人教八年级数学上册乘法公式.ppt

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1、人教八年级数学上册乘法公式,人教八年级数学上册乘法公式,平方差公式,平方差公式文字叙述字母表示公式推导依据平方差,知识解读平方差公式名称的由来两个二项式的积为“a2-b2”,注意：（1）公式中的字母可以是单项式或多项式；（2）平方差公式中的左右两边是两个数的关系，也就是说不存在第三个数.,注意：,平方差公式的几何意义 图(1)是从一个边长为 a 的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，S阴影=a2-b2;图(2)是在图(1)基础上将阴影部分切割，拼成一个长（a+b）,宽为（a-b）的大阴影长方形，S阴影=(a+b)(a-b).由图(1)(2)阴影部分的面积相等，得(a+b)(a-b)=a2-b

2、2.,(1),(2),(1)(2),例1 计算下列各题： （1）(5a+3b)(5a-3b); （2） ; （3）(a2b-2a)(-2a-a2b); （4）(200-1)(200+1); （5） .,例1 计算下列各题：,解：(1) (5a+3b)(5a-3b)=(5a)2-(3b)2=25a2-9b2.(2) .(3) (a2b-2a)(-2a-a2b)=(-2a)2-(a2b)2=4a2-a4b2.(4) (200-1)(200+1)=2002-1=40 000-1=39 999.(5) .,利用平方差公式计算，关键是找到相同数的“a”和相反数的“b”，与a和b所处的位置无关.,解：(1

3、) (5a+3b)(5a-3b)=(5a)2-(3b,完全平方公式,完全平方公式文字叙述字母表示公式推导完全两个,知识解读完全平方公式名称的由来(a+b)2=a2+2ab+b,巧记乐背：首平方，尾平方，两数之积在中央；两数同号积为正，两数异号负当家.,巧记乐背：,完全平方公式中的等量关系：(a+b)2=a2+b2+2ab,(a-b)2=a2+b2-2ab,(a+b)2-(a-b)2=4ab,(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).完全平方公式的几何意义：图(1)中，由四部分面积和等于大正方形的面积，得(a+b)2=a2+2ab+b2;图(2)中，由阴影部分面积等于大正方形的面积减去其他部

4、分的面积，得(a-b)2=a2-2ab+b2.,完全平方公式中的等量关系：(a+b)2=a2+b2+2ab,例2 计算下列各题： （1）(-2a+1)2 ; （2） ;,解：（1）(-2a+1)2 =(1-2a)2=12-212a+(2a)2 =1-4a+4a2.（2）,例2 计算下列各题：解：（1）(-2a+1)2 =(1-2,（3）(x-2)(x2-4)(x+2);（4）1982.,解：（3）(x-2)(x2-4)(x+2)=(x+2)(x-2)(x2-4) =(x2-4)(x2-4)=(x2-4)2 =(x2)2-2x24+42 =x4-8x2+16. （4）1982=(200-2)2=

5、2002-22002+22 =40 000-800+4=39 204.,（3）(x-2)(x2-4)(x+2);（4）1982.,添括号的法则,添括号的法则文字叙述字母表示添括号添括号时，,例3 计算：（1）(x-2y+3z)(x+2y-3z) ;（2）(a+b-c)2.,解:（1）(x-2y+3z)(x+2y-3z)=x-(2y-3z)x+(2y-3z) =x2-(2y-3z)2 =x2-(4y2-12yz+9z2) =x2-4y2+12yz-9z2. （2）(a+b-c)2=a+(b-c)2 =a2+2a(b-c)+(b-c)2 =a2+2ab-2ac+b2-2bc+c2.,例3 计算：（

6、1）(x-2y+3z)(x+2y-3z) ;,运用完全平方公式时出错,例4 计算下列各题： （1）(2x+y)2 ;（2）(-1+xy)(1-xy) ;（3） .,解:（1）(2x+y)2=4x2+4xy+y2.（2）(-1+xy)(1-xy)= -(1-xy)(1-xy)= -(1-xy)2 = -(1-2xy+x2y2)= -1+2xy-x2y2.（3）,运用完全平方公式时出错例4 计算下列各题：,（1）运用完全平方公式时，易遗漏两数积的2倍；（2）对(a+b)(a-b)=a2-b2与(ab)2=a22ab+b2混淆不清，导致运算错误；（3）对完全平方公式理解不到位，混用两数和与两数差的完

7、全平方公式；（4）添加括号错误，导致运用乘法公式时出现错误.,人教八年级数学上册乘法公式,添括号时，出现错误,例5 计算：(1+x+y)(x-y+1).,解: (1+x+y)(x-y+1)=(x+1)+y(x+1)-y =(x+1)2-y2=x2+2x+1-y2.,添加括号运用乘法公式时，要找出两个因式中符号相同的项与符号相反的项常常出现类似-y+1= -(y+1)这样的错误，导致出现错误的结果.,添括号时，出现错误例5 计算：(1+x+y),题型一 运用乘法公式进行计算,例6 计算下列各题： （1）4(a-b)2-(2a+b)(-b+2a); （2）(3x-y)2-2(2x+y)(3x-y)

8、+(2x+y)2.,分析：（1）先利用完全平方公式以及平方差公式，将原式展开，再合并同类项；（2）先把（3x-y）和（2x+y）当作整体，逆用完全平方公式，再整理，最后利用完全平方公式展开.,题型一 运用乘法公式进行计算例6 计算下列各题：分析：（,解: （1）原式=4(a2-2ab+b2)-(2a)2-b2 =(4a2-8ab+4b2)-(4a2-b2)=5b2-8ab.（2）原式=(3x-y)-(2x+y)2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2.,方法点拨： 在计算前应先仔细观察式子的特点，如果出现平方差公式的形式或完全平方公式的形式，那么就可以利用公式进行计算，特别注意的是一定要将结果

9、化成最简形式.,解: （1）原式=4(a2-2ab+b2)-(2a)2-b,题型二 运用乘法公式进行简便计算,例7 利用简便方法计算： （1）2 0172 015-2 0162; （2） .,思路导图：利用平方差公式求解,先将式子进行变形，再利用平方差公式计算,解: （1）原式=(2 016+1)(2 016-1)-2 0162 =2 0162-1-2 0162= -1.,题型二 运用乘法公式进行简便计算例7 利用简便方法计算：,（2）原式=,（2）原式=,方法点拨： 在计算时，通过对整式整体或部分进行变形，构建平方差或完全平方公式模型，可以减少计算量，减小出现错误的机率.对于几个类似式子连续

10、乘积的形式，一般考虑构造平方差公式进行计算；对于两个数和或差的平方的形式，一般考虑用完全平方公式进行计算.,方法点拨：,题型三 运用乘法公式变形求值,例8 （1）已知a+b=3 , a-b= -1,则a2-b2的值为 ; （2）已知a2+b2=12，(a+b)2=6,则ab的值为 .,解析: （1）逆用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行求值.a2-b2=(a+b)(a-b)=3(-1)= -3. （2）用完全平方公式的变形2ab=(a+b)2-(a2+b2)求值. (a+b)2=(a2+b2)+2ab=12=6+2ab,ab=(6-12)2= -3.,-3,-3,题型三 运用乘法公

11、式变形求值例8 （1）已知a+b=3 ,方法点拨： 利用整体思想，将a+b , a-b , a2-b2或者(a+b)2 , (a-b)2 , a2+b2 , ab分别看成几个相关的量，列出等式求解.,方法点拨：,题型四 乘法公式与图形面积,例9 图14-2-1（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线将其剪成四个全等的小长方形，再按图14-2-1（2）围成一个较大的正方形.,图14-2-1,题型四 乘法公式与图形面积例9 图14-2-1（1）是一,（1）请用两种方法表示图14-2-1（2）中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）.（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？（3

12、）请你用（2）中得到的等量关系解决下面的问题：如果m-n=4, mn=12，求m+n的值.,（1）请用两种方法表示图14-2-1（2）中阴影部分的面积（,思路导图：利用四个全等的小长方形面积不变的关系，列式求解,（1）由图（2）中大正方形面积减去四个相等的长方形面积或直接表示出阴影部分小正方形的面积；（2）由表示图（2）中的阴影面积的两种方法得出结论；（3）把已知代入（2）的结论中，求出m+n的值.,思路导图：（1）由图（2）中大正方形面积减去四个相等的长方形,解: （1）（方法一）大正方形的面积为(m+n)2，四个小长方形的面积为4mn,中间阴影部分的面积S=(m+n)2-4mn.（方法二）

13、由图14-2-1（2）可知阴影部分小正方形的边长为m-n,则S=(m-n)2.（2）由表示图（2）中的阴影部分面积的两种方法,得(m+n)2-4mn=(m-n)2.,解: （1）（方法一）大正方形的面积为(m+n)2，四个小,方法点拨： 在图形的拼接中，利用边长的关系和等面积进行转化，建立等式，是常用的求解图形问题的方法.,解: （3）由（2）得(m+n)2- 412=42,即(m+n)2=64,m+n=8.又m,n都是正数，m+n=8.,方法点拨：解: （3）由（2）得(m+n)2- 412=4,题型五 运用乘法公式进行化简、求值,例10 先化简，再求值：(a+b)(a-b)+(a+b)2,

14、其中a= -1,b= .,解: 原式=a2-b2+a2+2ab+b2=2a2+2ab.当a = -1,b= 时,原式=2(-1)2+2(-1) =2-1=1.,题型五 运用乘法公式进行化简、求值例10 先化简，再求值,方法点拨： 对于此类题，直接将a,b的值代入代数式求值会很麻烦，且计算量较大，一般是先利用乘法公式化简，去括号、合并同类项，再将a,b的值代入计算.,方法点拨：,题型六 运用乘法公式探究规律,例11 观察下列关于自然数的等式： 32-412=5; 52-422=9; 72-432=13; 根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92-4 2= .（2）写出你猜想的第 n

15、个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.,17,4,题型六 运用乘法公式探究规律例11 观察下列关于自然数,解: （2）第 n 个等式为(2n+1)2-4n2=4n+1.验证：左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1,右边=4n+1,左边=右边,(2n+1)2-4n2=4n+1.,解: （2）第 n 个等式为(2n+1)2-4n2=4n+1,方法点拨： 找规律时，先分析已知中式子的特征，再探求其规律比较归纳式子中不变的是什么，变化的是什么，变化的是按怎样的规律变化的，从序列数n=1找起，通常要用字母来表示数或式，从中探求出变化规律.,方法点拨：,解读中考：乘法公式是中考命题中比较重要的考点

16、之一，要求熟练掌握乘法公式的结构特征，灵活运用乘法公式计算.在中考中一般以填空题、选择题和简单计算题的形式出现，也常与整式运算及以后学习的分式运算、因式分解等知识综合命题.,解读中考：乘法公式是中考命题中比较重要的考点之一，要求熟练掌,考点一 运用乘法公式计算,例12 (湖南怀化中考)下列计算正确的是( ) A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-2xy-y2 C.(x+1)(x-1)=x2-1 D.(x-1)2=x2-1,解析：A.(x+y)2=x2+y2+2xy，此选项错误 ; B.(x-y)2=x2-2xy+y2 , 此选项错误 ; C.(x+1)(x-1)=x2-1，此选

17、项正确；D.(x-1)2=x2-2x+1,此选项错误.故选C.,C,考点一 运用乘法公式计算例12 (湖南怀化中考)下列计算,例13 (湖北武汉中考)运用乘法公式计算(x+3)2的结果是（ ） A.x2+9 B.x2-6x+9 C.x2+6x+9 D.x2+3x+9,解析：运用完全平方公式，得(x+3)2=x2+23x+32=x2+6x+9.故选C.,C,例13 (湖北武汉中考)运用乘法公式计算(x+3)2的结果,例14 (四川南充中考)如果x2+mx+1=(x+n)2,且m0,那么n的值是 .,解析：x2+mx+1=(x+n)2,x2+mx+1=x2+2nx+n2, 解得 或 又m0,m=2

18、,n=1.,1,例14 (四川南充中考)如果x2+mx+1=(x+n)2,考点二 运用乘法公式化简求值,例15 (湖南湘西中考)先化简，再求值 ：(a+b)(a-b)-b(a-b),其中a= -2,b=1.,解：原式=a2-b2-ab+b2=a2-ab.当a= -2，b=1时，原式=4+2=6.,考点二 运用乘法公式化简求值例15 (湖南湘西中考)先化,例16 (浙江湖州中考)当a=3,b= -1时，求下列代数式的值. (1)(a+b)(a-b); (2)a2+2ab+b2.,解：（1）当a=3,b= -1时，原式=a2-b2=9-1=8. (2)当a=3,b= -1时，原式=(a+b)2=2

19、2=4.,例16 (浙江湖州中考)当a=3,b= -1时，求下列代数,例17 (山东菏泽中考)已知4x=3y，求代数式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2的值.,解：(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2=x2-4xy+4y2-(x2-y2)-2y2 =-4xy+3y2= -y(4x-3y). 4x=3y, 4x-3y=0. 原式=0.,例17 (山东菏泽中考)已知4x=3y，求代数式(x-2y,考点三 运用乘法公式探求图形或式子的规律,例18 (山东临沂中考)如图14-2-2，用大小相同的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是( C ) A.2n+1 B

20、.n2-1 C.n2+2n D.5n-2,图14-2-2,考点三 运用乘法公式探求图形或式子的规律例18 (山东临沂,解析：第1个图形中，小正方形的个数是22-1=3；第2个图形中，小正方形的个数是32-1=8；第3个图形中，小正方形的个数是42-1=15；第n个图形中，小正方形的个数是(n+1)2-1=n2+2n+1-1=n2+2n.故选C.,解析：第1个图形中，小正方形的个数是22-1=3；第2个图形,例19 (四川广安中考)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了(a+b)n(n=1，2，3，4，)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序)

21、： 1 1 (a+b)1=a+b 1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31 4 6 4 1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4请依据上述规律，写出 的展开式中含x2 014项的系数是 -4032 .,例19 (四川广安中考)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二,解析：根据杨辉三角，知 的展开式中第二项为-2 016x2 015 = -4 032x2 014, 的展开式中含x2 014项的系数是-4 032.,解析：根据杨辉三角，知 的展,例20 (广西百色中考)观察下列各式的规律： (a-b)(a+b)=a2

22、-b2； (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3； (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4； 可得到(a-b)(a2 016+a2 015b+ab2 015+b2 016)=a2 017-b2 017.,例20 (广西百色中考)观察下列各式的规律：,解析：由(a-b)(a+b)=a2-b2；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4；可得(a-b)(a2 016+a2 015b+ab2 015+b2 016)=a2 017-b2 017.,解析：由(a-b)(a+b)=a2-b2；,核心素养,例21 一个大正方形和四个全等的小正方形按图14-2-3的两种方式摆放，则图14-2-3（2）的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 ab (用含a,b的代数式表示).,图14-2-3,核心素养例21 一个大正方形和四个全等的小正方形按图14-2,解析：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2.由图（1）和（2）列出方程组，得 解得 则图14-2-3(2)中大正方形未被小正方形覆盖部分的面积 S,解析：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2.由图（1,感谢聆听,感谢聆听,