《数值分析》第四章解非线性方程的迭代法ppt课件.ppt
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1、第4章 解非线性方程的迭代法,本章讨论求非线性方程 (x)=0 (4.1)的根的问题.,其中(x)是高次多项式函数或超越函数.如 (x)=3x5-2x4+8x2-7x+1 (x)=e2x+1-xln(sinx)-2等等.,1 二 分 法,设(x)在区间a,b上连续且(a)(b)0,根据连续函数的介值定理,区间a,b上必有方程(x)=0的根,称a,b为方程(x)=0的有根区间.,得到新的有根区间a1,b1,设(x)在区间a,b上连续且(a)(b)0 .,0,a,b,y,x,y=(x),记a0=a,b0=b,计算,若|(x0)|0,取a1=x0,b1=b0,而且有根区间a1,b1长度是有根区间a0
2、,b0长度的一半,x0,再对有根区间a1,b1重复上面运算, 即: 计算,若|(x1)|0, 取a2=x1 ,b2=b1,得到新的有根区间a2,b2.,x1,而且有根区间a2,b2长度是有根区间a1,b1长度的一半.一直进行下去,直到求出有根区间ak,bk.,或者有|(xk)| ,或者有,此时,再计算,可见,k趋向无穷大时,xk收敛于 .,而且,若要|xk-| ,只要,此时可取近似根xk .,在计算过程中,若出现|(xk)|1,或bk-ak2 .则可取xk作为方程(x)=0的近似根,终止运算.,例1,用二分法求x3+4x-7=0在区间1,2内根的近似值,并估计误差.,解 这里(x)=x3+4x
3、-7, (1)(2)=-180,所以(x)=0在1,2区间有唯一根.,取x0=1.5,由于(x0)=2.375,得新有根区间1,1.5,x1=1.25,由于(x1)=-0.0468,得新有根区间1.25,1.5,x2=1.375,由于(x2)=1.0996,得新有根区间1.25,1.375,x3=1.3125,由于(x3)=0.511,得新有根区间1.25,1.3125,.,x9=1.254882813,得有根区间1.254882813,1.255859375,x10=1.255371094, (x10)=-0.000105285,取x10=1.255371094作为方程根的近似值,且有,只需
4、k5ln210-115.61.即需取x16.,如果取精度=10-5,则要使,二分法要求函数在区间a,b上连续,且在区间两端点函数值符号相反,二分法运算简便、可靠、易于在计算机上实现。但是,若方程(x)=0在区间a,b上根多于1个时,也只能求出其中的一个根。另外,若方程(x)=0在区间a,b有重根时,也未必满足(a)(b)0. 而且由于二分法收敛的速度不是很快,一般不单独使用,而多用于为其他方法提供一个比较好的初始近似值.,2.1 简单迭代法的一般形式,2 简 单 迭 代 法,首先把方程(x)=0改写成等价(同解)形式 x=(x) (4.2),得到迭代序列xk , 如果xk ,则有=(), 即是
5、方程(x)=0的根.,取一个合适的初始值x0,然后作迭代 xk+1=(xk) , k=0,1,2, (4.3),这种求方程根的方法称为简单迭代法,或逐次逼近法.其中(x) 称为迭代函数 ,式(4.3)称为迭代格式. 若迭代序列xk 收敛 , 则称简单迭代法是收敛的.,解 改写原方程为等价方程,求方程x3-2x-3=0在1,2内的根.,例2,建立迭代格式,如果取初值x0=1.9 ,计算得,由计算结果有,x10=x9,因此可取x10=1.89328920.,方程也可改写成x=(x3-3)/2, 建立迭代格式 xk+1=(xk3-3)/2 , k=0,1,2,仍取初值x0=1.9, 则有,x1=1.
6、9295, x2=2.0917, x3=3.0760, x4=13.0529,可见,xk,此迭代格式是发散的.,2.2 简单迭代法的收敛条件及收敛阶,首先,(x)应使初值 x0 产生的序列xka, b,即(x)的值域落在定义域内.,另外,从几何上看:,x0,x1,x2,x0,x1,x2,x0,x1,x2,x0,x1,x2,x4,x3,1.a(x)b, xa,b; 2.|(x)| L1, xa,b,定理4.1,设迭代函数(x)C1a,b,且满足,则迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,x0a,b都收敛于方程x=(x)在区间a,b的唯一根,且,可见,|xk-xk-1|充分小可保证|xk-|充
7、分小,而且对任一0,要使|xk-|, 只要,证 记(x)=(x)-x,则(a)=(a)-a0, (b)=(b)-b0,由(x)的连续性,必存在I,使()=()-=0,即=(),又(x)=(x)-10, 所以(x)=0的根唯一.,|xk+1-xk|=|(xk)-(xk-1)|=|()(xk-xk-1)|L|xk-xk-1| |xk+1-|=|(xk)-()|=|()(xk-)|L|xk-|,|xk+1-xk|=|(xk+1-)-(xk-)| |xk-|-|xk+1-|(1-L)|xk-|,求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-3.,解 可以验证方程xex-1=0在区间0.5,0.
8、6内仅有一个根.,例3,改写方程为x=e-x ,建立迭代格式,由于(x)=e-x ,在0.5,0.6上有|(x)|e-0.50.61.所以迭代法收敛.,取初值x0=0.5,计算得,所以,取近似根x10=0.56691满足精度要求.,如果精度要求为=10-5, 则由,可知,需要迭代20次.,实际上,方程在区间0.55,0.6上有唯一根,而在区间0.55,0.6上有|(x)|e-0.550.581。若取L=0.58,则有,注意:这里迭代次数20是充分的但不是必要的。,可知,需要迭代19次.,推论 若=(),(x)在附近具有一阶连续导数,且|()|0,当x0I=-, +时,迭代格式xk+1=(xk)
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