 P(A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1) P(An|A1A2 An1),1.4.2 乘法公式,乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：记 Ai=“第i 次取出的是不合格品” Bi=“第i 次取出的是合格品”, 目的求 P(B1B2A3) 用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1) P(A3|B1B2) =,乘法公式的应用,性质1.4.3 若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的一组分割，且 P(Bi)0，则,1.4.3 全概率公式,全概率公式用

28、于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件 来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式：,注意点(1),若事件B1, B2 , , Bn是互不相容的，且 P(Bi)0，,注意点(2),则由 可得,设10 件产品中有 3 件不合格品，从中 不放回地取两次，每次一件，求取出 的第二件为不合格品的概率。,解： 设 A = “第一次取得不合格品”， B = “第二次取得不合格品”.由全概率公式得：,= (3/10)(2/9)+(7/10)(3/9),= 3/10,例1.4.2,n 张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸 取，记 Ai为“第 i 次摸到中奖券” ，则 (1) P(A1) =1/

29、n . (2) 可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n . (3) 可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n , i=1, 2, , n.,摸 彩 模 型,n 张彩票中有 k 张中奖，从中不返回地摸取， 记 Ai 为“第 i 次摸到奖券” ，则 P(Ai) = k/n , i=1, 2, , n结论：不论先后，中彩机会是一样的.,摸 彩 模 型 (续),口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情况下， 求第k次取出的是白球的概率： (1) 从中一只一只返回取球； (2) 从中一只一只不返回取球； (3) 从中一只一只返回取球，且 返回的同时再加入一只同色球.,思 考 题,罐中有 b 个黑球、r 个红球

30、，每次从中任取一个，取出后将球放回，再加入c 个同色球和 d 个异色球. (1) 当 c = 1, d = 0 时，为不返回抽样. (2) 当 c = 0, d = 0 时，为返回抽样. (3) 当 c 0, d = 0 时，为传染病模型. (4) 当 c = 0, d 0 时，为安全模型.,波利亚罐子模型,见教材P43（老P41）,波利亚罐子模型(续),甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、 m只黑球. 从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后 从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白 球的概率.概率为：,全概率公式的例题,甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白 球、m只黑球. 从甲口

31、袋任取两球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋装的黑、白球个数都相同，则情况又如何？,思 考 题,乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因”的概率.,1.4.4 贝叶斯公式,某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率. （1/6， 2/6， 3/6）,已知“结果” ，求“原因”,若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的一组分割，且

32、P(A)0, P(Bi)0，则,贝叶斯（Bayes）公式,1) B1, B2, ., Bn可以看作是导致A发生的原因; 2) P(Bj|A)是在事件A发生的条件下, 某个原因Bj 发生的概率, 称为 “后验概率”; 3) Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”; 4) 称P(Bj) 为“先验概率”.,注 意 点,例1.4.3 某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%, 2%, 4%. 若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?,解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设 Ai =“取到第i 个工厂的产品”，B

33、=“取到次品”， 由题意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25； P(B|A1)= P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04.,= 0.4,由Bayes公式得:,口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？,课堂练习 (习题 1.4 第20题),2/3,B1 =“患肝癌” ， B2 =“未患肝癌” ，肝癌发病率为0.0004，即P(B1)=0.0004, P(B2)=0.9996.用甲胎蛋白化验：A=“呈阳性” ，已知P(A|B1)=0.99, P(A|B2)=

34、0.001.求 P(B1| A).见教材P49（老P45）,例 1.4.7,1.4 习题,11, 15,16,19,20,事件的独立性 直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生， 则这两事件是独立的. P(A|B) = P(A) P(AB)/P(B) = P(A) P(AB) = P(A)P(B),1.5 独立性,定义1.5.1 若事件 A 与 B 满足：P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立.结论 A、B 为两个事件，若 P(A)0, 则 A 与 B 独立等价于 P(B|A)=P(B).性质1.5.1 若事件A与B独立，则 A 与 独

35、立、 与 B独立、 与 独立.,1.5.1 两个事件的独立性,实际应用中，往往根据经验来判断两个事件 的独立性：例如 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.,事件独立性的判断,1.5.2 多个事件的相互独立性,对于A、B、C三个事件，称满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) 为A、B、C 两两独立.称满足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 为A、B、C三三独立.,定义1.5.3 若事件 A1,A2 , An满足： 两两独立、三三独立、n n 独立 则称A1,A2 , An 相互独立.,若A、B、C 相互独立，则AB 与 C

36、独立,AB 与 C 独立,AB 与 C 独立.,一 些 结 论,例1.5.1 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率.,解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以,解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98.,解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98.,例1.5.2 甲、乙两人独立地对同一目标射击 一次，其命中率分别为 0.6 和 0.7，现已知 目标被击

37、中，求它是甲击中的概率.。,解:设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以,P(A|C) = P(AC)/P(C) = P(A)/P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.6/0.88 = 15/22,例1.5.3 两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射， 谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标 的概率分别为 和 ，求甲得胜的概率。,解:,因为P(甲胜) = + (1 )(1 ) P(甲胜),所以 P(甲胜) = / 1 (1 )(1 ) .,例1.5.4 口袋中有3个白球、5个黑球，甲、乙 两人轮流从口袋中有返回地取一球，甲先取. 谁先取到白球为胜，求甲胜的概率

38、.,解：P(甲胜) = 3/8 + (5/8)(5/8) P(甲胜),所以 P(甲胜) = 8/13.,例1.5.5 元件工作独立，求系统正常工作的概率. 记 Ai = “第i个元件正常工作” ， pi = P(Ai) .,(1) 两个元件的串联系统： P(A1 A2)=p1 p2,(2) 两个元件的并联系统： P(A1 A2) = p1+ p2 p1 p2 = 1(1 p1)(1 p2),(3) 五个元件的桥式系统： 用全概率公式 p3(p1+ p4 p1 p4)(p2+ p5 p2 p5) + (1 p3)(p1p2 + p4 p5 p1p2 p4p5 ),若试验E1的任一结果与试验E2的

39、任一 结果都是相互独立的事件，则称这两个 试验相互独立，或称独立试验.,1.5.3 试验的独立性,伯努里试验： 若某种试验只有两个结果 (成功、失败； 黑球、白球；正面、反面)， 则称这个试验为伯努里试验. 在伯努里试验中，一般记“成功”的概率为p. n 重伯努里试验： n次独立重复的伯努里试验.,n 重伯努里试验,在n 重伯努里试验中，记成功的次数为X.X 的可能取值为： 0，1，n.X 取值为 k 的概率为：,n 重伯努里试验成功的次数,。,。,1.5 习题,1，2，4，7，8，10， 14，16，18，19,某棋手在晋级比赛中要与甲、乙两位上一级大 师进行比赛，每局比赛中，该棋手胜甲大师的 概率为，胜乙大师的概率为，且 。现规定与甲、乙轮流进行三局比赛，连嬴二局 即可晋级，试问对该棋手而言，以下哪种比赛 方案更有利：甲乙甲、乙甲乙。,讨 论 题,