人教八年级数学上册与三角形有关的角.ppt

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1、人教八年级数学上册与三角形有关的角,人教八年级数学上册与三角形有关的角,三角形内角和定理,如图，在ABC中，A+B+C=180,三角形内角和定理文字叙述几何语言三角形内角和定理三角形三个内,（1）已知三角形的两个角A和B，求另一个角C的度数.C=180-(A+B)；（2）已知三角形的三个内角的度数之比是abc，求相关角的度数.设三角形三个内角的度数分别是ax,bx,cx，通过方程ax+bx+cx=180求解每一份的度数，再求相关角的度数；（3）已知三角形的三个内角的度数之间的数量关系，求相关角的度数.由已知的数量关系，建立方程，进而求解相关角的度数,知识解读（1）已知三角形的两个角A和B，求另

2、一个角C的度数.,例1 已知一个三角形的三个内角的度数之比为234，则该三角形最大角的度数是_.,80,解析：设这个三角形的三个内角的度数分别为2x，3x,4x.由三角形内角和定理，得2x+3x+4x=180，解得x=20.该三角形最大角的度数是4x=80.,例1 已知一个三角形的三个内角的度数之比为2,如果三角形三个角的度数之比为abc，可先设这三个角分别为ax，bx，cx，再运用三角形的内角和定理求解三个角的度数.,如果三角形三个角的度数之比为abc，可先设这三个角分别为,例2 在ABC中，A是B的2倍，C比A+B还大12，那么B=_.,解析：设B=x，则A=2x，C=3x+12.A+B+

3、C=180，x+2x+3x+12=180，解得x=28.故B=28.,28,例2 在ABC中，A是B的2倍，C比,直角三角形的性质与判定,在RtABC中C=90，则A+B=90,在ABC中，A+B=90，则C=90,直角三角形的性质与判定文字叙述几何语言依据直角三角形的性质直,（1）已知直角三角形的一个锐角A，那么另一个锐角B=90-A；（2）如果A，B是RtABC的两个锐角，那么A+B=C；（3）在ABC中，如果A+B=C，那么这个三角形是直角三角形；（4）在ABC中，如果A=B=45，那么这个三角形是等腰直角三角形,直角三角形的性质与判定的简单运用（1）已知直角三角形的一个锐,例3 如图1

4、1-2-1，BD是ABC的高，AE是角平分线，BAE=26，求BFE的度数.,解：AE是角平分线，BAE=26， FAD=BAE=26. BD是ABC的高，AFD=90-FAD=90-26=64. BFE=AFD=64.,图11-2-1,例3 如图11-2-1，BD是ABC的高,(1)在直角三角形中，如果已知一个锐角，那么可以由直角三角形两锐角互余，求解另一个锐角；（2）如果已知的角与要求解的角没有直接联系时，就要通过等角的代换进行搭桥.,(1)在直角三角形中，如果已知一个锐角，那么可以由直角三角形,例4 如图11-2-2，ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，BEF与DFE的平分线相

5、交于点P.求证：EFP是直角三角形.,图11-2-2,例4 如图11-2-2，ABCD，直线E,证明：ABCD，BEF+DFE=180又BEF与DFE的平分线相交于点P， ， .PEF+PFE+P=180,P=90.EFP是直角三角形.,证明：ABCD，BEF+DFE=180,三角形的外角及三角形内角和定理的推论,ACD是ABC的一个外角,在ABC中， ACD=A+B,三角形的外角及三角形内角和定理的推论文字叙述几何语言三角形的,知识解读（1）三角形每一个顶点上的外角有两个，是一对对顶角，,注意：推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.,（1）三角形的外角和等于3

6、60；（2）三角形任何一个外角大于与它不相邻的每一个内角.,注意：推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推论可以作为进,例5 如图11-2-3，DE分别交ABC的边AB，AC于点D，E，DE的延长线交BC的延长线于点F，若B67，ACB74，AED48，求BDF的度数.,图11-2-3,例5 如图11-2-3，DE分别交ABC的,解：A+B+ACB=180，A=180-B-ACB=180-67-74=39. BDF=A+AED=39+48=87.,解：A+B+ACB=180，A,“三角形的内角和等于180”是一个隐含条件，在三角形中，解与角有关的问题时，多从这一角度出发思考问题，还要注意，可

7、将其与内角和定理的推论综合运用.,“三角形的内角和等于180”是一个隐含条件，在三角形,混淆方位角,例6 如图11-2-4，A点在B处的北偏东40方向，C点在B处的北偏东85方向，A点在C处的北偏西45方向，求BAC及BCA的度数.,图11-2-4,混淆方位角 例6 如图11-2-4，A点在B处,解：由题意，得DBA=40，DBC=85，BDCE， ECB=180-DBC=180-85=95，ABC=DBC-DBA=85-40=45. ECA=45，BCA=ECB-ECA=95-45=50. BAC=180-ABC-ACB=180-50-45=85.,解：由题意，得DBA=40，DBC=85,

8、不能正确识别图形中的方位角，把“A点在B处的北偏东40方向”当作“ABC=40”，把“C点在B处的北偏东85方向”当作“ECB=85”，直接导致求解错误.,不能正确识别图形中的方位角，把“A点在B处的,错以为三角形每一个外角都大于内角,例7 若三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）,A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.无法确定,B,解析：因为这个三角形的一个外角是锐角，而这个外角与相邻的内角互为邻补角，所以与它相邻的内角为钝角，所以这个三角形是钝角三角形.故选B.,错以为三角形每一个外角都大于内角 例7 若三角形的,由于受刚刚学完“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

9、角的和”的影响，容易错误地认为三角形的每一个外角都大于内角，从而误选A.要注意三角形内角和定理的推论只针对与该外角不相邻的内角，而外角与其相邻内角互为邻补角.,由于受刚刚学完“三角形的一个外角等于与它不相,题型一 三角形内角和定理的运用,角度a 三角形内角和定理与角平分线的综合运用,例8 如图11-2-5，在ABC中，ABC=C，BD是ABC的平分线，且BDE=BED，A=100，求DEC的度数.,题型一 三角形内角和定理的运用角度a 三角形内角和定,图11-2-5,思路导图,在ABC中，由三角形内角和定理求出ABC的度数,在DBE中，由角平分线定义和三角形内角和定理求出DEC的度数,图11-

10、2-5思路导图在ABC中，由三角在DBE中，由角,解：A=100，ABC=C， .BD平分ABC，DBE=20.BDE=BED， .DEC=180-DEB=100.,解：A=100，ABC=C，,角度b 三角形内角和定理与高的综合运用,例9 如图11-2-6，在ABC中BACABCBCA=345，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于点H，试猜想BHC的度数，并证明你的结论.,图11-2-6,角度b 三角形内角和定理与高的综合运用 例9 如图,思路导图,由题中角的比值关系和三角形内角和定理求出三个角的度数,由直角三角形的性质求出ACE的度数,由三角形内角和定理的推论求出BHC的度

11、数,思路导图由题中角的比值由直角三角由三角形内角,解：BHC=135.证明如下：设BAC=3x，则ABC=4x，ACB=5x.BAC+ABC+ACB=180，3x+4x+5x=180，x=15，BAC=45，ABC=60，ACB=75CEAB，AEC=90.ACE是直角三角形，ACE=90-BAC=45（直角三角形的两个锐角互余）.BDAC，BDC=90.BHC=HCD+HDC=45+90=135.,解：BHC=135.证明如下：,角度c 三角形内角和定理的实际应用,例10 如图11-2-7，按规定，一块模板中AB,CD的延长线应相交成85角因交点不在模板上，不便于测量，工人师傅连接AC，测得

12、BAC=32，DCA=65，此时AB,CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？,图11-2-7,角度c 三角形内角和定理的实际应用 例10,思路导图,将实际问题转化为求三角形中角的问题,由三角形内角和定理求出所需角的度数,判断模板是否符合规定,分析：只要确定AB,CD的延长线所成的角是不是等于85即可.,思路导图将实际问题转化由三角形内判断模板是分析：只要确定AB,解：不符合规定.理由：如图11-2-8,延长AB,CD相交于点O.在AOC中，BAC=32，DCA=65，AOC=180-BAC-DCA=180-32-65=8385.模板不符合规定.,图11-2-8,解：不符合规定.理由：

13、如图11-2-8,延长AB,CD相交于,题型二 三角形内角和定理推论的运用,角度a 三角形内角和定理推论的应用,例11 如图11-2-9，A+B+C+D+E+F=_.,图11-2-9,360,题型二 三角形内角和定理推论的运用角度a 三角形内角和,思路导图,用三角形内角和定理的推论分别表示出A+B,E+F和C+D,由三角形外角和为360可求解,思路导图用三角形内角和定理由三角形外角和为360可求解,解析：如图11-2-10，1=A+B，2=E+F，3=C+D，且1+2+3=360， A+B+C+D+E+F=360.,图11-2-10,解析：如图11-2-10，1=A+B，,角度b 巧用三角形内

14、角和定理的推论证明角的大小关系,例12 如图11-2-11，P是ABC内的一点，有下列结论：BPCA，BPC一定是钝角，BPC=A+ABP+ACP其中正确的结论是_.（直接填写序号）,图11-2-11,角度b 巧用三角形内角和定理的推论证明角的大小关系,思路导图,作辅助线,利用三角形内角和定理的推论进行证明,思路导图作辅助线利用三角形内角和定理的,解析：如图11-2-12,连接AP并延长，则1是ABP的外角，2是APC的外角，故1=BAP+ABP，2=CAP+ACP，1BAP，2CAP，即BPC=BAC+ABP+ACP，1+2BAP+CAP，BPCBAC，故正确；BPC不能确定其大小，故错误.

15、,图11-2-12,解析：如图11-2-12,连接AP并延长，则,题型三 三角形内角和定理的推论的综合运用,角度a 求三角板拼接中所成的角,例13 （四川内江中考）将一副直角三角板按图11-2-13放置，使含30角的三角板的直角边和含45角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则1的度数为（ ）,A. 75 B. 65C. 45 D. 30,图11-2-13,A,题型三 三角形内角和定理的推论的综合运用角度a 求三角,思路导图,明确三角板各角的度数,由对顶角相等和三角形内角和定理的推论求出1的度数,解析：在ABC中，A=180-30-90=60，3=90-60=30.4=3=30.由三角形内角和

16、定理的推论，得1=45+4=75.故选A.,思路导图明确三角板各由对顶角相等和三角 解析：,角度b 在折叠图形中的综合应用,例14 如图11-2-14，在折纸活动中，刘明制作了一张ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将ABC沿着DE折叠压平，点A与点A 重合，若A=75，则1+2=_.,150,图11-2-14,角度b 在折叠图形中的综合应用 例14 如图11-2,解析：连接AA1.由题意，得DAE=DA1E.因为1是AA1D的一个外角，所以1=DA1A+DAA1.又因为2是AA1E的一个外角，所以2=EA1A+EAA1,所以1+2=DA1A+DAA1+EA1A+EAA1=DAE+DA1

17、E=2DAE=275=150.,解析：连接AA1.由题意，得DAE=DA1,题型四 运用三角形内角和定理探索角之间的规律,例15 （四川内江中考）问题引入：(1)如图11-2-15（1），在ABC中，点O是ABC和ACB的平分线的交点，若A=，则BOC=_(用表示)；分析：,题型四 运用三角形内角和定理探索角之间的规律 例,如图11-2-15（2），CBO = ABC，BCO = ACB，A =,则BOC=_(用表示)，并说明理由.理由：BOC,如图11-2-15（2），CBO = ABC，BCO,类比研究： (3)BO，CO分别是ABC 的外角DBC，ECB的n等分线，它们交于点O，CBO

18、= DBC,BCO = ECB,A=,试猜想BOC=_.分析：BOC =,类比研究：,(3),(1),(2),图11-2-15,(3)(1)(2)图11-2-15,解读中考： 三角形内角和定理是中考中必考的内容作为独立知识点考查时，常以选择题或填空题的形式出现，考查时经常与平行线、角平分线、直角三角形等知识相结合，出题以三角板的拼接、图形的折叠等为热点题型.,解读中考：,考点一 三角形的内角和定理的运用,例16 （黑龙江大庆中考）如图11-2-17，在ABC中，A=40，点D是ABC和ACB角平分线的交点，则BDC=_.,110,图11-2-17,考点一 三角形的内角和定理的运用 例16,解析

19、：点D是ABC和ACB角平分线的交点，CBD=ABD= ABC，BCD=ACD= ACB.ABC+ACB=180-A=140，DBC+DCB= (ABC+ACB)=70.BDC=180-70=110.,解析：点D是ABC和ACB角平分线的交,考点二 直角三角形的性质的运用,例17 （浙江宁波中考）如图11-2-19，在ABC中，ACB=90，CDAB，ACD=40，则B的度数为（ ）,A.40 B.50 C.60 D.70,图11-2-19,B,考点二 直角三角形的性质的运用 例17,解析：CDAB，ACD=40，A=ACD=40.ACB=90，B=90-A=90-40=50.故选B.,解析：

20、CDAB，ACD=40，A,考点三 三角形的内角和定理的推论的运用,例18 （四川广安中考）如图11-2-21,直线l l ,若1=130,2=60,则3=_.,70,图11-2-21,图11-2-22,考点三 三角形的内角和定理的推论的运用 例,解析：如图11-2-22，直线l1l2,1=130,4=1=130.2=60,5=4-2=70,3=5=70.,解析：如图11-2-22，直线l1l2,例19 （山东枣庄中考）如图11-2-24，在ABC中，AB=AC，A=30,E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D=（ ） A.15 B.17.5 C.20 D.22.5,A,

21、图11-2-24,例19 （山东枣庄中考）如图11-2-24,解析：如图11-2-25,ABC与ACE的平分线相交于点D，1=2，3=4.ACE=A+ABC，即1+2=3+4+A，21=23+A.1=3+D，D= A= 30=15.,解析：如图11-2-25,ABC与AC,核心素养,例20 （1）如图11-2-26(1),1+2与B+C有什么关系？为什么？,解：（1）根据三角形的内角和定理，得1+2=180-A，B+C=180-A，1+2=B+C.,核心素养 例20 （1）如图11-2-26(1),(2）把图11-2-26(1)中的ABC沿DE折叠，得到图11-2-26(2).填空：12_B+

22、C(填“”“”或“=”)，当A=40时，B+C+1+2=_.,=,280,(2）把图11-2-26(1)中的ABC沿D,（3）图11-2-26(3)是由图11-2-26(1)的ABC沿DE折叠得到的,如果A=30,那么x+y=360-（B+C+1+2）=360-_=_,猜想BDA+CEA与A的关系为_ .,300,60,BDA+CEA=2A,（3）图11-2-26(3)是由图11-2-26(,（3）,（2）,（1）,图11-2-26,（3）（2）（1）图11-2-26,分析：（1）根据三角形的内角和定理，得1+2=B+C.（2）1+2+BDE+CED=B+C+BDE+CED=360，1+2=B+C.当A=40时，B+C+1+2=1402=280.（3）如果A=30，那么x+y=360-（B+C+1+2）=360-300=60，所以BDA+CEA与A的关系为BDA+CEA=2A.,分析：（1）根据三角形的内角和定理，得1,感谢聆听,感谢聆听,