弹塑性力学陈明祥版的课后习题答案ppt课件.pptx

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1、弹塑性力学,陈明祥,中国地质大学 力学教研室,第一章 绪 论,一、 学科分类 弹塑性力学,二、 弹塑性力学的研究对象,三、 弹塑性力学的基本思路与研究方法,四、 弹塑性力学的基本任务,五、 弹塑性力学基本假设,六、 弹塑性力学发展概况,七、张量概念及其基本运算,一、学科分类 弹塑性力学,按运动与否分：静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及 物体运动状态的改变；如飞机停在地 面或巡航。,1、学科分类, 按研究对象分：, 一般力学： 研究对象是刚体。研究力及其与 运动的关系。分支学科有理论力学，分析力学等。, 流体力学：研究对象是气体或液体。涉及到： 水力学、空气动力学等学科。, 固体力学：研究

2、对象是可变形固体。研究材料 变形、流动和断裂时的力学响应。其分支学科有： 材料力学、结构力学、弹性力学、 塑性力学、 弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。,2、弹塑性力学,弹塑性力学是固体力学的一个重要分支 学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度 变化等因素的影响而发生的应力、应变和位 移及其分布规律的一门科学，是研究固体在 受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段 这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门 科学。,二、 弹塑性力学的研究对象,在研究对象上，材料力学的研究对象是固体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。,造成两者间这种差异的根本原因是什么呢？,弹塑性力学研究对象也是固体，是不受

3、几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术 问题需求的物体。,三、弹塑性力学的基本思路与研究方法,1、弹塑性力学分析问题的基本思路,弹塑性力学与材料力学同属固体力学的 分支学科，它们在分析问题解决问题的基本 思路上都是一致的，但在研究问题的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：,(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析),物体受力作用处于平衡状态，应当满足的条件 是什么？（静力平衡条件）, 弹塑性力学研究问题的基本方法,1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解 法的严密性和普遍适用性为特点；2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠 进行度量。,四、 弹塑性力学的

4、基本任务,可归纳为以下几点： 1建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。,五、 弹塑性力学的基本假设,（1）连续性假设：假定物质充满了物体所 占有的全部空间，不留下任何空隙。,（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内 部各点处，以及每一点处各个方向上的 物理性质相同。,（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ； （B）弹塑性假设。, 几何假设小

5、变形条件,（A）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；,从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。,（B）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；,假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：,六、弹塑性力学发展概况, 1678年英国科学家虎克(R.Hooke)提出 了固体材 料的弹性变形与所受外力成正比虎克定律。, 19世纪20年代，法国科学家纳维叶 ( C.L.M.H.Navier )、柯西 ( A.L.Cauchy )和

6、 圣文南 ( A.J.C.B.Saint Venant ) 等建立了 弹性力学的理论基础。, 法国科学家库伦(C.A.Corlomb1773年）、 屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、 圣文南和莱 ( M.Levy ) 波兰力学家胡勃(M.T.Houber1904年）、 米塞斯(R.von Mises1913年）、 普朗特(L.Prandtl 1924) 罗伊斯(A.Reuss 1930)、享奇 （H.Hencky)、 纳戴(A.L.Nadai) 、伊留申(A.A.) 阐明了应力、应变的概念和理论； 弹性力学和弹塑性力学的基本理论框架得以确立。,七、张量概念及其基本运算（附录一）,1、张量

7、概念, 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 。, 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。, 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的， 它们是不以人们的意志为转移的。, 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们 当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题 的求解与表述。, 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。, 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。, 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。, 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。, 若我们以r

8、表示维度，以n表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：,（1）, 现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物 理量为张量。, 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直 观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间 可由坐标变换关系式来解决定义。,当n=0时，零阶张量，M=1，标量；当n=1时，一阶张量，M=3，矢量； 、 、 、当取n时，n阶张量，M=3n。, 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表 示和区别该张量的所有分量。, 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标 号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。, 重复出现，且只能重复出现一次的下

9、标符号称 为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再不求和。,2.下标记号法, 本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间， 即变程为3。,3.求和约定,关于哑标号应理解为取其变程N内所有数值， 然后再求和，这就叫做求和约定。 例如：,（I-2）,（I-4）,（I-5）, 关于求和标号，即哑标有：, 求和标号可任意变换字母表示。, 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。, 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前 优先求和。例：,（I-12）,（I-13）, 关于自由标号：,在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且标号字母相同。,自由标号的数量确定了张量的阶次。, 关于Kro

10、necker delta（ ）符号：,是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：,（I-17）,4.张量的基本运算,A、张量的加减：,张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：,凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)，并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。 即：,其中各分量（元素）为：,（I-19）,（I-20）,B、张量的乘积, 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。, 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的 每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即

11、积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：, 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配 律和结合律。例如：,（I-21）,（I-22）,C、张量函数的求导：, 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都 是坐标参数 xi 的函数。, 对张量求导，就是把张量的每个分量都对坐标参数 求导数。, 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ”的方式来表示。例如： ， 就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数 xi 求导。, 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ”的方式来表示。例如： ， 就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数 xi 求导。, 如果在微商中下

12、标符号 i 是一个自由下标，则 算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量； 如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子 作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：,（I-23）,（I-24）,（I-25）,（I-25）, 如果在微商中下标符号 i 是一个自由下标，则 算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量； 如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子 作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：,4.张量的分解,张量一般是非对称的。若张量 的分量满足,则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素)为零，即 。,则 称为对称张量。 如果 的分量满足

13、,（I-27）,（I-28）,第二章 应力理论,一、应力的概念应力状态的概念,二、应力分量转换方程,三、主应力应力主方向应力张量不变量,四、最大(最小)剪应力,五、空间应力圆.应力椭球,六、应力张量的分解,七、偏斜应力张量 .主偏应力.应力偏量不变量,八、八面体应力等效应力,九、平衡（或运动）微分方程,一、应力的概念 应力状态的概念, 应力：受力物体 内某点某截面上内 力的分布集度。,1、应力的概念,2、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态,必须指明两点：1.是哪一点的应力；2.是该点哪个微截面的应力。, 表示应力的及符号规则：,正

14、应力：剪应力：,第一个字母表明该应力作用截面的外法线方向同哪一个坐标轴相平行。 第二个字母表明该应力的指向同哪个坐标轴相平行。, 应力的正负号规则：,3.应力张量,数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是一个对称的二阶张量，简称为应力张量。,据剪应力互等定理 ,应力张量应是一个对称的二阶张量。,二.应力分量转换方程,1、任意斜截面上的应力,已知 ： 求：P Px 、Py 、 Pz,斜截面外法线为 n，方向余弦分别为 L1

15、 、L2 、 L3；面积： SABC=1；SOBC= L1，SOAC= L2， SOAB= L3。,则由单元体力系平衡条件： 、 、 得：,2、应力分量转换方程,表21,（210）,3、平面应力状态, 注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。,（222）,（221）,（211）,三. 主应力 应力主方向 应力张量不变量,主平面：一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面； 主应力 ：主平面上的正应力称为该点的主应力； 主方向 ：主平面的法线方向即为主方向；主单元体：由主平面截取的单元体称为主单元体。,设斜截面ABC为主平面，则：,则由2-4得：,（212）,（213）,（218）,理论上可证

16、明：当一点的应力状态确定时，由式2-18必可求出三个实根，即为主应力，且 。主应力彼此正交。,(219),（220）, 正应力的极值就是主应力,（224）,（225）,由2-24及,得：,对上式取极值求出方向余弦式，再代回式2-25得： ，即正应力取极值截面上的剪应力为零，此正应力即为主应力。主方向彼此正交。,四.最大(最小)剪应力,讨论式（b），可得其解如表-所示：,表23, 主剪应力为：, 最大（最小）剪应力为：,（227）, 最大（最小）剪应力作用截面上一般正应 力不为零，即：,（228）,五.空间应力圆 应力椭球,莫尔应力圆,若三个坐标轴的方向都恰取为应力主方向，则由式(224)或(2

17、15)可求出用，外法线为n的斜截面上的正应力其表达式为:,1、空间应力圆,在式（c）中，设 永远是正值，所以式（c）中右端的分子和分母应有相同的正、负号。,在式（c）中，设 永远是正值，所以式（c）中右端的分子和分母应有相同的正、负号。,六、应力张量的分解, 通常对于金属材料有：, 通常将应力张量进行分解，更有利于研究固 体材料的塑性变形行为。, 岩土材料在球应力张量作用下，一般也会出 现塑性体变，从而出现奇异屈服面。,七、偏斜应力张量 .主偏应力.应力偏量不变量,1、偏斜应力张量.主偏应力,2、应力偏量不变量,=, 作用八面体产生畸变，是塑性力学中的重要力 学参量。,八、8 面体应力 等效应

18、力,2、等效应力,（2-43）, 材料处于单向拉伸应力状态时， ， ；, 应力状态 确定了， 值就确定了，与坐标轴的 选择无关；, 等效应力 与球应力状态无关，是塑性力学中的重 要力学参量。计算中是使用 的绝对值。,等效应力又称为有效应力或应力强度， 用 表示.,九、平衡（或运动）微分方程, 平衡微分方程：, 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点 的应力分量和体力分量必定满足这组方程。, 求解应力场的问题是一个静不定问题。, 体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负。,（2-44）,（2-45）,十、静力边界条件, 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上任意 一点的应力分量和面力分量必定

19、满足这组方程。, 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之取负。,（2-46）,（2-47）, 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量与相 应的面力分量直接对应相等。, 关于平面问题的应力边界条件（xoy平面）：,（2-49）,例2-7： 图216所示为一变截面薄板梁， 板的厚度为单位 1，跨度为。梁上表面 承受三角形分布载荷作用，下斜表面承 受均布切向面力作用，左端面上作用的 面力详细分布情况不清，但分布面力的 合力为切向集中力P，合力偶的力偶矩 为M。试确定此问题上述三边界上的应 力边界条件。,例2-7：解：,左边界：,下边界：据圣文南原理和平衡的原理得：,上边界：,（1）,（2）,（3）,

20、第三章 变形几何理论,一、位移、应变、几何方程、 应变状态、应变张量,三、应变分量转换方程,四、主应变、最大(最小)剪应变、体积应变,七、应变速度、应变增量、应变莫尔圆,六、应变协调方程,五、应变张量的分解、等效应变,二、位移边界条件,一、位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量,1、位移分量和相对位移分量,位移,刚性位移：反映物体整体位置的变动,变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化,研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。,通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数，参照oxyz坐标即为：,（3-1）, 位移函数应是位置坐标的单值连续函数。, 位

21、移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程 度，还需要研究物体内各点的相对位移。,2、应变的概念 、几何方程, 在物体内任一点 M 处截取一单元体，考察其变形（由平面推广到空间）。, 在小变形的前提下建立应变的概念和几何方程。, 应变的概念, 考察单元体在xy平面上投影ABCD的变形。, 当微分体变形并出现位移后，其在xoy平面上的投 影ABCD 就移至新的位置 ，如图所示。, 应变的概念, 应变的概念,沿x方向棱边 的线应变 ，据定义有：,也即：,（略去高阶微量得：）,A点x，y方向所夹直角的改变量，即剪应变（角应变）：,也即：, 应变的概念,线应变,角应变,应变的符号规则：,表征某点

22、某方向伸长变形的线应变取正，反之取负； 表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。显然：xy=yx。,1.涉及受力物体内某点；2.涉及该点的某一方向；3.是一个无量纲的物理量。,1、涉及受力物体内某一点；2、涉及过该点的某两相垂直方向；3、是一个有单位，无量纲的物理量。, 几何方程：,（3-2）,该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西(Augustin-Louis Cauchy)几何关系。其缩写式为：,（3-7）,3、应变状态、应变张量,受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反映和表征了该点的变形程度(状态)，称之为应变状态。 一点的应变状

23、态可用二阶张量的形式来表示，称为应变张量，用 表示，即：, 由几何方程式可以看出，当物体内一点的位移 分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定， 因为应变是位移的微分形式。但是当应变分量 完全确定时，位移分量则不一定能求解出来， 这是由于物体的位移除了包含有纯变形位移 外，还可能包括有刚性位移。,三、应变分量转换方程, 任意方向上的线应变计算：, 应变分量转换方程,一点的应变状态是一个二阶对称张量，则其分量转换方程为：,(3-12),(3-13), 应变状态与应力状态都是二阶对称张量， 因此在数学上两者所遵循的坐标变换法则是 相同的。比较公式3-12和29，知其分量间对应关系为：, 由于应变张量

24、与应力张量两者在数学上遵 循相同的坐标变换法则，所以可知主应变、 应变主方向、最大（最小）剪应力、应变张 量分解、等对应关系式均可直接导出。,四、主应变、应变主方向、最大（最小）剪应变, 过物体内任一点，一定存在着三个互相垂直的平面,在这 些平面间剪应变为零，将其称之为应变主平面。, 应变主平面的外法线方向称为应变主方向或应变主轴。应 变主轴彼此正交。, 应变主方向上的线应变就是主应变。一点应变状态的主应变有三个即：, 当一点应变状态确定是， 其主应变、应变主方向由 下式确定：, 主应变、应变主方向,（3-18）,（3-19）,（3-22）, 应变不变量：,（3-23）, 理论上可证明：三个应

25、变主轴是彼此垂直的。, 理论上一般认为：应力主方向与应变主方向彼此 对应相同。通常简称为主方向。,(2)、最大（最小）剪应变, 理论上可证明：当一点应变状态确定时，该点的 三个主应变一定也是三个实数根。并且按代数值 排列：,（3-24）,（3-25）,五、应变张量的分解、八面体应变、等效应变,应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量，即：,（3-27）,（3-28）,（3-27）, 应变张量的分解, 偏斜应变张量.应变偏量不变量, 应变偏张量为：, 相应的应变偏量不变量为：,(3-30）,（3-29）, 八面体应变、等效应变, 八面体应变公式为：, 等效应变为：,（3-34）,六、变形连续性条

26、件, 由几何方程可知，六个独立的应变分量是表征一 点应变状态的，彼此间是不能相互独立的。因此， 六个独立的应变分量应满足一定的条件变形连 续性条件。,三个几何方程必须彼此协调，同时成立。,以平面问题为例：（oxy平面）,几何方程3个,位移分量2个,若无附加条件，则位移没有单值解。,平面问题（oxy平面）中，位移分量u、v、w 都是坐标 x、y 的函数。,以平面问题为例：（oxy平面）,几何方程3个,位移分量2个,以平面问题为例：（oxy平面）,几何方程3个,若无附加条件，则位移没有单值解。,位移分量2个,以平面问题为例：（oxy平面）,几何方程3个,三个几何方程必须彼此协调，同时成立。,若无附

27、加条件，则位移没有单值解。,位移分量2个,以平面问题为例：（oxy平面）,几何方程3个,三个几何方程必须彼此协调，同时成立。,若无附加条件，则位移没有单值解。,位移分量2个,几何方程3个,平面问题（oxy平面）中，位移分量u、v、w 都是坐标 x、y 的函数。,三个几何方程必须彼此协调，同时成立。,平面问题（oxy平面）中，位移分量u、v、w 都是坐标 x、y 的函数。,若无附加条件，则位移没有单值解。,三个几何方程必须彼此协调，同时成立。,平面问题（oxy平面）中，位移分量u、v、w 都是坐标 x、y 的函数。,位移分量2个,若无附加条件，则位移没有单值解。,三个几何方程必须彼此协调，同时成

28、立。,平面问题（oxy平面）中，位移分量u、v、w 都是坐标 x、y 的函数。,位移分量2个,若无附加条件，则位移没有单值解。,三个几何方程必须彼此协调，同时成立。,几何方程3个,位移分量2个,若无附加条件，则位移没有单值解。,三个几何方程必须彼此协调，同时成立。, 变形连续性条件，亦称应变协调条件（方程） 或相容条件（方程）。导出如下：,（3-35）, 其数学意义：要求要求位移函数在其定义域内为单值连续函 数，其方程就是位移函数的全微分条件。, 其物理意义：就是要保证不违反连续性假设，构成 物体的介 质在变形前后是连续的，并且物体内每一点的位移必定是确定 的，即同一点不会产生两个或两个以上的

29、位移。这就是说，相 邻点发生微小位移后，仍为相邻点，否则物体在变形后将出现 间隙或重叠现象。, 变形连续性条件反映了真实情况下物体内各点应变之间的协 调关系。, 关于平面问 题，变形连续 性条件简化 为：,（3-35）, 对于多连域问题，物体变形除满足式（2-94）（必要条件） 外，还要补充条件（充分条件）。,一点的应变状态可用应变莫尔圆来表示：,七、应变莫尔圆,第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程,4-1 弹性变形与塑性变形的特点 塑性力学的附加假设 4-2 常用简化力学模型 4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数 4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件 4-7 塑性本构方程简介,4-1

30、弹性变形与塑性变形的特点 塑性力学的附加假设, 弹塑性力学研究的问题一般都是静不定问题。, 此即弹塑性力学分析解决问题的基本思路。, 表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与 应变，以及应力率与应变率之间关系的物性方程， 称为本构方程（关系）。,4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续1）, 大量实验证实，固体受力变形时，应力与应变间的关系是相辅相成的。, 固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自 有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的 变形的客观特性。,4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续2）, 弹性变形特点:, 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外

31、力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复； 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 因此，应力与应变是一一对应的关系。,4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续3）, 塑性变形特点:, 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同， 应力与应变之间不再存在

32、一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。,4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续4）, 具强化性质的固体材料，随着塑性变形的增加，屈 服极限在一个方向上提高，而在相反的方向上降低 的效应，称为包辛格效应。, 包辛格效应导致材料 物理

33、力学性质具有各 向异性。, 由于这一效应的数学 描述比较复杂,一般 塑性理论（在本教 程）中都忽略它的影 响。, 包辛格效应:,4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续5）, 塑性力学附加假设:为研究塑性力学需要，对材料提出如下附加假设：, 球应力引起了全部体变（即体积改变量），而不包含畸变 （即形状改变量），体变是弹性的。因此，球应力不影响 屈服条件； 偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性变形仅是 由应力偏量引起的。因此，在塑性变形过程中材料具有不 可压缩性（即体积应变为零）； 不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料是非粘性 的。, 这些附加假设都是建立在一些金属材

34、料的实验基 础上的，前两条对岩土材料不适应。,4-2 常用简化力学模型, 变形力学模型是在大量实验的基础上，将各种反映 材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类抽象 总结后提出的。, 对不同的固体材料，不同的应用领域，可采用不同 的变形体力学模型。, 确定力学模型时应注意： 必须符合材料的实际情况； 模型的数学表达式应足够简单。,4-2 常用简化力学模型（续1）,不同的固体材料，力学性质各不相同。即便是同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中，所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相同。 尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力应变曲线，进行

35、分析归类并加以总结，从而提出相应的变形体力学模型。,4-2 常用简化力学模型（续2）,在确定力学模型时，要特别注意使所选取的力学模型必须符合材料的实际情况，这是非常重要的，因为只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实应力及应力状态。另一方面要注意所选取的力学模型的数学表达式应足够简单，以便在求解具体问题时，不出现过大的数学上的困难。关于弹塑性力学中常用的简化力学模型分析如下：,4-2 常用简化力学模型（续3）, 理想弹塑性力学模型,理想弹塑性力学模型亦称为弹性完全塑性力学模型，该模型抓住了韧性材料的主要变形特征。其表达式为：,（4-2）,4-2 常用简化力学模型（续4）, 理想线性强化弹塑

36、性力学模型,理想线性强化弹塑性力学模型亦称为弹塑性线性强化材料或双线性强化模型。其数学表达式为：,4-2 常用简化力学模型（续5）, 理想刚塑性力学模型,理想刚塑性力学模型亦称刚性完全塑性力学模型，特别适宜于塑性极限载荷的分析。其表达式为:,（4-4）,4-2 常用简化力学模型（续6）, 理想线性强化刚塑性力学模型,理想线性强化刚塑性力学模型，其应力应变关系的数学表达式为：,（4-5）,4-2 常用简化力学模型（续7）, 幂强化力学模型,为了避免在 处的变化，有时可以采用幂强化力学模型。当表达式中幂强化系数 n 分别取 0 或 1 时，就代表理想弹塑性模型和理想刚塑性模型。其应力应变关系表达式

37、为：,（4-6）,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数,大量的试验研究结果表明，在许多工程材料的弹性范围内，单向的应力与应变之间存在着线性关系。若取过某点的x方向为单轴向力方向，则简单拉(压)时的虎克定律为： 由于这种关系反映出来的材料变形属性，应不随应力状态的不同而变化，因而人们认为，对于各种复杂应力状态也应有性质相同的关系，故可将上述应力应变线性比例关系推广到一般情况，即在弹性变形过程中，任一点的每一应力分量都是六个独立的应变分量的线性函数；反之亦然。这种形式的应力应变关系，称为广义虎克定律或弹性本构方程，表达为数学形式则为：,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续1）,式中Cmn称为弹

38、性常数，与位置坐标无关。,（4-8）, 广义虎克定律一般表达式：假设物体中没有初应力，对于 均匀的理想弹性体的应力应变关系下：, 广义虎克定律张量表达式：,（4-9）, 广义虎克定律式（4-8）中36个弹性常数是否彼此 无关？, 弹性常数针对各种不同的研究对象；它们之间的关 系是什么？, 式（4-8）若采用矩阵表达式,则为：, = D ,称为应力列阵；称为应变列阵；D称为弹 性矩阵。,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续2）, 弹性应变能函数:, 弹性体的实功原理：若对于静荷载作用下产生弹性变形过程 中不计能量耗散，则据功能原理：产生此变形的外力在加载 过程中所作的功将以一种能量的形式被积

39、累在物体内，此能 量称为弹性应变能，或称弹性变形能。并且物体的弹性应变 能在数值上等于外力功。这就是实功原理，也称变形能原理。 若弹性应变能用U 表示，外力功用 We 表示，则有：,（4-10）,若以 Wi 表示内力功，则有：,（4-11）,（a）,且：,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续3）,、弹性体中的内力功和应变能： 物体内代表一点的微分体，在变形时存在有刚性位移与变形位移两部分。但由于内力是平衡力系，在微分体的刚体（性）位移上不作功，则只须讨论应力对微分体引起应变所作的内力功（亦称形变功）。,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续4）,首先考察单元体上外法线与 x 轴相平行的微

40、截面上拉力（或压力）所作的功如图4-8 (a)所示。,同理可得：,同理可得：,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续5）,则弹性体由零应变状态加载至某一应变状态 的过程中，弹性体整个体积的内力功为：,（412）,于是从零应变状态到达某一应变状态的过程中，积累在弹性体单位体积内的应变能为：,（414）,（413）,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续6）,（413）,、弹性势能函数:,有势力在势力场（弹性体）中，由于质点位置的改变（变形）有做功的能力，这种能称为势能。这种势能显然就是上述应变能。,势能是质点坐标的连续函数，故我们把应变能亦称为应变能函数，或弹性势能函数。,对于理想弹性体，在

41、每一确定的应变状态下，都具有确定的应变值。弹性势能函数与应变过程无关。在加、卸载的过程中：,（b）,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续7）,上式表明：应力分量等于弹性势函数对相应的应变分量的一阶偏导数。适用于一般弹性体。其缩写式为：,弹性势能函数是坐标的单值连续函数，故 必为全微分，即：,（419）,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续8）,（417）,（418）,、弹性常数间的关系:,、极端各向异性体:,对极端各向异性体，独立的弹性常数只有21个。,变形过程中，积累在单位体积内的应变能为：,（421）,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续9）,（420）,、正交各向异性体:,正

42、交各向异性体：过物体内一点具有三个互相正交的弹性对称面，在每个对称面两侧的对称方向上弹性性质相同，但在三个互相正交方向的弹性性质彼此不同。,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续10）,应变能 的值只取决于弹性常数及最终的应变状态，应该与坐标轴的指向无关。,正交各向异性体独立的弹性常数只有9个。则其相应的应力应变关系为：,其单位体积应变能为：,（422）,（423）,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续11）,有一类正交各向异性体，其特点是在平行于某一平面的所有各个方向(即所谓横向)都具有相同的弹性，我们将这类正交异性体称为横观各向同性体。许多成层的岩石就属于这一类。,、横观各向同性体:

43、,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续12）,（424）,（425）,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续13）,对比材料力学的公式，则式(4-25)可写成：,（426）,由于在平面 内各向同性，故由材料力学的证明知：,（427）,对于横观各向同性体，独立的弹性常数只有5个，它们是：,。,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续14）,、各向同性体:,所谓各向同性体：是指过物体内一点沿任何方向上的物理力学性质均相同的物体。其独立的弹性常数只有两个。,各向同性体两个独立的弹性常数通常取为： 弹性模量 E 和泊桑比, 各向同性弹性体的本构方程:,（428）,（429）,A. 用应力表达应变

44、的广义虎克定律:,B. 用应变表达应力的广义虎克定律：,上式中称为拉梅常数。,（433）,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续15）,剪切弹性模量G，杨氏弹性模量E，泊松(Poisson)比 三者间的关系为：,（430）,（433）,C用球应力与应力偏量表示的广义虎克定律：,（438）,此式说明各向同性弹性体的本构方程也可表示为：应变球张量与应力球张量成正比，应变偏张量与应力偏张量成正比。,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续16）,若将式(4-31)中各弹性系数代人式(4-23)，即可得各向同性体的应变比能为：,（434）,体积弹性模量 K,剪切弹性模量 G 0,弹性模量 E 0,拉

45、梅常数 0,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续17）,泊桑比 0 0.5,例41 当泊松比= 0.5时，为什么表示材料不可压缩性， 即体积不变。此时的剪切弹性模量 G 与拉压弹性模量 E 有什 么关系？,解：设= 0.5，由式（438）第一式及式（437），,所以，体积应变:,说明材料体积不变，即材料有不可压缩性。又由式（430），得:,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续18）,4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续19）,A、球应力（平均正应力）引起了单元体全部体变而不包括 畸变；体变是弹性的。,B、偏应力引起了单元体全部畸变而不包括体变。塑性变形仅 是由应力偏量引起的。,事实

46、上，由于应力状态中发生体变的球应力始终存在、发生弹性畸变的偏应力也始终存在，因此整个变形阶段弹性变形是始终存在的。当应力超过屈服极限而发生塑性变形时，始终还伴随着弹性变形，故而这个变形阶段称为弹塑性阶段。,上述的两点讨论有助于我们对塑性变形的研究，, 应力张量和应变张量分解的物理意义：,4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件,1、屈服函数:,判断材料是处于弹性状态还是已经进入到塑性状态，进行这一判断所依据的准则就称为屈服条件，又称塑性条件。,当材料处于简单应力状态时，当应力达到屈服极限 材料便处于塑性状态。即便是对那些应力应变曲线上弹塑性阶段分界不明显的材料，也可采用屈服极限 。,提出问题

47、: 在复杂应力状态下材料的屈服条件如何确立呢？,一点的应力状态通常是由六个独立的应力分量所确定。作为判断材料是否进入塑性状态的标准，应该考虑到所有这些应力分量的贡献。,固体材料破坏的基本类型只有两类： （1）材料屈服流动、强化，产生较大的塑性变形， 最终导致剪切断裂； （2）材料几乎不产生塑性变形，就导致脆性断裂；,4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续1）,4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续2), 对于同一种材料，无论它处于何种应力状态，当导 致它产生某种破坏的这一共同的因素达到某一个极 限值时，材料就会产生相应的破坏。 因此，我们希望通过材料的简单力学试验来确定这个 因

48、素的极限值。, 人们根据材料破坏的现象，总结材料破坏的规律逐 渐认识到：不管固体材料产生破坏（脆性断裂或塑 性屈服剪切断裂）的表面现象多么复杂，对应某 种破坏形式都具有共同的某一决定强度的因素。,现在的问题就是：考虑如何根据简单受力状态的试验结果（上述极限值），去建立材料在复杂应力状态下（即与所有的应力分量都相关的）判别材料变形状态的关系屈服条件。,在一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说屈服条件是该点六个独立的应力分量的函数，即为：,（440）,上式中的 称为屈服函数。,4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续3）,4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续4）,2、主

49、应力空间：,（441）,对于各向同性材料来说，坐标轴的转动不应当影响材料的屈服。因而可以取三个应力主轴为坐标轴。此时，屈服函数式（440）可改写为：,若球应力状态只引起弹性体积变化，而不影响材料的屈服。则可认为屈服函数为：,（442）,因此，屈服函数就转化为用应力偏量表示的函数，而且可以在主应力所构成的空间，即主应力空间来讨论。,主应力空间是一个三维空间，物体中任意一点的应力状态都可以用主应力空间中相应点的坐标矢量来表示，如图所示。因此，我们在这一主应力空间内可以形象地给出屈服函数的几何图象，而直观的几何图形将有助于我们对屈服面的认识。,4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续5）,4-

50、4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续6）,球应力状态： 或称静水应力状态，即应力偏量为零：,在主应力空间中，其轨迹是经过坐标原点并与三坐标轴夹角相同的等倾斜直线 on 。,平均应力为零： 即 ，应力偏量 不等于零。 在主应力空间中，它的轨迹是一个通过坐标原点并与 on 直线相垂直的平面，称它为平面。,4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续7）,应力偏量为常量：即 为常 数)。它在主应力空间中的轨迹是与on线平行但不经过坐标原点的直 线 L 。,平均应力为常量：即：（C为常量）。其在主应力空间的轨迹为一个与 on 直线正交但不通过坐标原点，也即和平面相平行的平面。,4-4 屈服函数