大学解析几何ppt课件.ppt

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1、第一章 向量与坐标,1.1 向量的概念,1.3 数乘向量,1.2 向量的加法,1.4 向量的线性关系与向量的分解,1.6 向量在轴上的射影,1.5 标架与坐标,1.7 向量的数量积,1.9 三向量的混合积,1.8 两向量的向量积,1.10 三向量的双重向量积,量的分类 ：标量、向量（矢量）、张量等,1.1 向量的概念,定义 集合 相互关系,定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.,向量的几何表示：,有向线段,有向线段的方向表示向量的方向.,有向线段的长度表示向量的大小,1.1 向量的概念,返回,下一页,所有的零向量都相等.,模为1的向量.,零向量：,模为0的向量.,单位向量：,

2、或,定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为,定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量.,上一页,下一页,返回,自由向量.,固定向量,零向量与任何共线的向量组共线.,定义1.1.4 平行于同一直线的一组向量叫做共线向量.,定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.,零向量与任何共面的向量组共面.,上一页,返回,注：并不是所有的有向线段都表示向量，如刚体的有限转动。,注：在不作声明的前提下, 所说的向量都是自由向量.,O,A,B,这种求两个向量和的方法叫三角形法则.,一、向量加法的概念,1.2 向量的加法,O,A,B,C,这种求两个向量和

3、的方法叫做平行四边形法则.,Back,注：在自由向量的意义下，两向量合成的平行四边形法则可归结为三角形法则.,一、向量加法的概念,为什么是这样定义，而不是其它的？,定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（4）,（3）,二、向量加法的运算规律,O,B,C,A,O,B,C,A,O,A1,A2,A3,A4,An-1,An,这种求和的方法叫做多边形法则.,Back,二、向量加法的运算规律,向量减法的定义： .,向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只需改变它的符号.,三、向量的减法,O,向量减法的几何作图法:,性质：,三、向量的减

4、法,上一页,下一页,返回,这个不等式还这个不等式还可以推广到任意有限多个向量的情况：,上一页,返回,1.3 数乘向量,下一页,返回,定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：,（2）结合律：,（3）第一分配律：,两个向量的平行关系,（4）第二分配律：,上一页,下一页,返回,（1）,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,上一页,下一页,返回,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,上一页,下一页,返回,证明方法, 是根据可能出现的情况, 证明等式两边的向量长度相等与方向相同.,1)设a与b为共线向量：,2)设a与b不共线.空间解

5、析几何090610.pdf,我们对规律4 给出证明.,总结：向量的加减法以及数乘向量的运算规律与实数中多项式的加、减法以及数乘多项式的加、减法以及数乘多项式的运算规律相同，因此，对于向量的加减以及数乘也可以象多项式那样进行运算.,例1 设AM是三角形ABC的中线，求证:,证,如图,因为,所以,但,因而,即,上一页,下一页,返回,例2 用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.,证,设ABC两边AB，AC之中点分别为M，N，那么,所以,且,上一页,返回,1、对于任意取定的点组,证明：（1）存在唯一的点,，使得,（2）对于任意的点 有,，,.,一、向量的线性组合,向量

6、的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算.,Back,1.4 向量的线性关系与向量的分解,二、共线向量的基底,Back,三、共面向量的基底,O,E2,B,P,E1,A,Back,四、空间向量的基底,E3,E2,E1,O,P,A,B,C,例题,O,N,B,P,A,M,例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.,A,B,C,D,E,F,P1,e1,e2,e3,上一页,下一页,返回,连接AF，因为AP1是AEF 的中线，所以有,又因为AF1是ACD 的中线，所以又有,上一页,下一页,返回,五、向量的线性关系,Back,六、向量线性相关的条件,Back,七、共线向量的条件,Back,八、共面向

7、量的条件,例4 设 为两不共线向量，证明,共线的充要条件是,上一页,下一页,返回,证,共线,线性相关，即存在不全为0,的实数,使,即,又因为 不共线,线性无关,有唯一零解,上一页,返回,例3,上一页,下一页,返回,定理 设A, B是不同的两点, 则点C在直线AB上的充要条件是对空间中任取不在直线上的点O, 存在惟一的一对实数m, n, 使得且m + n = 1. 而C在线段AB上的充要条件是 且上述关系成立.空间解析几何090610.pdf,O,一、标架,O,P,1.5 标架与坐标,右手（旋）标架,左手（旋）标架,Back,一、标架,二、坐标,Back,三、坐标系,右手坐标系 ；左手坐标系 ；

8、仿射坐标系；笛卡尔坐标系；直角坐标系.,O,三、坐标系,x,三、坐标系,y,z,面,面,面,坐标系共分八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:坐标面上点的坐标有一个为零，,点M 的坐标，记为,坐标轴上点的坐标有两个为零.,三、坐标系,称为向量 的坐标分解式.,Back,（1）用向量的始点和终点的坐标表示向量的坐标,定理1.5.1 向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点 的坐标.,（2）用向量的坐标进行向量的线性运算,定理1.5.2 两向量和的坐标等于两向量对应的坐标的和.,定理1.5.3 数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应 坐标的积.,四、向量的坐标运算,上一页,下一页,返回,定理1.5.

9、4 已知两个非零向量,则,共线的充要条件是,定理1.5.5 已知三个非零向量,，则,共面的充要条件是,上一页,返回,三点共线的充要条件是 ？,四点共面的充要条件是 ？空间解析几何090610.pdf,解,线段的定比分点坐标,上一页,下一页,返回,由题意知：,上一页,下一页,返回,l,1.6 向量在轴上的射（投）影,空间一点在轴上的射影,l,空间向量在轴上的射影,向量的射影定理,定理1.6.1的说明：,射影为正；,射影为负；,射影为零；,(4) 相等向量在同一轴上射影相等；,上一页,下一页,返回,向量的射影定理,注:可推广到有限多个的情形.,解,上一页,返回,启示,实例,两向量作这样的运算, 结

10、果是一个数量.,M1,M2,1.7 两矢量的数量（性）积,下一页,返回,数量积也称为“点积”、“内积”.,结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,定义,上一页,下一页,返回,关于数量积的说明：,证,证,上一页,下一页,返回,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,若 、 为数：,（3）若 为数：,上一页,下一页,返回,例1 证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.,例2 试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么它就和平面内任何直线都垂直，即它垂直于平面.,例3 试证三角形的三条高交于一点.,P39-40 例1、

11、2、3空间解析几何090610.pdf,设,数量积的坐标表达式,上一页,下一页,返回,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为：,上一页,下一页,返回,解,上一页,下一页,返回,证,上一页,下一页,返回,由勾股定理,向量模的坐标表示式,向量的模与空间两点间距离公式,上一页,下一页,返回,为空间两点.,空间两点间距离公式,上一页,下一页,返回,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,方向角与方向余弦的坐标表示式,上一页,下一页,返回,非零向量 的方向角：,非零向量与三条坐标

12、轴的正向的夹角称为方向角.,上一页,下一页,返回,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,上一页,下一页,返回,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,上一页,下一页,返回,方向余弦的特征,上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向量就是与 同方向的单位向量,上一页,返回,有向角的概念P35, （ P32 ）空间解析几何090610.pdf,例5,P45 (P19)空间解析几何090610.pdf,1.8 两向量的向量积,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,P21空间解析几何090610.pdf,c,a,c0,a2,c,b,a,a+b,(a+b)c,ac,

13、c0,.,.,bc,上一页,下一页,返回,例2 证明,上一页,返回,一、混合积的概念,1.9 三向量的混合积,二、混合积的几何意义,b,c,a b,a,S=|a b|,h,二、混合积的几何意义,h,a,c,a b,b,.,二、混合积的几何意义,h,a,c,a b,b,.,其混合积（abc） = 0,三矢 a, b, c共面,因此，,二、混合积的几何意义,三、混合积的性质,四、混合积的坐标表示,P25空间解析几何090610.pdf,解,例,上一页,下一页,返回,解,上一页,下一页,返回,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,上一页,返回,定义1.10.1. 对空间中的三个向量, 先作其中两

14、个向量的外积得一向量, 再将所得向量与第三个向量作外积, 那么最后的结果仍然是一向量, 该向量叫做所给三个向量的双重外积.,证: 如果a,b,c中有一个为零向量, 或a与b共线, 定理显然成立.,1.10-1,1.10 三向量的双重向量积,以下假设a,b,c都是非零向量, 且a与b不共线.,我们首先证明,(1),可设,解得,下面我们证明公式1.10-1成立.,对空间中的任意向量c, 总有,从而有,即公式成立, 证毕.,结论 在一般情况下， 是两个不同的向量， ，因此，向量积不满足结合律。,定理1,记忆规律 三向量的双重向量积等于中间的向量与其余两向量的数量积的乘积减去括号中另一个向量与其余两向量的数量积的乘积。,例题,例1 试证雅可比（Jacobi）恒等式,例2 证明,(5.15),(5.16),则式(5.15) 及式(5.16) 是方程组有解的必要条件.,下面再证它们也是充分条件, 并求解.,令,(5.20),(5.21),将式(5.20) 和式(5.21) 代入第一式左端得:,若式(5.15) 和式(5.16) 成立, 则左端 c = 右端. 由此可以看出, 对于任意的 和 , 上述结论均成立. 类似地, 对于第二式也是这样. 因此式(5.15) 和式(5.16) 也是方程组有解的充分条件, 且解由式(5.20) 和式(5.21) 给出, 其中 和 和任意常数.,