高等数学 中值定理ppt课件.ppt

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1、第三章 中值定理与导数的应用,第一节 中值定理,知识回顾：,1.若函数f (x)在点x0可导，则,2. 函数f (x)在点x0可导的充要条件是 f (x)在点x0的左右导数均存在且相等。,一、费马引理,且在x0点可导，若对任意xU(x0)有f (x) f(x0) ，则,设函数 f (x)在点的某邻域U(x0)内有定义，,f (x) f(x0) ，,证明：,对任意xU(x0),由f (x) f(x0),得f (x) f(x0) 0,由f (x)在x0处可导，知,当xx0时，,当xx0时，,，,，,由 f (x) f(x0) 0,费马引理,f(x)在x0点可导，,对任意xU(x0)有f (x) f

2、(x0) ，则,注：若x0(a,b), f (x)在x0可导， 在区间(a,b)内f (x)f(x0) 则,推论：若x0(a,b), f (x)在x0可导， 在区间(a,b)内的 最大值 为f(x0) 则,最小值,罗尔定理 若函数 f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3) f(a)= f(b)则在(a,b)内至少存在一点,使,二、罗尔(Rolle)定理,(几何解释）,罗尔定理 若函数f (x)满足： (1)在a, b上连续； (2)在(a, b)内可导； (3) f (a)=f(b)， 则至少存在一点 ，使得 .,例1 证明方程 x5 5x1=0有且仅有一个小

3、于1 的正实根,证 设 f(x)= x5 5x1,则f(x)在0,1上连续,且f(0)=1 ，f(1)=3由零点定理：至少存在一点x0(0,1)使,故方程x5 5x1=0有小于1的正实根.,罗尔定理 若函数f (x)满足： (1)在a, b上连续； (2)在(a, b)内可导； (3) f (a)=f(b)， 则至少存在一点 ，使得 .,设方程x5 5x1=0另有一个小于1的正实根x1 得 f(x1) = 0,因 f(x)= x5 5x1在x0, x1(或x1, x0)上可导，且 f(x0) = f(x1)在x0与x1之间至少存在一点，使,而在(0,1)内,矛盾，,故方程 x5 5x1=0有且

4、仅有一个小于1 的正实根,例2 设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0，,证明至少存在一点,使,证 设 F(x) = x f (x)因为f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，所以F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，又F(0)=0， F(1)=1 f(1)0由罗尔定理：至少存在一点 使,即,练习 设函数 f(x)在上 可导，且 0f(x)1,证明在 内有且仅有一个x,使f(x)=tanx,在 内,证 设F(x)=f(x)tanx,在 内至少有一个a, 使F(a)=0，,即 f(a)=tana,设在 内另有一个点b, 使f(b)=tanb,则F(b)= f(b)t

5、anb = 0 = F(a),函数 f(x)在上 可导，,由罗尔定理：至少存在一点 使,与在 内 矛盾，,故在 内有且仅有一个x,使f(x)=tanx,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立。,三、拉格朗日(Lagrange)中值定理,拉格朗日定理,若函数 f (x) 满足:,(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点 (a,b) ，,使 f(b)f(a),(几何解释),拉格朗日中值公式,拉格朗日中值定理 若f (x)满足： (1)在a, b上连续； (2)在(a, b)内可导； 则至少存在一点 ，使得 .,拉格朗日中值定理结论的其它表示形式

6、:,推论,若函数 f(x) 在闭区间a,b上连续,在(a,b)内,恒有,则函数 f(x) 在a,b上是一个常数.,证,则 f(x) 在x1,x2连续, (x1,x2) 内可导;,至少存在一点,使,故,则函数 f(x) 在a,b上是常数.,拉格朗日定理 函数f (x)满足： (1)a, b上连续； (2)(a, b)内可导； 则 使得f(b)f(a),例4 证明当x0时,证:,设 f(t)ln(1+t),在0,x上应用拉格朗日定理,得: f(x)f(0),即: ln(1+x) ,因为11+1+x,所以,，有 ，,若函数g(x)与f (x)满足：,(1)在a, b上连续；,(2)在(a, b)内可导；,则至少存在一点 ，,使得,(3),四、柯西(Cauchy)中值定理,罗尔定理 函数f (x)满足： (1)a, b上连续； (2)(a, b)内可导； (3)f (a)=f(b)， 则 使得,拉格朗日定理 函数f (x)满足： (1)a, b上连续； (2)(a, b)内可导； 则 使得,柯西定理 函数f (x), g(x) (1)a, b上连续； (2)(a, b)内可导； 且 则使得,若g(x)=x，,若f(b)=f(a),几何解释：,B,连续曲线AB,若除端点外，,处处有不垂直于x 轴切线，,则该曲线上至少有一点的,切线平行于端点连线AB。,