人教八上数学12章全等三角形—三角形全等与角平分线全等模型课件(共42张).pptx

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1、三角形全等与角平分线,1,2,三角形全等与角平分线12,知识结构图,2,2022/12/28,知识结构图三角形边角关系三边关系内外角证明全等SSS 边,边边边（SSS）,两个三角形三边完全相等，两个三角形全等。,3,2022/12/28,边边边（SSS）两个三角形三边完全相等，两个三角形全等。32,边角边（SAS）,两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。,4,2022/12/28,边角边（SAS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。4,角边角（ASA）&角角边（AAS）,两角和它们的夹边相等的两个三角形全等。,5,2022/12/28,角边角（ASA）&角角边（AAS）两角和它们的夹

2、边相等的两个,直角边与斜边（HL）,斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。,6,2022/12/28,直角边与斜边（HL）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形,“全等”与“”,例，已知ABC和DEF全等。其中A=60、E=40、D=80，BC=3，则下列结论正确的是： B=40； C=80； DE=3； F=60,解析：由于ABC与DEF全等，所以边角没有对应关系。由于F=180-D- E=60= A从而得出： A与F为对应角。那么BC与DE应为对应边：BE=BC=3.,7,2022/12/28,“全等”与“”例，已知ABC和DEF全等。其中A=6,利用全等性质证明边相等或角相等,

3、解题思路：,8,2022/12/28,利用全等性质证明边相等或角相等解题思路：证明对应边（角）相等,利用全等性质证明边相等或角相等,如图，已知AB=AC、AD=AE、BAC= DAE。求证：BD=CE。,B,C,E,D,解析：由于BD=CE只需证明ABD ACE已知AB=AC、AD=AE缺一个角相等（BAD=CAE）只需证明：BAD=CAE,9,2022/12/28,利用全等性质证明边相等或角相等如图，已知AB=AC、AD=A,三角形的中线倍长,1如图，在ABC中，BD是ABC的中线。（1）如图，延长中线BD至E，使DE=BD，连接AE、CE。求证：1 ADBCDE；2 AE=BC，AE/BC

4、；3 AB+BC2BD。,3 BC=AE由AB+AEBE得：AB+BCBE又BD为中线 BE=2BD AB+BC2BD,D,10,2022/12/28,三角形的中线倍长1如图，在ABC中，BD是ABC的中线。,三角形的中线倍长,线段AB与线段CE的关系为 。若AB=x，BC=y，中线BD的长度的取值范围是 。若AB=m，BD=n，线段BC的长度的取值范围是 。,总结一下，D为BE、AC中点时：,中线倍长遇到三角形中线，常用辅助线就是延长中线，使延长线段与中线等长，从而证明三角形全等达到转移边或角目的。,D,11,2022/12/28,三角形的中线倍长线段AB与线段CE的关系为,三角形的中线倍长

5、,如图，在OMN中，MP是OMN的中线， MQ是OMP的中线 ，且OM=OP。求证： MN= 2MQ。,M,又OM=OP且P为ON中点OMP=OPM 且PM=OM=OP=PNMPN为OMP的外角MPN=OMP+OPM把、代入得：MPN=OPM+OPM =MPM在MPN与MPM中：,12,2022/12/28,三角形的中线倍长如图，在OMN中，MP是OMN的中线，,三角形的中线倍长,如图，ABC中，D为AC边中点，E为AB上一点。（2）若DEDF于D，交BC于F，连接EF。求证：AE+CFEF,G,证明：延长DE至G点，使DG=DE，连接GF、GC。在EDF与GDF中DE=DG EDF= GDF

6、=90DF为公共边EDFGDF（SAS）EF=FG ,在CFG中有：CF+CGFG 把、 代入得：AE+CFEF,又D为AC边中点AD=DC在ADE与CDG中AD=DC ADE= CDGDE=DGADECDG（SAS）AE=CG ,13,2022/12/28,三角形的中线倍长如图，ABC中，D为AC边中点，E为AB上,三角形的中线倍长,如图，AB/CD，E为BD中点，连接AC、CE，若CD=AB+AC.求证：AECE。,F,CEA=CEFCEA+CEF=180CEA=CEF=90AECE,14,2022/12/28,三角形的中线倍长如图，AB/CD，E为BD中点，连接AC、,三角形的中线倍长,

7、如图， ABC和DCE分别为等腰三角形，AB=AC，DC=DE，BAC=a，CDE=b，F为BE中点，连接AF,DF。（1）若a=b=90，求证：AF=DF，AFDF。,G,15,2022/12/28,三角形的中线倍长如图， ABC和DCE分别为等腰三角形，,三角形的中线倍长,如图， ABC和DCE分别为等腰三角形，AB=AC，DC=DE，BAC=a，CDE=b，F为BE中点，连接AF,DF。(2)若a 90，B 90，a+b=180，求证：AFDF。,G,AD=DG在AFD与GFD中AD=GDAF=GFDF为公共边 AFD GFD AFD=GFD=90 AFDF,证明：延长AF至点G，使AF

8、=GF，连接EG、DG、AD。 F为BE中点BF=EF在AFB与GFE中 AF=GFAFB=GFE（对顶角） BF=EF AFB GFE （SAS）GE=AB=AC， GEF= ABFACD=180- ACB- DCE=180-(180-a)/2-(180-B)/2=(a+b)/2=90,GED=GEF+DEC= (180-a)/2+(180-B)/2=(360-a-b)/2=90即ACD= GED在ACD与GED中 AC=GEACD=GED DC=DF ACD GED （SAS）,16,2022/12/28,三角形的中线倍长如图， ABC和DCE分别为等腰三角形，,三角形的中线倍长,如图，A

9、D是ABC的中线，AE AC、AF AB，且AE=AC、AF=AB。求证：2AD=EF。,F,证明：延长AD至P，使PD=AD在PBD与ACD中PD=AD PDB=ADC CD=BDPBDACD（SAS）PB=AC、 C= PBDPB/AC BAC+PBA=180,E,C,D,B,P,又CAE+BAF=90+90=180 CAB+EAF=180 PBA= EAF又AC=AE、AC=PBAE=PB在ABP与FAE中AE=PB EAF= PBAAB=AFABPFAE（SAS）EF=PA=2AD,17,2022/12/28,三角形的中线倍长如图，AD是ABC的中线，AE AC、A,三角形的高与垂线,

10、作垂线后可得直角，结合题目中多个垂直关系，可作垂线证全等。当题目中出现多组互相垂直线段时，往往可通过同角（等角）或余角相等，进而得到证明全等的条件！,18,2022/12/28,三角形的高与垂线作垂线后可得直角，结合题目中多个垂直关系，可,三角形的高与垂线,如图，C=90，BEAB且BE=AB，BDBC且BD=BC，CB延长线交DE于F。求证：F是BD中点。,证明：过E作EMCF，交CF延长线于M。ABE=90ABC+EBM=90又EBM+BEM=90ABC=BEM在ABC与BEM中BME=ACB=90ABC= BEMAB=BE, ABC BEM（AAS）ME=BC又BC=BD在EMF与DBF

11、中 EMF= DBF EFM= DFBME=BDEMF DBF（AAS）EF=DFF是ED中点,M,19,2022/12/28,三角形的高与垂线如图，C=90，BEAB且BE=AB，,三角形的角平分线与内心,如图，BM、CN是ABC的两条角平分线，相交于点P。求证：P点在BAC的平分线上。,分析：由角平分线的判定可知，要证明P点在BAC的平分线上，只需证明P点到AB、AC两边的距离相等。从已知可知：P点在BM上，所以P点到AB、BC两边的距离相等，点P又在CN上，所以P点到AC、BC两边的距离相等，从而可以由等量代换可证。,证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为点

12、D、E、F。BM是ABC的角平分线且P在BM上，PDAB、PEBCPD=PE(角平分线性质)同理PE=PF,PD=PF又PDAB、PFACP点在BAC的平分线上,20,2022/12/28,三角形的角平分线与内心如图，BM、CN是ABC的两条角平分,三角形的角平分线向两边作垂线,如图，已知1= 2，作PA OM、PB ON。,1,2,O,B,P,N,4,3,A,M,21,2022/12/28,三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知1= 2，作PA,三角形的角平分线向两边作垂线,如图，在ABC中， C=90，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离为多少？,解：过点D

13、作DE垂直AB于点E C=90 ACCDAD平分CAB且DE ABCD=DECD=BC-BD=2cmDE=2cm答：点D到直线AB的距离为2cm。,E,22,2022/12/28,三角形的角平分线向两边作垂线如图，在ABC中， C=90,三角形的角平分线向两边作垂线,如图，已知1= 2，3= 4。求证： 5= 6,证明：过点E分别作线段BF、CD、BG的垂线，垂足分别为M、N、P。1=2， 3=4且MEBG、PE BG、EN CDME=PE，ME=NENE=PE又EN CD、 PE BG 5= 6（角平分线性质的判定）,23,2022/12/28,三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知1= 2

14、，3=,三角形的角平分线向两边作垂线,如图，ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PE=PD。求证：AC=AB。,证明：连接AP PDA= PEA=90在RtPDA与RtPEA中PD=PEPA为公共边 RtPDA RtPEA(HL)AD=AE又1=90-CAB=2在ACE与ABD中,思路分析：证明线段相等可以放到等腰三角形中，或者放到两个全等三角形中，进而求证对应边相等。,1=2AEC=ADB=90AE=ADACEABD(AAS)AC=AB,24,2022/12/28,三角形的角平分线向两边作垂线如图，ABC的两条高BD、CE,角平分线截长补短,从角平分线上一点作角两边的垂线，垂线段相等，顶点

15、到两垂足的距离也相等。借此，可在角的两边上实施截长或补短，甚至既截长又补短达到“移多补少”的目的。其实质是角平分线两侧的“对称”位置的三角形全等。,如图，在等腰直角ABC中，C=90，AD平分BAC，若DEAB于E点，则有DC=DE，AC=AE，所以ACDAED，也可得到AB=AC+CD。此时DE把长线段AB截成AE、EB两段，达到截长效果。,A,B,C,D,E,25,2022/12/28,角平分线截长补短从角平分线上一点作角两边的垂线，垂线段相等，,角平分线截长补短,若作DEBA于点E，DFBC于点F，则可得ADE CDF。故AE=CF，从而将长线段BC上的FC“补”至短线段BA上AE处。,

16、A,B,C,D,如图，BD平分ABC，AD=DC,26,2022/12/28,角平分线截长补短若作DEBA于点E，DFBC于点F，则可,角平分线截长补短,如图，AD/BC，DCAD，AE平分BAD，且E是DC的中点。问：AD、BC、AB之间有何关系？,解：AB=AD+BC，理由如下：过点E作EFAB于点F。连接BE。AE平分BAD，且DCAD、EFABEF=DE（角平分线性质）DE=CEEC=EF,F,27,2022/12/28,角平分线截长补短如图，AD/BC，DCAD，AE平分B,一线三等角,如图，ABAC，BDDE，CEDE，AB=AC。求证：DE=BD+CE。证明：, ABAC，BDD

17、E，CEDE AEC= BAC= ADB=90 1+ 2=90 1=3在AEC与BDA中 AEC= ADB1=3AC=AB AEC BDA (AAS)CE=ADDE=BD+CE,1,3,2,28,2022/12/28,一线三等角如图，ABAC，BDDE，CEDE，AB=A,一线三等角,A,D,B,E,C,1,2,3,E,C,A,D,B,1,3,2,三垂直,一线三等角, 1+ 3=90且2+ 3=90 1= 2又BDDE，CEDE AEC= BDA又 CA=BA AECBDA(AAS), 1+ 3=180- 且2+ 3=180- 1= 2又AEC= BDA= 又 CA=BA AECBDA(AAS

18、),29,2022/12/28,一线三等角ADBEC123ECADB132 三垂直,一线三等角,已知， BED与CFD为等腰直角三角形，AB AG，CG AG求证：AB+CG=EF证明：,过D作DH AG于H点 AEB+ DEH= HDE+ DEH=90 AEB= HDE在AEB与 HDE中AEB= HDEBAE= EHDBE=EDAEBHDE(AAS)AB=EH同理CG=HFEH+HF=EF AB+CG=EF,30,2022/12/28,一线三等角已知， BED与CFD为等腰直角三角形，AB,一线三等角,已知：BE=DE， A= BED= ,DF=CF, DFC=G= . + =180求证：

19、AB+CG=EF证明：,在EF上截取线段EH，使EH=AB，连DH 1+ 2=180-且3+ 2=180- 1= 3又BE=DEAEBHDE(SAS) DHE= 又+ =180 DHF= 同理DHFFGC(AAS)HF=CG AB+CG=EF,H,2,1,3,31,2022/12/28,一线三等角已知：BE=DE， A= BED= ,DF=,截长补短法求线段数量关系（和差倍半）,截长：在长边上截取一段等于短边，然后证明另外两短边相等。补短：在短边上延长一段等于另一短边，然后证明这两短边之和等于长边。,32,2022/12/28,截长补短法求线段数量关系（和差倍半）截长：在长边上截取一段等,截长

20、补短法求线段数量关系（和差倍半）,如图， ABC的角平分线BD，与BCD的角平分线AC相交于O点。 BOC=120。求证：BC=AB+CD。,证明：在BC上截取点E，使BE=AB在ABO与EBO中AB=BEABO=EBOBO为公共边 ABO EBO（SAS） AOB= EOB AOB=180- BOC=60 AOB= EOB=60 COE= BOC- EOB=60,COD=AOB=60在OCE与OCD中COD= COE=90OC为公共边OCE= OCD OCE OCD(ASA)CE=CDBC=BE+CE=AB+CD,E,33,2022/12/28,截长补短法求线段数量关系（和差倍半）如图， A

21、BC的角平分,截长补短：半角模型,如图，已知AB=AD， B+ D=180， 2EAF= BAD。求：EF与BE、DF满足什么关系？,解：延长DF至点G，使DG=BEB+ ADF=180， 且ADF+ ADG=180 B= ADG在ABE与ADG中AB=ADB= ADGBE=DG ABE ADG BAE= DAG，AE=AG, BAE+ DAF= EAF= BADDAG+ DAF=EAF即FAG= EAF在AEF与AGF中AE=AGFAE=FAGAF为公共边 AEFAGF(SAS)EF=GF又GF=DF+DG=DF+BEEF=BE+DF,G,34,2022/12/28,截长补短：半角模型如图，

22、已知AB=AD， B+ D=18,“手拉手”模型,已知：OA=OB、OA=OB、 AOB= AOB。求证： 三角形全等(OAAOBB)手相等(AA=BB)手的夹角等于顶角顶点连手交点得平分。,O,A（左手）,A（左手）,B（右手）,B（右手）,A,B,B,A,三大特征1两个等腰三角形2顶角相等3顶点重合。,35,2022/12/28,“手拉手”模型已知：OA=OB、OA=OB、 AOB=,“手拉手”模型,证明 三角形全等(OAAOBB)AOB=AOA+AOB AOB=BOB+AOB又AOB=AOBAOA= BOB在OAA与OBB中OA=OBAOA= BOBOA=OBOAAOBB(SAS),O,

23、A（左手）,A（左手）,B（右手）,B(右手),A,B,B,A,36,2022/12/28,“手拉手”模型证明 三角形全等(OAAOBB)O,“手拉手”模型,证明手相等(AA=BB)OAAOBBAA=BB,O,A（左手）,A（左手）,B（右手）,A,B,B,A,37,2022/12/28,“手拉手”模型证明手相等(AA=BB)OA（左手）A,“手拉手”模型,证明手的夹角等于顶角(AA，BB的夹角，即C= AOB)OAAOBB OAP= PBC在OPA与CPB中： OAP= PBC APO= BPC(对顶角)C= AOB,O,A（左手）,A（左手）,B（右手）,B,A,B,A,C,P,38,20

24、22/12/28,“手拉手”模型证明手的夹角等于顶角OA（左手）A（左手）,“手拉手”模型,证明顶点连手交点得平分(OC平分ACQ)过O点分别作OM、ON垂直于AC和BQOAAOBBOM=ON(全等三角形对应高相等)又OMAC、ONBQOC平分ACQ(角平分线的判定),O,A（左手）,A(左手),B（右手）,B(右手),A,B,B,A,C,Q,M,N,39,2022/12/28,“手拉手”模型证明顶点连手交点得平分OA（左手）A(左手,已知：BAC=ABC，CD=CE，ACB=DCE=90，AD与BE相交于M点，(1)求证:ADBE；(2)求CME的大小。,“手拉手”模型,分析：由题意看得出，

25、 ACB与DEF均为等腰直角三角形，C为公共顶点，顶角相等均为90，满足“手拉手”模型的条件！ AD与BE分别为左手和右手！(1)求证:ADBE，即证明AMB=90，即左右手AD与BM的夹角,即证明左右与右手的夹角等于顶角；(2)求CME的大小(左手)AD与(右手)BE交于点MC为两等腰三角形公共顶点即CM为顶点与两手交点的连线段那么CM平分AMECME显然等于AME的一半！,40,2022/12/28,已知：BAC=ABC，CD=CE，ACB=DCE=9,已知：BAC=ABC，CD=CE，ACB=DCE=90，AD与BE相交于M点，(1)求证:ADBE；(2)求CME的大小。,“手拉手”模型

26、,(1)证明：BAC=ABCAC=BC因为：ACB=ACD+BCDDCE=BCE+BCD又ACB=DCE=90 ACD= BCE,F,(在ACD和BCE中:AC=BCACD= BCECD=CE ACDBCE CAD= CBE在ACF和BMF中 CAD= CBEAFC= BFM(对顶角) FMB= FCA=90 ADBE,41,2022/12/28,已知：BAC=ABC，CD=CE，ACB=DCE=9,已知：BAC=ABC，CD=CE，ACB=DCE=90，AD与BE相交于M点，(1)求证:ADBE；(2)求CME的大小。,“手拉手”模型,(2)证明：过点C分别作CP、CQ垂直AD、BE，垂足分别为P、Q。ACDBCECP=CQ(全等三角形对应高相等)又CPAD、CQBECM平分AME(角平分线判定)又ADBEAME=90CME=45,42,2022/12/28,已知：BAC=ABC，CD=CE，ACB=DCE=9,