弹塑性有限元分析ppt课件.ppt

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1、2022/12/29,1,第二章 弹塑性有限元分析,目的：以弹塑性问题为例，介绍材料（物理）非线性问题）的有限元方法。特点：与线性有限元方法比较，本构关系不再符合线弹性的Hooke定律,引言 单轴试验下材料的弹塑性性态 屈服条件、屈服面与屈服函数 塑性本构关系 弹塑性问题的有限元解法,内容：,2022/12/29,2,引言(1/5),塑性是指物体内由于载荷超过某个临界值（弹性极限）而产生的永久变形。塑性力学是固体力学的一个分支，主要研究这种永久变形和作用力之间的关系，以及物体内部应力和应变的分布规律。,材料的非线性行为异常丰富 非线性弹性行为：当材料由于应力达到某种临界值而出现应力与应变间的非

2、线性变化关系； 弹塑性行为：有不可恢复的应变产生，即当载荷全部撤除后，会有永久的残余（剩余）变形； 粘弹性行为（包括松弛与蠕变）：在高温等条件下，应力不但与应变有关，还与时间、应变率等明显相关； 等等，以及多种非线性行为的耦合。,2022/12/29,3,引言(2/5),与相近学科门类的区别 塑性力学（Plasticity）和弹性力学（Elasticity）：塑性力学考虑物体内产生的永久变形；而弹性力学则不考虑；,塑性力学和流变学（Rheology）：两种门类都考虑永久变形。但是，塑性力学中的永久变形只与应力和应变的历史有关，不随时间变化；而流变学中的永久变形与时间有关。,可恢复的弹性变形,不

3、可恢复的塑性变形,塑性变形力学,流变学,2022/12/29,4,引言(3/5),塑性力学发展历史,1773年：库仑（Coulomb）提出土的屈服条件。1864年：屈雷斯加（Tresca）对金属材料提出了最大剪应力屈服条件。1870年：圣维南（Saint-Venant）提出在平面情况下理想刚塑性的应力-应变关系。假设最大剪应力方向和最大剪应变率方向一致，求解了柱体中发生部分塑性变形的扭转和弯曲问题、以及厚壁筒受内压问题。1871年：莱维（Levy）将塑性应力-应变关系推广到三维情况。,2022/12/29,5,引言(4/5),塑性力学发展历史（续）,1913年：米赛斯（Mises）经数学简化提

4、出了Mises屈服条件。米赛斯还独立地提出和莱维一致的Levy-Mises塑性应力-应变（本构）关系。1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，Levy-Mises本构关系是真实情况的一阶近似。1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin）等苏联学者用来解决大量实际问题。1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle）的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力-应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。,2022/12/29,6,引言(5/5),塑性力学发展历史（续）,1950年前后：展开了塑性增量理论和塑性全量理论的辩论，促使对两种理论从根本上进行探讨。1970年代：随

5、着有限元方法的提出和快速发展，关于塑性本构关系的研究十分活跃。主要从宏观与微观结合的角度，从不可逆过程热力学以及从理性力学等方面进行研究，例如无屈服面理论等。其它：1）在强化规律方面，除等向强化模型外，普拉格（Prager）提出随动强化等模型；2）在实验分析方面，运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法等能测量大变形的手段。等等。,2022/12/29,7,单轴试验下材料的弹塑性性态 （1/3）,对塑性变形基本规律的认识来自于实验：从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性;将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，确定应力超过弹性极限后材料的本构关系;建立塑性力学的基本方程;求解这些方程，得到不

6、同塑性状态下物体内的应力和应变。,基本实验有两个：简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变之间的关系不但是非线性的，而且不是单值对应的。静水压力实验：静水压力可使材料的塑性增加，使原来处于脆性状态的材料转化为塑（韧）性材料。,2022/12/29,8,单轴试验下材料的弹塑性性态 （2/3）,单轴实验经过以下阶段：线弹性阶段：加载开始直至比例极限，材料表现为线弹性行为。非线性弹性阶段：继续加载直至弹性限，材料表现出非线性弹性行为。在此之前完全卸载，材料将沿原加载曲线返回而无残余应变。（注：比例限与弹性限非常接近，一般不做区分）塑性阶段：继续加载，材料可承受更大应力，称为材料强化，并伴随出

7、现塑性应变。至A点以前卸载，路径接近直线，即处于弹性卸载状态，其斜率等于加载斜率E。破坏点：继续加载至可承受的最大极限应力，试件出现颈缩而破坏，称为强度极限。,材料单向受载情形下的性态,2022/12/29,9,单轴试验下材料的弹塑性性态 （3/3）,塑性问题的特点： 材料进入塑性后，即使卸去应力，塑性应变将永久存在， 与应力间的关系不仅取决于应力水平，还取决于加载历程。,材料单向受载情形下的性态,2022/12/29,10,屈服条件、屈服面与屈服函数,屈服条件： 材料进入塑性后，又称材料发生了屈服。屈服条件，又称屈服准则，是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的依据。在复杂应力状态下，各应力

8、分量可组成不同的屈服条件。,屈服面： 对于单向应力状态，其屈服条件可以写成,可以看出，描述一维问题的屈服条件需要应力应变曲线上的一个临界点（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该曲面称为屈服面。,至今已出现许多屈服理论。我校俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。,考虑到塑性变形与静水压力无关的特点,屈服函数： 是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。,2022/12/29,11,塑性本构关系（1/6）,本构关系：简单地说，就是材料的应力应变关系1） 是分析塑性力学问题、进行数值模拟的依据和基础。2） 一般以增量形式描述，因为塑性力学一般都需要考虑变形

9、的历程，而增量形式恰恰可以做到这点，反映塑性变形的本质。3） 应力和应变的增量关系与屈服条件有关。因而，研究塑性本构关系，必须紧紧结合屈服条件。,用增量形式表示塑性本构关系的理论称为塑性增量（流动）理论。相对应地，还有塑性全量（形变）理论。,本构研究中的基本假定：材料是各向同性和连续的；材料的弹性性质不受影响；材料是稳定的；与时间因素无关等。,2022/12/29,12,塑性本构关系（2/6）,Levy-Mises增量（流动）理论,除了以上最基本的假定外，Levy-Mises增量理论还假定：1）材料是刚塑性的，弹性应变增量为零；2）对理想刚塑性体，符合Mises屈服准则，即屈服时等效应力满足,

10、3）塑性变形时体积不变，即塑性应变增量的偏量部分就等于塑性应变增量，即,自行证明！,2022/12/29,13,上式中的 是一个瞬时的非负比例因子，称为流动参数，具有模量倒数的量纲，在塑性变形过程中是变化的，与线弹性的应力偏量与应变偏量关系的材料参数相似。,4）应力主轴与应变增量主轴重合；5）应力偏量与对应的应变增量成正比，如引入比例因子 ，则,塑性本构关系（3/6）,Levy-Mises增量（流动）理论（续）,相似,线弹性的应力偏量与应变偏量间的关系,等效塑性应变增量,自行证明！,2022/12/29,14,塑性本构关系（4/6）,Prandtl-Reuss增量理论,等效塑性应变：沿着应变路

11、径 L积分的“等效塑性应变总量” ，考虑了变形历史的影响。,在Levy-Mises理论基础上，1924年和1930年Prandtl和Reuss分别建立了另一增量理论。认为：本构方程中应当计入弹性应变部分。对于理想弹塑性材料,对于理想弹塑性材料：,对于强化材料：,Levy-Mises理论,自行证明！,提示：围绕 进行，它是一个很重要的宏观参量。,2022/12/29,15,塑性本构关系（5/6）,增量型塑性流动理论塑性势与流动法则,矢量 平行于梯度矢量 ，因而垂直于等势面。称为塑性流动法则。,1938年，Melan提出了一般性塑性流动理论，即通用的增量型应力应变关系。假设在塑性变形场内存在塑性势

12、，塑性应变由塑性势表示为,塑性势函数,非负比例因子，与塑性势的量纲有关,若屈服函数 f 是连续可微的，则可取 f 做为势函数。,（非关联流动）,（关联流动）,取Mises屈服函数做为势函数,Levy-Mises、Prandtl-Reuss流动理论。,自行证明！,2022/12/29,16,全量理论又称形变理论，稍后于增量理论建立。认为材料进入塑性阶段以后，各应变分量与应力分量之间存在一定的关系。其特点是直接建立起了最终应力与应变之间的方程，因而它比增量理论简单。但形变理论对加载方式要求比较严格，只有在简单加载条件下才更准确。,塑性本构关系（6/6）,全量（形变）理论塑性本构方程,增量理论本构关

13、系理论上合理，但应用上比较麻烦，特别是当计算机还不十分发达的时候。,对增量理论积分,初始状态的应力和应变,塑性变形过程的单调函数 ，对理想弹塑性材料，为常数。,就是各应力分量按同一比例增加：1）应力主轴和应变主轴的方向在整个加载过程中保持不变；2）应变增量的主轴和应力主轴重合。,2022/12/29,17,弹塑性问题的有限元解法（1/11）,与弹性问题比较，弹塑性材料在本构关系上是典型的物理（材料）非线性，通常结合流动理论、用增量法予以求解。,假定 时刻的各量已知，欲求 时刻的各量。,如Levy-Mises、Prandtl-Reuss、塑性势理论， 。,增量型弹塑性本构关系的显函数形式,总应变

14、,弹性应变,塑性应变,虎克弹性矩阵,初应变法：塑性应变部分视为初应变，做为载荷项来处理。,？,？,2022/12/29,18,弹塑性问题的有限元解法（2/11）,增量型弹塑性本构关系的显函数形式（续）,材料进入塑性后，加载时刻 的屈服函数为,与加载历程有关的硬化参数,（一致性条件）,相关,结合本构关系,切线刚度法的弹塑性本构关系,2022/12/29,19,弹塑性问题的有限元解法（3/11）,增量型弹塑性本构关系的显函数形式（续）,就是硬化参数 k ，此时赋予了“应力强度”这一物理意义。,（一致性条件）,各向同性强化的Mises屈服函数：,对于随动强化，k为常数,对于其它屈服条件，步骤相同，但

15、标量 的显式形式将更为复杂！,与塑性应变有关的应力，变成矢量形式时，按应变规律变化，而非按应力形式。,2022/12/29,20,弹塑性问题的有限元解法（4/11）,有限元方程的建立及求解,（t 时刻结构不平衡力的修正）,增量形式的势能泛函为：,弹塑性阶段在增量意义上是拟线性的。,弹性阶段或卸载阶段是线性的。,目前究竟处于哪个状态，需要本构迭代加以判断。,2022/12/29,21,弹塑性问题的有限元解法（5/11）,有限元方程的建立及求解（续）,弹塑性分析的主要流程,子增量法主迭代子迭代：将平衡方程迭代与本构方程迭代分开，主迭代进行平衡迭代，子迭代进行本构迭代。,子迭代：（共8步）,Step

16、 1，计算应变增量,Step 2，假设目前材料处于弹性状态，则应力增量为,2022/12/29,22,弹塑性问题的有限元解法（6/11）,子迭代：（续）,Step 3，计算应力增量,Step 4，计算加载函数,代入,Step 5，判断加载方式,是弹性的，或是中性加载或卸载。 就是真实解。转至主迭代。,Then 继续下一步。,2022/12/29,23,弹塑性问题的有限元解法（7/11）,子迭代：（续）,Step 6，确定屈服点,否则，表明在本增量步内材料由弹性状态进入了塑性状态，必须确定弹性部分应变增量在总应变增量中的比值。,Step 7，计算弹塑性应变增量,若时刻 时应力已处于塑性状态，直接

17、转至Step 7,进入初始屈服时占应力增量的比值,定义初始屈服应力,得到弹塑性应变,Step 8，计算弹塑性应力,一步粗略计算,对应于弹塑性应变增量的应力增量？,分步精确计算,2022/12/29,24,弹塑性问题的有限元解法（8/11）,弹塑性问题的非经典解法数学规划方法,弹塑性问题与弹性问题相比，其复杂性源于本构关系，但是，一旦加载历史给定，施加一载荷增量后，其解是确定的，只是处于待求状态，这表明，该问题可以借助最优控制论的思想来求解 。,从 间隔内所应遵循的规律：,屈服条件及加载函数,（流动法则）,（弹塑性本构关系）,（加载函数的单边性条件）,（基本变量）,2022/12/29,25,弹

18、塑性问题的有限元解法（9/11）,屈服条件及加载函数（续）,（非负互补性条件！）,在控制理论中称为松弛变量，可将控制变量与屈服函数定量地联系起来。,上述互补性条件表明：,（对应于弹性卸载）,（对应于塑性加载）,2022/12/29,26,弹塑性问题的有限元解法（10/11）,弹塑性问题的能量原理,弹塑性问题的能量原理，对应于控制理论中的目标（指标）函数。下面介绍钟万勰研究组提出的弹塑性问题的能量原理。,（弹塑性总势能增量）,变分宗量,参变量，物理意义为流动参数，不参与变分。,可以证明，上述约束极值问题满足边值问题的平衡方程和力边界条件，因而所对应的解就是弹塑性问题的解。,这样，弹塑性问题将转化

19、为一个标准的线性互补问题，进而可以采用较为成熟的标准方法，如Wolf算法、Lemke算法或Graves主旋转法加以求解。,相对应,2022/12/29,27,弹塑性问题的有限元解法（11/11）,参变量变分原理简介,具体可参考钟万勰 张洪武 吴承伟著：参变量变分原理及其在工程中的应用。北京：科学出版社，1997年8月。,含有参变量 。,参变量变分原理应属于现代变分法，与经典变分原理的区别在于：,参变量变分原理在处理弹塑性问题时具有如下特点：不受流动法则的约束，对关联与非关联流动都适用。可用于硬化、理想弹塑性和软化材料。本构关系是广义上的，只要是符合塑性理论范畴的本构关系，均适用。,泛函的宗量分为参与和不参与变分的两类，且不参与变分的参变量是参与变分的基本变量的函数。在参变量变分原理中，本构关系需通过其它约束途径来辅助实现。,2022/12/29,28,思考题,比较材料的弹性行为、塑性行为和粘性行为在本构关系描述上的差异。证明：若屈服函数 ，其中 ，而平均水静压力 。则 。叙述弹塑性问题经典解法的主要步骤，并指出求解弹塑性问题关键环节的详细过程。证明：本章描述的（含参）数学规划问题与弹塑性问题的经典提法等价。,2022/12/29,29,谢谢！请提问、进行讨论！,