利率期权市场与调整.docx

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1、利率期权【学习目标】通过本章的学习要掌握利率期权的基本含义，利率期权市场的基本情况，主要的利率期权，包括利率期货期权，场外市场期权，以及内嵌在债务工具中期权。还要掌握为利率期权定价的解析工具。期权调整差额(Option Adjusted Spread, OAS)的含义。要理解利率期权定价的核心布莱克模型。第一节 利率期权市场我们可以将利率期权分成三类：交易所交易的，场外市场交易的和内嵌在金融工具里的利率期权。一、交易所交易的利率期权交易所交易的利率期权主要是指利率期货期权，此外还有一些债券期权，在第13章，我们讨论了期货期权定价的一般情况，在这一章，我们将通过利率期货期权更加深入地讨论这一问题

2、。主要利率期货期权是在CBT(Chicago Board of Trade),CMT(Chicago Mercantile Exchange)和LIFFE(London International Financial Futures Exchange)交易的。二、场外市场交易的利率期权场外市场上的利率期权不像内嵌在其他金融工具中的利率期权，它是单独直接交易的，它也是利率期权发展和创新的根源。因为场外交易市场几乎完全是私下进行的，所以没有关于市场规模和交易活动的完整、精确的统计数据。不过，我们有可能确定其市场规模的下限，因为我们可以利用有两个数据来源，一个是国际互换和衍生工具协会（Interna

3、tional Swaps and Derivatives Association，ISDA），ISDA会定期调查其成员的交易规模和营业资产；还有一个是美国货币审计办公室（Office of the Comptroller），它要求商业银行提交衍生产品交易的报告。在场外交易市场上，名义本金的概念是很关键的。名义本金可以通过与期货和期货期权市场的类比来理解。举个例子，一份欧元期货合约（或一份欧元期货期权合约）的本金是$1,000,000，不过这一百万美元并不是合约中实际的投资或风险暴露头寸，这一百万美元类似于OTC上的名义本金。名义本金是用来计算利息额的本金数量，它既不是实际的风险暴露，也不进行实

4、际的支付，只是计算利息流的基础。根据ISDA的报告，到1997年，场外市场上交易的利率期权的名义本金已超过5万亿美元，在过去10年每年以接近35的速度增长。ISDA的数据在一定程度上低估了场外市场的发展，因为它只包括101个会员的数据，不过仅此数据就表明场外市场的发展远远超过了交易所市场的发展。而货币控制办公室（OCC）的报告显示，475家商业银行和信托公司在交易所和场外市场上均有大量的衍生证券头寸，它们的报告没有将利率期权和其他衍生工具区分开来，但可以断言银行的期权头寸主要是利率期权头寸。1997年，这些银行持有的交易所期权头寸为1.363万亿美元，场外市场期权头寸为4.598万亿美元，两者

5、都是用名义本金来衡量的。货币控制办公室（OCC）的报告还显示，场外市场交易的期权和交易所交易的期权的比例约为3比1。这些数据和ISDA报告的数据不是独立的，每份期权合约都有买方和卖方，因此可能银行的一些期权头寸在ISDA的调查中已经包括了，而且一些银行的衍生证券部也是ISDA的会员，这些银行的期权头寸就可能被计算两次，这说明统计场外市场交易的利率期权是很困难的。不过，至少有一点是清楚的，利率期权的市场规模巨大，名义本金的头寸以万亿计。三、内嵌的利率期权除了在交易所和场外市场直接交易的利率期权，有大量的利率期权是内嵌在其他证券之中的。这些利率期权一般是内嵌在可赎回的公司息票债券和抵押债务中。在美

6、国，长期公司债券一般是息票债券，而且是可赎回的。赎回条款允许发行公司在特定的时间以特定的价格从投资者手中买回债券，即发行公司拥有一个内嵌在债券合约中的期权。这个赎回条款在本质上是一个利率期权，因为赎回条款的价值依赖于债券的价值，而债券的价值依赖于利率。几年前发行的美国国库券也有赎回条款，但现在没有了。广泛存在的赎回条款说明内嵌的利率期权大量存在，这些内嵌的利率期权对债券的市场价值有显著影响，我们将看到，债券的期权特征会影响债券价格对利率变动的反应方式。另外一类主要的内嵌的利率期权存在于抵押的不动产之中。几乎所有的不动产抵押都含有提前偿还条款，它允许借款人在抵押到期前提前偿还负债，这个提前偿还条

7、款是贷款人提供给借款人的。不动产抵押贷款的余额以万亿美元计，多数抵押贷款会在到期前提前偿还，这意味着提前偿还期权一般会被执行。在美国，住房抵押贷款一般是抵押银行用来形成抵押担保证券的基础。在本质上，抵押担保证券（Mortgage-Backed Security, MBS）是一个组合或不动产抵押池。MBS的投资者投资于由抵押贷款构成的组合，并按事先确定的比例参与组合现金流的分配。一旦抵押贷款被纳入资产池，政府抵押协会(Government National Mortgage Association, GNMA)或联邦抵押协会( Federal National Mortgage Associat

8、ion, FNMA )会提供违约风险的担保。因此MBS的收益率在考虑提前偿还的期权后略高于国库券的收益率。在组成MBS的抵押贷款中，每期都有一些被提前偿还。提前偿还住房抵押贷款的原因主要有两个：首先是一些人卖掉了住房，其次是为了利用更有利的再融资利率。从MBS的投资者角度看，第二个原因更重要。再融资一般会在现在的市场利率大大低于抵押贷款的合同利率的时候发生。当MBS中的抵押贷款出现提前偿还的时候，MBS的投资者收到提前偿还款项的一部分。从MBS投资者角度看，本金的偿还是不受欢迎的，因为这主要出现在利率很低的时候，MBS的投资者将面临以一个更低的利率投资。提前偿还的定价是复杂的，因为提前偿还不但

9、依赖于利率的变动，还依赖于人口统计学。一些抵押贷款的提前偿还率更高，是因为借款人更倾向于卖掉房子，这些人的流动性和跳槽比例都比较高。因此住房抵押贷款中内嵌的提前偿还期权很复杂，而且对理解MBS的定价非常重要。MBS专家要花费大量的时间和精力，考虑提前偿还。除了住房抵押贷款，另外一类MBS是证券化的抵押支持证券(Collateralized Mortgage Obligation, CMO)。CMO是通过将抵押贷款的现金流分解后从新打包以满足不同投资者的需求。这个打包称为部分( Tranche )，不同部分的息票率和到期日不同，它们被出售给不同的投资者。此外，抵押贷款也可以剥离成利息和本金量部分

10、，在一个典型的抵押贷款中，每个月的偿还额中的一部分是偿还当月的利息，剩下的部分是偿还本金。一个利率( Interest only ) MBS仅由抵押贷款的利息偿还部分组成，类似的，本金( Principal only )MBS仅由本金偿还组成。对于可赎回的债券和抵押贷款而言，理解它的价值和投资特征依赖于理解其中内嵌的期权带来的影响。一般将含有内嵌期权的金融工具价格分解成两部分，主体价值和期权价值，主体价值是不含期权的同类工具的价值。含内嵌期权的金融工具的价值主体价值期权价值内嵌期权既可能增加主体的价值，也有可能降低主体的价值。举个例子，可赎回债券中的赎回条款是发行者拥有的一个看涨期权，从投资的

11、角度看，它降低了债券的价值。可在抵押贷款中，借款人拥有一个提前偿还的期权。在这两种主要的内嵌期权中，借款人拥有期权，因此期权降低了资产的价值，提高了资产的收益率。第二节 利率期权的定价一、经过期权调整的价差现在我们开始讨论利率期权的定价，利率期权定价的关键是利率期限结构。在讨论定价模型之前，我们还需要了解经过期权调整的价差（Option-Adjusted Spread，OAS），OAS度量的是考虑了期权以后，以上内嵌了期权的金融工具和国债收益率的差值。为了计算某个金融工具的OAS，首先利用政府长期零息票收益率曲线进行估值，并将该值输入到新的定价模型中去。将模型给出的该金融工具的价格与它在市场中

12、的价格进行比较。运用一系列迭代过程以确定平行漂移到所输入的国债收益率曲线的平行漂移量，该量将使得模型的价格等于市场的价格。这个平行漂移量就是OAS。举个例子，假设市场价格是102.00，利用国债收益曲线计算出的价格为103.27。作为第一步试算，我们可以选择平等漂移到国债零息票曲线的平行漂移量为60个点。假设这个漂移量给出该金融工具价格为101.20。这低于102.00的价格，意味着在0和60点之间的某个平行漂移量将使得模型所计算的价格等于市场价格。自然我们利用线性插值计算得：即36.81点，将它作为下一次试算的漂移量。假设这个漂移量给出的价格为101.95。这说明OAS比36.81点要稍微小

13、一些。线性插值给出的下一次试算的漂移量为：即35.41点；如此等等。二、布莱克（Black）模型与利率期权的定价自从1973年布莱克舒尔斯（Black-Scholes）期权公式首次公布以来，该公式已成为非常流行的工具。正如在第十三章所述，该模型经过扩展之后，可为货币期权、指数期权以及期货期权估值。交易员已经非常习惯于支撑该模型的对数正态分布假设和用来描述不确定性的波动率测度。为了将该模型运用于利率衍生证券的定价，人们做了各种扩展。在利率衍生证券领域应用最广泛的布莱克舒尔斯扩展模型是发表于1976年的Black模型，起初开发该模型是为了给商品期货期权进行估值。该模型扩展后为范围广泛的欧式期权估值

14、提供了一个灵活的框架。我们还将给出一些例子说明Black模型如何应用于利率期权的定价。（一）运用Black模型为欧式期权定价考虑一个基于变量V的欧式看涨期权，假设利率是非随机变量并定义：期权到期日：在期限为T的合约中的V的未来价格：期权的执行价格：期限为T的零息票收益：的波动率：在时刻T时V的价值：在时刻T时F的价值在时刻T，期权的盈利状态是，由于，因此我们可认为在T时刻的期权盈利状态为，Black模型给出0时刻欧式看涨期权的价值c为：（14.1）其中相应的欧式看跌期权的价值p为：（14.2）（二）Black模型的扩展Black模型假设F的波动率为常数，我们可以稍微放松这个假设。由于我们是为欧

15、式期权进行估值，我们并不关心时刻T之前的V值或F值。我们仅只是要求在T时刻V服从对数正态分布。由于F是在风险中性世界中的期望值，我们能够利用风险中性估值方法推导出方程式（14.1）和（14.2）的充分条件如下：1的概率分布是对数正态分布；2ln的标准偏差是；3利率是非随机变量。当利率是非随机变量时，期货价格和远期价格是相同的。因此，对T时刻到期的某个合约而言，变量F可定义为V的远期价格。总之，只要假设利率是非随机变量，期权到期时标的变量服从对数正态分布，任何时候我们都可以利用方程式（14.1）和（14.2）为欧式期权估值。在方程式中的变量F可定义为T时刻到期的某个合约中的标的变量的远期价格。由

16、于我们并没有假设V和F的变化遵循几何布朗运动，那么定义变量为波动率并不严格。现实中，它不过是一个具有如下特性的变量，即是的标准偏差。为了强调这一点，我们定义为T时刻V的波动率测度（Volatility Measure）。进一步扩展Black模型，我们可允许给出盈利的时刻不是T时刻，例如假设从T时刻的变量V的值计算出期权的盈利，但是该盈利延迟到时刻，其中。在这种情况下，有必要从时刻而不是从时刻T贴现该盈利。我们定义为到期日为的零息票收益率，于是方程式（14.1）和（14.2）变为：（14.3）（14.4）其中（三）适用的利率人们广泛使用（14.1）到（14.4）为利率期权估值。变量V可以是利率、

17、债券价格、或两个利率之间的价差。变量F等于V的远期价格。用于贴现的变量和是从计算出来的零息票收益率。当Black模型按这种方式运用时，出现了两种近似情况：1假设V的远期价格等于它的期货价格，因此等于在风险中性世界中的期望值，但是，当利率是随机变量时，远期价格和期货价格并不相等。2即使计算期权盈利时刻这些利率假设为随机变量，也假设用来贴现的这些利率为常数。如果这些情况发生了的话，这两个近似具有相互抵消的效应。因此，在为欧式利率期权估值时，Black模型比所期望的具有更强的理论基础。（四）欧式债券期权的定价欧式债券期权是在未来一个确定日期按一个确定价格购买或出售某个债券的选择权。如果假设在期权到期

18、日标的债券的价格服从对数正态分布，令F等于远期债券价格，则可用方程程式（14.1）和（14.2）为该期权估值。变量是这样定义的，是期权到期时债券价格对数值的标准偏差。从即期债券价格B可以计算出F，公式如下：（14.5）其中I是在期权有效期内所支付的息票的现值。在这个公式中，即期债券价格和远期债券价格都是现金价格（Cash Prices）而不是报价（Quoted Prices）。在方程式（14.1）和（14.2）中的执行价格应该是现金执行价格。期权条款中对X的设定很重要，如果执行价格定义为期权履约时交换该债券的现金量，X应该设定等于这个执行价格。如果执行价格定义为期权履约时适用该债券的报价，X应

19、该设定等于执行价格加上截止到期权到期日的累计利息（交易员将债券的报价看作为“干净价格”，而将现金价格看作为不纯价格（Dirty Price）。例14.1考虑一个10个月期欧式看涨期权，标的证券是有效期9.75年的债券，面值为1,000（当期权到期时，该债券的有效期为8年11个月）。假设当前债券现金价格为960，执行价格为1,000，10个月期无风险年利率为10，在10个月内该债券价格的波动率测度为年率9。债券息票率为10，每半年支付一次，预计在三个月后和九个月后各支付50息票（这意味着累计利息为25，报价为935。）。我们假设3个月期和9个月期的无风险年利率分别为9.0和9.5，因此，所付息票

20、的现值为：即95.45。从方程式（14.5）得到债券远期价格如下： （a）如果执行价格是执行时支付该债券的现金价格，方程式（14.1）中的参数是F939.68，X1,000，0.1，0.09，T0.8333。看涨期权的价格为9.49。（b）如果执行价格是执行时支付该债券的报价，由于期权的到期日是息票支付日之后的一个月，一个月的累计利息必须加到X中去。得到X的值为：1,000+500.166671,008.33在方程式（14.1）中的其它参数不变（即，F939.68，0.1，0.09，T0.8333）。看涨期权的价格为7.97。债券价格对数的标准偏差会随时间变化。今天的标准偏差为零，因为今天债券

21、的价格没有不确定性。在债券的到期日标准偏差也是零，因为我们知道到期时债券价格将等于它的面值。在今天和债券到期日之间，标准偏差开始是增加的，然后减少。在为债券的欧式期权进行估值时，所使用的波动率测试为：一般来说，随着期权有效期限的增加，减少。当期权有效期限保持固定时，它是债券有效期限的一个函数。（五）收益率的波动率债券期权报价所对应的波动率常常是收益率波动率度量而不是价格波动率度量。市场运用久期概念将报价的收益率波动率转换为价格波动率。假设D是期权的标的远期债券的经调整的久期。在期权到期时，债券价格B与其收益y之间的关系是：即这说明在Black模型中使用的波动率测度与的收益率波动率测度之间有近似

22、的相关关系，公式如下：（14.6）当债券期权报价给出收益率波动率时，隐含的假设常常是，可以使用方程式（14.6）将该波动率转换为价格波动率，然后将它与方程式（14.1）或（14.2）联立起来，得到一个价格。第三节 利率上限和利率下限一、利率上限金融机构在场外市场提供的流行的利率期权是利率上限（Interest Rate Caps）。设计利率上限是为了提供某种保险，保证浮动利率借款的利息率不超过某一确定的利率水平。这个利率水平被称为上限利率（Caps Rate）。当贷款的利率上限与贷款本身都是由同一家金融机构提供时，利率上限所包含期权的成本常常被合并在应支付的利率内。当它们由不同的金融机构提供时

23、，为获得利率上限，可能会要求事先支付一笔承诺费。（一）作为利率期权的某种组合的利率上限利率上限确保在任何给定时刻所支付的借款利率是市场当前利率与上限利率中的较小者。假如一个本金为1,000万美元的贷款利率每3个月按3个月期LIBOR重新设定一次，而一家金融机构提供了一项年利率10的利率上限（由于是每季支付一次利息，这个上限利率也是按季度计复利来表示的）。为了履行利率上限协议规定的义务，该金融机构在每个季末必须向那个借款人支付（以百万美元为单位）：0.2510max（R-0.1，0）其中R是每季度开始时的3个月期LIBOR利率（按季度计复利来表示）。例如，当每个季度开始时的3个月期LIBOR利率

24、是年率11时，金融机构在季末必须支付0.2510,000,0000.0125,000。当LIBOR利率是年率9时，金融机构不必做任何支付。表达式max（R-0.1，0）是基于R的看涨期权所得的收益。因此可把利率上限看成是一个基于R的看涨期权的组合，其收益是在期权发生后3个月才获得。包含在利率上限中的单独期权有时称之为利率期权元（Caplets）。一般而言，若利率上限为，本金为，从利率上限有效期开始在时刻支付利息，则利率上限的出售方在时刻须支付的金额为：（14.7）其中是时刻被限定的利率的价值。这是一个在时刻观察到的基于利率的看涨期权，其收益在时刻出现。通常是这样构造利率上限，使得时刻没有任何基

25、于零时刻利率的收益。因此，在时刻利率上限具有潜在的收益。（二）作为债券期权的某种组合的利率上限利率上限也可以看作是一个基于贴现债券的看跌期权组合，这些看跌期权的收益出现在计算它们的那个时刻。在时刻方程式（14.7）中的收益等于时刻的：经过代数变换它化简为：（14.8）表达式是一个在时刻收益为的贴现债券在的基于在时刻到期的贴现债券的看跌期权的收益，该贴现债券的面值为，看跌期权的执行价格为L。这就证明了利率上限是一个基于贴现债券的欧式看跌期权组合的观点。二、利率下限和利率双限利率下限和利率双限（有时叫作地板顶板协议，Floor-Ceiling Agreement）的定义与利率上限相似。利率下限（F

26、loor）对要支付的利率设置了一个下限，利率双限（Collars）对要支付的利率既规定了上限又规定了下限。类似于利率上限的讨论，我们可以将一个利率下限看成是一个基于利率的看跌期权的组合或是一个基于贴现债券的看涨期权的组合。它可以用类似于利率上限的方法进行估值。利率下限的出售方通常是浮动利率资金的借款方。一个利率双限是由一个利率上限的多头和一个利率下限的空头组合而成的。在构造利率双限时，通常使得利率上限的价格等于利率下限的价格，于是利率双限的净成本为零。在利率上限价格和利率下限价格之间存在着类似看涨期权看跌期权平价关系，即利率上限价格=利率下限价格+互换价格在这个关系中，利率上限和利率下限具有同

27、样的执行价格。互换是这样一个协议，即收取浮动利率并支付的固定利率，但在第一个重新设定利率日并不交换利息。所有三个金融工具具有同样的有效期，同样的支付频率。注意到利率上限多头与利率下限空头组合给出了与互换相等的现金流，很容易看到这个结果是成立的。三、利率上限和利率下限的估值正如（14.7）式所示，对应于时刻所观察到的利率期权元给出了时刻的收益为如果假设服从对数正态分布，其波动率测度是，方程式（14.3）给出了这个利率期权元的值为（14.9）其中为在与时刻之间那个期间的远期利率。从（14.4）式得到对应的利率下限估值的表达式为：（14.10）在这些方程中，是到期日为的按连续复利计息的零收益率曲线利

28、率。和都是按的频率计复利来表示的。例14.2考虑一个贷款金额为10,000，一年后开始的，把上限利率限定在年度8（每季计复利一次）的3个月期贷款合约。这是一个利率期权元，可以作为利率上限的一个组成部分。假设一年后开始的3个月期远期利率是年率7（每季计复利一次）；现在的15个月期利率为年率6.5（每季计复利一次）；而且利率期权元所依附的3个月期利率的波动率度量为20。在（14.9）式中，=0.07，0.25，L1,000，0.08，0.065，0.20，1.0。由于所以利率期权元的价格是：即5.19。每个利率期权元必须使用方程式（14.9）分别进行估值。对于方程中的波动率，一种方法是对每个利率期

29、权元使用不同的波动率测度。于是这些波动率测度称之为远期的远期波动率（Forward Forward volatility）。另一种方法是对所有的组成任何特定利率上限的利率期权元都使用相同的波动率，但按利率上限有效期限的不同来改变这个波动率。于是，所使用的这些波动率称之为单一波动率（Flat volatility）。经纪人所报出的波动率通常是单一波动率。然而，许多交易员喜欢使用远期的远期波动率，因为这可使得他们识别低估或高估了的利率期权元。欧洲美元期货期权非常类似于利率期权元，人们经常将基于3个月期LIBOR的利率期权元所隐含的远期的远期波动率与从欧洲美元期货价格中计算的波动率进行比较。第四节

30、互换期权一、欧式互换期权（一）概念互换的期权或互换期权（Swaptions）是基于利率互换的期权，它是另一种越来越流行的利率期权。它给予持有者一个在未来某个确定时间进行某个确定的利率互换的权利（当然持有者并不是必须执行这个权利）。许多向其公司客户提供利率互换合约的大型金融机构也会向其客户出售或购买互换期权。我们举个例子来说明互换期权是如何使用的，某公司在6个月后要签署一个5年期浮动利率贷款协议，每6个月重新设定一次利率，它希望将浮动利息支付方式换成固定利息支付方式以使该贷款转化为固定利率贷款。支付一定的代价后，该公司可以获得一项互换期权，即：对6个月后开始的5年期贷款，该公司具有收取6个月期L

31、IBOR浮动利息和支付某个确定的固定利息（比如年率12）的权利。如果6个月后发现常规的5年期的固定利率小于年率12，则公司将不执行互换期权而选择按通常的方式签署一项互换协议。然而，如果以上的固定利率大于年率12，公司将选择执行互换期权，并以比市场上获得互换更有利的条件取得一项互换。当互换期权以刚才所描述的方式使用时，互换期权为公司提供了担保，即保证在某个未来时间内公司为某个贷款所支付的固定利率将不会超过某个水平。互换期权是不同于远期互换（有时叫做延迟互换，Deferred Swaps）的另一种方法。远期互换不必事先支付成本，但不利之处在于公司要承担签署某个互换协议的义务。而互换期权可使公司在利

32、率向有利方向变动时获益而在利率向不利方向变动时受到保护。互换期权与远期互换之间的区别类似于外汇期权和外汇远期合约之间的区别。（二）互换期权与债券期权的关系利率互换可看作是把固定利率债券换成浮动利率债券的协议。在互换的开始，浮动利率债券的价值总是等于互换的本金的金额。因此，一个互换期权可以看作是一个把固定利率债券换成互换的本金的期权。如果一个互换权给予它的持有者支付固定利息和收取浮动利息的权利，它就是一个执行价格等于本金的基于固定利率债券的看跌期权。如果一个互换期权给予它的持有者支付浮动利息和收取固定利息的权利，它就是一个执行价格等于本金的基于固定利率债券的看涨期权。（三）欧式互换期权的估值在为

33、欧式互换期权估值时，通常假设期权到期日的互换率是对数正态分布的。考虑如下互换期权，有一个利率互换在T年后开始，持续n年，我们具有对这个互换支付固定利率，收取浮动利率的权利，我们假设该互换本金为，每年支付次。假设在互换期权到期日的互换率为（和都按每年计次复利频率来表示）。将固定利率为的互换现金流与固定利率为的互换现金流进行比较，我们看到该互换的收益由一系列的现金流组成，这些现金流等于：在互换有效期限的n年内每年接收m次现金流，即他们交换现金流的时刻为，从今天开始，单位是年。每个现金流是执行价格为的基于R的看涨期权的收益。假设。运用方程式（14.3），在时刻收到的现金流的价值是：其中是远期互换率，

34、是有效期限为的按连续复利计息的零息票利率。该互换期权的总价值为定义A为在时刻（）支付1的合约的价值，则互换期权的价值为（14.11）其中如果互换期权给持有者收取固定利率而不是支付的利率的话，该互换期权的收益为这是一个基于R的看跌期权。与前面一样，在时刻（）得到收益。方程式（14.4）给出互换期权的价值为：（14.12）例14.3假设LIBOR收益率曲线是平坦的，年率6，按连续复利计息。考虑如下互换期权，持有者具有在5年后开始为3年期互换支付6.2的权利。该互换的波动率测度是20。每半年支付一次，本金为100。在这种情况下年率为6的连续复利利率转换为按半年计复利的结果是6.09。在这个例子中，所

35、以从方程式（14.11）可得互换期权的价值为 即2.07。二、条件累计互换Black模型的扩展表达式可用于条件累计互换（Accrual Swaps）的估值。在这种互换中，只有当浮动参照利率处于某个确定范围时，互换一方收取的利息才可以累计。有时在互换整个有效期内这个范围保持不变，有时这个范围定期需要重新设定。以下是一个条件累计互换的简单例子。考虑如下一笔交易，每个季度将固定利率Q交换为3个月期LIBOR。我们假设仅只有当3个月期LIBOR低于年率8时，才可以累加固定利息。假设本金为L。在一个正常的互换中，这个支付的量变为，其中是在前面设定期限内3个月期LOBOR低于8的营业日数，是一年中的总营业

36、日数。在固定利率高于8的那些日子里，固定利率支付方每天节省。可以认为固定利率支付方的头寸状态等价于一个正常互换加上一系列的两值期权，在互换的有效期限内每天都有一个两值期权。当3个月期LIBOR高于8时，两值期权收益为。一般来说，我们假设LIBOR截止利率（Cutoff Rate，在以上情况下是8）是，所支付的量每年交换一次。考虑互换有效期内的第i天，假设在第天的远期LIBOR是，其波动率测度是。LOBOR小于的风险中性概率是，其中是用年表示的直到第i天的时间。两值期权的收益只是在第i天之后的那个互换支付日才可以实现。我们假设这个时刻是。如果有效期限为的零息票利率，对应第天的两值期权的价值为将这

37、个表达式对互换有效期限内的每一天进行求和，可得两值期权的总价值。三、利差期权利差期权（Spread Option）是收益依附于两个利率之差的金融工具。这两个利率有时都从同样的收益率曲线计算而得（例如，利差为3个月期LIBOR减去5年期互换率），在有些情况下，它们来自不同的收益率曲线（例如利差为3个月期LIBOR利率减去3个月期短期国库券利率）。当利差总是为正值时，我们假设在期权到期日利差是对数正态分布，有时这个假设是合理的。可以使用Black模型。方程式（14.1）和（14.2）中，F等于利差的远期价值，等于利差对数值的标准偏差。当利差可能为正值也可能为负值时，一种方法是假设利差是远期价值居中

38、的正态分布。另一种方法是假设计算利差所用两个利率的每一个是对数正态分布，在它们之间有一种相关性。在这种情况下，每个利率的期望值是其远期利率（适当地经过凸性调整），对每个利率假设不同的波动率测度。该期权的价值就是这些预期收益的贴现值。运用三维树图方法（Three-Dimensional Trees）或蒙特卡罗模拟方法或其它工具，可以计算这个值。第五节 凸性调整一、为什么要进行凸性调整远期利率等于对应远期债券的收益率，例如，在第三年和第四年之间的远期利率是从第三年到第四年的零息票债券的远期价格中计算出来的。前面我们提到，当利用Black模型为利率衍生证券估值时，可以设定在风险中性世界中债券的期望价

39、格等于其远期价格，然后假设贴现时的利率为常数。不过设定利率等于风险中性世界中的远期利率并不总是正确的，因为债券价格和债券收益率之间的关系是非线性的。如果期限从第三年到第四年的零息票债券的远期价格为90，为了使用Black模型，我们要假设这个值是期望价格。从第三年到第四年的的远期利率为年复利11.11。这并不是期望债券收益率（即它不是三年后期望的一年期利率）。期望利率超过远期利率的这个量就是所谓的凸性调整（Convexity Adjustment）。图14.1表示了凸性调整是如何产生的，该图给出了债券价格和债券收益率之间的关系。为简单起见，我们假设只有三个可能的债券价格，、和，出现的可能性相同。

40、它们是等间距的，即。这些债券价格转换成等概率的收益率：、和。后面收益率不是等间距的。变量是远期债券收益率因为它是远期债券价格给出的收益率。期望债券收益率是、和的平均值，显然大于。和该期望债券收益率之间的差值就是凸性调整。 债券价格 B3 B2 B1 Y3 Y2 Y1图 14.1 凸性调整二、什么时候需要凸性调整通常是按如下方式构造利率衍生证券的，使得观测到利率的时刻与对应支付发生时刻有一个时间差距。例如，典型的“大众型”利率互换6个月期的LIBOR与固定利率之间的交换是这样设计的，使得观测到LIBOR的时刻与对应支付发生时刻之间有六个月的时滞。再如一个针对3个月期利率的利率上限，它通常是这样构

41、造的，利率在某个时点观测到，而对应的收益发生在三个月后。一般来说，当某个衍生证券的收益依附于期利率时，通常出现一个时期的滞后，这个是观测到利率时刻与对应支付发生时刻之间的期限。我们将这个滞后称为正常时间滞后（Natural Time Lag）。当所构造的某个利率衍生证券出现了一个正常时间滞后时，通常未必需要进行凸性调整。这个一般规则适用于我们通常遇到的大多数的利率衍生证券。为了理解这个规则为什么会如此，我们假设R是在T时刻观测到的期利率，在世界是处于确定的状态下，考虑一个在T+时刻收取100R的现金流，它等价于T时刻的如下现金流：由于是贴现债券的价格，使用Black模型时，可以假设在风险中性世

42、界中它的预期值是远期债券价格。假设F是T时刻与T+时刻之间期限的远期利率。将它定义为从远期债券价格所计算的收益率，远期债券价格为：其中表示风险中性世界中所考虑的预期值。它是：这说明如果我们按F比例从T+贴现到T时刻，我们可以设定R的概率分布均值等于F。这个分析说明为什么诸如利率上限、“大众型”利率互换，以及FRAs这些出现正常时间滞后的金融工具可以通过假设期望的未来利率等于远期利率来估值。对其它金融工具，按照它们收益的定义方式，正常时间滞后没有出现在其中，应该假设期望未来利率等于远期利率加上凸性调整。例14.4考虑如下衍生证券，收益等于三年后的一年期零息票债券利率乘以100。如果收益是在四年末

43、取得，该衍生证券包含了正常时间滞后，该衍生证券的价值为：其中是四年期无风险利率，F是在第三年末和第四年末之间那个期限的远期利率。如果收益是在第三年末取得，该衍生证券并没有包含正常时间滞后，该衍生证券的价值为：其中r是三年期无风险利率，c是凸性调整。三、凸性调整的计算我们现在给出一种计算凸性调整的方法。假设现在是零时刻，某个衍生证券的收益发生在T时刻。假设该收益依赖于在T时刻所观测到的债券收益率。进一步假设这个债券收益率是波动率测度为的对数正态分布。对某个到期日为T的远期合约，定义F为远期债券收益率，P(y)为该债券的价格，是其收益率y的函数。Brotherton-Ratcliffe和B. Ib

44、en证明了由F构成的凸性调整解析近似解是：（14.13）其中和分别是P对的一阶和二阶偏导数。这意味着我们应该假设在风险中性世界中的期望利率是而不是F。例14.5考虑如下金融工具，收益等于三年后那时的一年期零息票利率（按年计复利）乘以100。假设对所有期限的零息票利率都是年率10（按年计复利），在三年后的一年期利率的波动率测度是20。在这种情况下，收益取决于某个零息票债券的收益：远期利率F是0.1，所以和。从方程式（14.13）得到凸性调整：即10.9个基点。在为该金融工具估值时，我们应该假设远期利率为0.10109（10.109）而不是0.1。利用风险中性估值，该金融工具的价值为即7.60。四

45、、收益依附于互换率的衍生证券直到现在我们一直假设利率衍生证券依附于零息票利率，在某些情况下，标的利率是某个互换率。互换率是给出多次支付所设定的某个利率，在基本的互换中，每个支付日支付一次。如果构造某个衍生证券使得其收益与这种模式一一对应，当利用Black模型时，设定期望互换率等于在风险中性世界中的远期互换率是合理的。这是一个正确的方法，因为可以认为互换期权提供了多个收益，在每个互换支付日提供一次。如果某个衍生证券依附于互换率但其收益并不与某个互换支付模式相对应，有必要对远期互换率进行凸性调整。可以证明：如果某个衍生证券的收益在T时刻发生，并依附于在T时刻观测到的某个互换率，方程式（14.13）

46、给出了凸性调整的量，但各个变量的定义需作如下调整F：远期互换率。P（y）：债券在T时刻的价格，是其收益y的函数。在互换的有效期内，债券的息票等于远期互换率。：在T时刻互换率的波动率测度。例14.6考虑如下金融工具，三年后收益等于那时的三年期互换率乘以100。假设该互换每年支付一次，对所有期限的零息票利率都是年率12（按年计复利），在三年后的三年期互换率的波动率测度是22。在这种情况下：远期互换率F是0.12，所以和。从方程式（14.13）得到凸性调整：即36个基点。在为该金融工具估值时，我们应该假设远期互换率为0.1236（12.36）而不是0.12。利用风险中性估值，该金融工具的价值为：即8

47、.80。五、固定期限的互换有必要进行凸性调整的一个实际例子是固定期限的互换（Constant-Maturity Swaps）。在这个互换中，在每个支付日，某个互换率与某个固定利率相互交换。例如，某个互换持续10年，本金为100，每半年支付一次。在每个支付日，其中一方支付8的固定利率，其本金为100。另一方支付当前5年期互换率，本金为100。我们知道通过假设远期利率已经实现了可以为“大众型”利率互换进行估值。从我们刚才进行的分析可以清楚看到，类似的结论并不适用于固定期限的互换。固定期限互换的正确估值方法是假设经凸性调整的远期互换率已经实现了。这意味着我们首先应计算每个支付日的远期互换率。对每个远期互换率应用以上所讨论的凸性调整方法，并假设这些经调整的远期互换率已经实现了。本章小结1. 利率期权的形式多种多样。在交易所中，长期国债期货期权、中期国