一曲面的面积ppt课件.ppt

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1、一、曲面的面积,二、质心,三、转动惯量,四、引力,9.4 重积分的应用,上页,下页,铃,结束,返回,首页,提示,一、曲面的面积,下页,元素法,因为点M处的法向量为n(fx fy 1),设dA为曲面上点M处的面积元素,dA在xOy平面上的投影为小闭区域d,点M在xOy平面上的投影为点P(x y),因为M处的切平面与xOy面的夹角为(nk) 所以 dAcos(nk)d,所以dA|n|d,cos(nk)|n|1,又因为nk|n|cos(nk)1,曲面的面积元素 设曲面S的方程为zf(x y) f(x y)在区域D上具有连续偏导数,所以,一、曲面的面积,曲面的面积元素 设曲面S的方程为zf(x y)

2、f(x y)在区域D上具有连续偏导数,设dA为曲面上点M处的面积元素,dA在xOy平面上的投影为小闭区域d,点M在xOy平面上的投影为点P(x y),因为点M处的法向量为n(fx fy 1),所以,下页,下页,一、曲面的面积,曲面的面积 设曲面S的方程为zf(x, y), f(x, y)在区域D上具有连续偏导数, 则曲面S的面积为,曲面的面积元素 设曲面S的方程为zf(x y) f(x y)在区域D上具有连续偏导数 则曲面的面积元素为,曲面的面积公式:,讨论 (1)曲面xg(y z)的面积如何求？ (2)曲面yh(z x)的面积如何求？,提示,下页,其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域,其中

3、Dzx是曲面在zOx面上的投影区域,球面的面积A为上半球面面积的两倍,解,例1 求半径为R的球的表面积,提示,此积分的被积函数是无界的 因此这是一种反常积分,下页,球面的面积A为上半球面面积的两倍,解,例1 求半径为R的球的表面积,首页,分析,在点P(x, y)处取一直径很小的小薄片, 其面积(面积元素)为ds, 其质量认为集中于点P, 其值近似为(x, y)ds.,P点对y轴的静矩为dMyx(x y)d,设质心的横坐标为x 薄片的质量为M 则xMMy,薄片对y轴的静矩为,二、质心,下页,设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为

4、,分析,P点对x轴的静矩为dMxy(x y)d,设质心的横坐标为y 薄片的质量为M 则yMMx,薄片对x轴的静矩为,二、质心,下页,设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为,二、质心,设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为,讨论 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度是常数 如何求该平面薄片的质心(称为形心)？,提示,下页,下页,二、质心,类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是闭区域上的连续函数 则该物体的质心坐标为,设一平面薄片占有xO

5、y面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为,解,下页,例2 求两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心,提示,取半球体的对称轴为z轴, 原点取在球心上,解,例3 求半径为a的均匀半球体的质心,半球体所占空间闭区可表示为 (x y z)| x2y2z2a2 z0,提示,下页,取半球体的对称轴为z轴, 原点取在球心上,解,例3 求半径为a的均匀半球体的质心,半球体所占空间闭区可表示为 (x y z)| x2y2z2a2 z0,首页,转动惯量元素,在点P(x, y)处取一直径很小的小薄片, 其面积(面积元素)为ds, 其质量认为集中于点P, 其值近似为r

6、(x, y)ds.,P点对x轴和对y轴的转动惯量为 dIxy2(x y)d dIyx2(x y)d,三、转动惯量,下页,设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数,则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为,三、转动惯量,类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是上的连续函数 则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为,设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数,则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为,下页,下页,所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix ,例5 求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量,解,取

7、坐标系如图,薄片所占闭区域D可表示为,D(x y)| x2y2a2 y0,例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量,取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a,解,球体所占空间闭区域可表示为,(x y z)| x2y2z2a2,所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz ,首页,四、引力,下页,设物体占有空间有界闭区域 其密度(x y z)为上的连续函数 求物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力,设在内点P(x y z)处的体积元素为dv 则点P对位于点P0处的单位质量的质点的引力近似为,其方向为r(xx0 yy0 zz0) r|r|,dF(dFx dFy dFz),将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz),结束,例7 设半径为R的匀质球占有空间闭区域(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M(0 0 a)(aR)处的单位质量的质点的引力,解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知FxFy0 因此只需求引力沿z轴的分量,