随机振动及试验技术(第一讲) 概率、数理统计知识分析课件.ppt

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1、随机振动及试验技术,授课教师：艾延廷 动力与能源工程学院,2022/12/27,2,课程简介,第一篇 有关基本知识(6学时) 第1章 绪论 (2学时) 第2章 概率和统计在振动力学中的应用 (2学时) 第3章 随机过程及其各域信息 (2学时)第二篇 随机振动的理论与应用(12学时) 第4章 随机振动响应各域信息的计算公式 (3学时) 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 (2学时) 第6章 多自由度线性系统的平稳随机振动 (3学时) 第7章 弹性体的随机振动 (4学时) 第三篇 随机振动实验技术 (共18学时) 第8章 数字信号处理基础 (3学时) 第9章 随机振动统计参量的数字式分析 (3

2、学时) 第10章 随机振动实验与控制技术 (4学时) 第11章 机械阻抗的随机振动测试技术(3学时) 第12章 模态参数的随机振动测试法 (5学时),2022/12/27,3,课程简介,主要参考书1.白化同，郭继忠译. 模态分析理论与试验，北京理工大学出版社，2001年6月2.Clarence W. de Silva，Vibration Fundamentals and Practice，CRC Press LLC，2000 3.庄表中，梁以德，张右启. 机构随机振动. 国防工业出版社, 19954.胡志强等. 随机振动试验应用技术. 中国计量出版社,19965.戴诗亮. 随机振动实验技术.

3、清华大学出版社, 19846.郭虹, 艾延廷, 盛元生. 数据采集与处理. 航空工业出版社, 1999,2022/12/27,4,第1章 绪 论,1.1 随机振动的特征 振动的概念及举例 按数学性质分类确定性振动：力与运动量之间的关系和运动规律能用数学关系式表示随机振动：用概率、统计方法描述,2022/12/27,5,第1章 绪 论,1.2 随机振动的发展概况不确定性问题（如赌博、产品检验）概率论随机变量及其推广的随机过程理论描述布朗运动、处理信号中的噪声随机过程在结构、机械及电子系统中的应用随机振动：理论、随机振动引起的破坏、环境测量、结构在随机载荷下的响应、随机振动模拟试验等。 Coole

4、g提出FFT 信号分析仪及分析软件。,2022/12/27,6,第1章 绪 论,1.3 振动问题的模型1.3.1 系统的力学模型弹性：线性弹簧、非线性弹簧阻尼：线性阻尼、非线性阻尼质量：离散系统、连续参数系统1.3.2 激励的数学模型激励系统的外来扰动激励类型：力、压力、位移、速度、加速度 及其组合,2022/12/27,7,第1章 绪 论,1.3.3 响应的类型响应系统对外界激励的响应响应类型：力、压力、位移、速度、加速度及其组合确定性响应与随机性响应1.3.4 激励、系统、响应间的关系响应“预测”。如地震对结构物的影响，风对电视台天线铁塔的安全度及疲劳寿命估计激励“测量”源信号恢复系统“识

5、别”识别和估价系统的动态特性,2022/12/27,8,第1章 绪 论,1.3.5 机电模拟 弹性 k阻尼 c 质量 m 电容 c电阻 R 电感 L,2022/12/27,9,第1章 绪 论,1.4 系统动态特性的表示法1.4.1 频率响应函数振动微分方程： （1.3）当输入为 （1.4） 输出 （1.5） 将（1.3）、（1.4）代入（1.5）中，得：,2022/12/27,10,第1章 绪 论,式中 固有频率k/m对于m个输入，n个输出的系统有,2022/12/27,11,第1章 绪 论,第r个输入对第j个输出的频率响应函数。 优点：频域内物理概念十分清楚可以看出系统会发生几阶共振理论结果

6、可用实验验证,2022/12/27,12,第1章 绪 论,1.4.2 脉冲响应函数线性时不变系统的时域内的特性：（1）若输入为 则输出为 若输入为 则输出为,2022/12/27,13,第1章 绪 论,说明：输入对系统作用引起的结果与输入的起始 时刻无关，只与输入的起始时刻到给定观察时刻之间的时间间隔有关，体现系统的时不变特性。（2）叠加特性 若输入为 则响应 y(t)=h(t) 称为脉冲响应函数,2022/12/27,14,第1章 绪 论,（3）任意形状的激励可用一系列直方图逼近 激励为：数量等于1的脉冲，响应 数量等于 的脉冲 响应为： 总响应为：,2022/12/27,15,第1章 绪

7、论,2022/12/27,16,第1章 绪 论,例1.1已知：图1.10 ，求：系统频响函数和脉冲响应函数解：设冲击波对钢柱绕O点的力矩为M(t)，则设， 则,2022/12/27,17,第1章 绪 论,脉冲响应函数式中：,2022/12/27,18,第1章 绪 论,例1.2已知： ，图1.11（p8）求：系统频率响应矩阵解：设小车无质量，即设 ，则,2022/12/27,19,第1章 绪 论,代入上式得： 同理求出： 故系统的频响应矩阵为：,2022/12/27,20,第1章 绪 论,1.4.3 阶跃响应函数 此时系统的响应为阶跃响应函 数：因 时故,2022/12/27,21,第1章 绪

8、论,又因 时， 故若令 则有作业：1.11.3,2022/12/27,22,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,2.1 随机变量及概率分布函数 随机事件：可能出现也可能不出现的现象 随机变量： 离散型 连续型分布函数（累积分布函数）显然X落在与之间的概率：,图 2.1,(2.1),(2.3),(2.2),(2.4),2022/12/27,23,2.2一维概率密度及其类型 2.2.1 一维概率密度函数的定义为非负值。 （2.5）式的分子用(2.4)式表示,(2.5),(2.6),此为概率分布函数的导数，对图2.1求导可得图2.2。,图2.2,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,2022/12

9、/27,24,从（2.6）式有：对(2.7)式积分，得若（2.8）式积分的上下限超于无穷大，则 随机变量X落在 区间内的概率为：见图2.2中阴影部分面积。,(2.10),(2.7),(2.8),(2.9),第2章 概率和统计在振动力学中的应用,2022/12/27,25,2.2.2正弦波的概率密度函数 用概率密度函数描述确定性波形的原因有三： （1）特例 （2）初相位是随机的 （3）t是随机的,(2.11),(2.12),(2.13),第2章 概率和统计在振动力学中的应用,图3.3,2022/12/27,26,因此，在一个周期T内，X(t)落在x到xdx之间的时间为2dt，两者之比为,上式即为

10、X(t)落在x到xdx的概率。又由于,(2.14),比较(2.14)与(2.15)，所以得,(2.15),(2.16),第2章 概率和统计在振动力学中的应用,2022/12/27,27,将（2.16）式用曲线表示在图2.4(a)上。,正弦波的概率分布：,(2.17),图2.4（a），（b）,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,2022/12/27,28,2.2.3正弦波的概率密度函数,(2.18),(2.19),第2章 概率和统计在振动力学中的应用,图3.5,2022/12/27,29,(2.21),推出二维概率密度：,是点落在无限小区域内的概率（图2.6）,第2章 概率和统计在振动力学中的

11、应用,2.3多维随机变量的概率密度函数,2.3.1二维随机变量的概率密度函数,(2.20),X、Y同时满足不等式Xx和Yy的概率称联合分布函数，即,2022/12/27,30,点落在xy平面某个区域B内的概率密为,(2.23),分布函数与密度函数的关系为：,由（2.23）式得,(2.22),(2.24),第2章 概率和统计在振动力学中的应用,图2.6,2022/12/27,31,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,（9）,2022/12/27,32,2.3.2 独立的随机变量,(2.25),若随机变量X和Y满足不等式和的事件是相

12、关的，则称X和Y为不独立的随机变量,对（2.25）式两边分别微分，得,或,(2.26),两独立随机变量一定是不相关的，两不相关的随机变量不一定独立。,对于独立的随机变量，其联合分布函数为：,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,2022/12/27,33,2.3.3 多维随机变量,(2.27),推广到多维随机变量，有,(2.28),(2.29),例3.2 X和Y的联合概率密度函数为：,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,2022/12/27,34,求：（a）a的值； （b）y1时，0 x1的概率； （c）X，Y是否统计无关； （d）X，Y为随机点的坐标，求此点落在图2.7所示面积为1的正方形

13、 OABC外的概率； （e）概率分布函数P(x,y),解：(a)因为,则,图2.7,(b),第2章 概率和统计在振动力学中的应用,2022/12/27,35,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,(c),因此p(x,y)=p(x)*p(y)，即X、Y为不相关的两随机变量。,(d),(e),（其它）,=,2022/12/27,36,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,2.4 随机变量的数字特征,(2.30),2.4.1随机变量的统计特征,算术平均值：,有时：,（X的某些值重复了 次）,式中：,方差：,(2.31),用 代表统计标准差。,(2.32),(2.33),2022/12/27,37,第

14、2章 概率和统计在振动力学中的应用,称 为统计相关矩，或称为协方差。,类似于2.31式有,(2.34),在给定的N次试验中，对于两个随机变量X和Y，可以取,(2.35),2022/12/27,38,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,(2.35),2.4.2 随机变量的概率特征,对离散随机变量,所有可能之 与其概率积的和。,同样可以得到方差的表达式：,(2.36),2022/12/27,39,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,相应的标准差为：,(2.40),或写成：,(2.38),相关矩,相关矩：,(2.39),式中： PjrY与X取值yj和xr的概率。,（2.40）式写成：,(2.41

15、),2022/12/27,40,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,对连续型随机变量：,相关矩,(2.42),由于 ，（2.42）式改写成 ：,(2.43),P(x)分布质量，总质量,EXP(x)之质量中心的坐标。（2.42）式称为一阶矩。,n阶矩,(2.44),2022/12/27,41,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,零阶矩：,(2.45),二阶矩：,(2.46),中心化的n阶矩定义：,(2.47),2022/12/27,42,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,或写为：,(2.48),方差均方根均值平方：,偏态 p(x)对称性,峰度 p(x)顶峰凸起程度,两随机变量之相关矩(相

16、关程度)：,(2.51),(2.49),(2.50),2022/12/27,43,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,(2.52),因X、Y独立无关，有,故（2-51）式写为：,结论：两个独立变量的相关矩一定为0。,两个随机变量的方差和相关矩可以表示为：,对于n维随机变量，其方差和相关矩可以用相关矩阵表示为（ ）：,(2.53),2022/12/27,44,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,例2.3 已知F，mF，DF，WX，E，JX,(2.53),求：,解：,2022/12/27,45,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,3.5复随机变量,故,式中,(2.55),(2.54),(2.

17、56),(2.57),(2.58),可见，复随机变量的方差是实数。,2022/12/27,46,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,两复随机变量 在X=Y时的相关矩等于方差Dx,(2.59),X、Y为任意时，,(2.60),改变随机变量的顺序，其相关矩阵变为复共轭变量。,(2.61),2022/12/27,47,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,3.6 高斯分布的一些特性,(2.62),3.6.1 一维高斯分布,(2.63),(2.64),2022/12/27,48,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,(2.65),正态随机变量的分布完全由 和 确定。,当m=0时，,2022/12/27,49,第2章 概率和统计在振动力学中的应用,例2.4 随机力幅 ,正态分布,求力幅在10-12N范围的概率。,解：根据正态分布规律,(a),令,，（a）式变为,(b),先确定,查F表,得,作业P513.1题,