圆锥曲线复习 ppt课件(经典).ppt

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1、圆锥曲线复习,复习专题,1.椭圆的定义平面内到两定点F1、F2距离之和为常数2a ( )的点的轨迹叫椭圆.有|PF1|+|PF2|=2a.在定义中，当 时，表示线段F1F2;当 时,不表示任何图形.,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,2.椭圆的标准方程(1) =1 (ab0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为 .(2) =1 (ab0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为 .,F1(-c,0),F2(c,0),F1(0,-c),F2(0,c),4.椭圆 =1 (ab0)的几何性质(1)范围：|x|a,|y|b，椭圆在一个矩形区域内；(2)对称性：对称轴x=0，y=0，对称中

2、心O(0，0)；一般规律：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线.,(3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴长|A1A2|= ，短轴长|B1B2|= ;一般规律：椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.(4)离心率：e= (0e1)，椭圆的离心率在 内,离心率确定了椭圆的形状(扁圆状态).当离心率越接近于 时,椭圆越圆;当离心率越接近于 时，椭圆越扁平.,2a,2b,(0,1),0,1,5 .双曲线的定义 平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a(且 )的点的轨迹叫双曲线，有|MF1|-|MF2|=2a

3、. 在定义中，当 时表示两条射线,当 时,不表示任何图形.,02a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,6.双曲线的标准方程 (1)焦点在x轴上的双曲线: ,其中 ,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)； (2)焦点在y轴上的双曲线: ,其中c2=a2+b2，焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c).,c2=a2+b2,7.双曲线 (a0,b0)的几何性质 (1)范围： ,yR； (2)对称性：对称轴x=0,y=0，对称中心(0，0)； 一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线.,|x|a,(3)顶点：A1(-a,0),A2(a,0)；实轴

4、长 ，虚轴长 ; 一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点. (4)离心率e= ( )；双曲线的离心率在(1,+)内，离心率确定了双曲线的形状. (5)渐近线：双曲线 的两条渐近线方程为 ;双曲线 的两条渐近线方程为 .,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,e1,y= x,y= x,双曲线有两条渐近线，他们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b;公用渐近线的两条双曲线可能是:a.共轭双曲线；b.放大的双曲线；c.共轭放大或放大后共轭的双曲线.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两条渐近线方程，即方

5、程 就是双曲线 的两条渐近线方程.,8.抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 .2.抛物线的标准方程与几何性质,准线,x轴,y轴,F(- ,0),F(0, ),x=-,y=,9.直线与圆的位置关系的判断由圆心到直线的距离d与圆半径r比较大小判断位置关系;(1)当dr时,直线与圆 ;(2)当d=r时,直线与圆 ;(3)当dr时，直线与圆 .10.直线与圆锥曲线的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=

6、0（或ay2+by+c=0）.,相离,相切,相交,(1)当a0时,则有 ,l与C相交; ,l与C相切; ,l与C相离;(2)当a=0时，即得到一个一次方程，则l与C相交,且只有一个交点,此时,若曲线C为双曲线,则l 于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l 于抛物线的对称轴.,0,=0,0,平行,平行,11.弦长公式连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系数关系来计算弦长，常用的弦长公式|AB|= = .当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长.,13.求轨迹方程的基本思路(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为M(x

7、,y).(2)写出动点M所满足的 .(3)将动点M的坐标 ,列出关于动点坐标的方程f(x,y)=0.(4)化简方程f(x,y)0为最简形式.(5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件.,几何条件的集合,代入几何条件,注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）.14.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x,y的等式就得到曲线的轨迹方程

8、；,(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的 ,则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，如果相关点P满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；,定义,1.动点P到两定点F1(-3,0)，F2(3,0)的距离之和等于6，则点P的轨迹是( ),C,A.椭圆 B.圆C.线段F1F2 D.直线F1F2,课堂练习,2.椭圆 + =1的焦点坐标是 ,若弦CD过左焦点F1,则F2CD的周长是 .,( ,0),16,

9、由已知，半焦距c= = ,故焦点坐标为( ,0),F2CD的周长为4a=44=16.,3.中心在坐标原点,焦点在y轴上,经过点( ,0),离心率为 的椭圆方程为 .,=1,b=3 e= = a2=b2+c2又椭圆焦点在y轴上,故其方程为 =1.,a=2b=3.,解得,依题设,4.已知M为线段AB的中点,|AB|=6,动点P满足|PA|+|PB|=8,则PM的最大值为 ,最小值为 .,4,依题意可知，P点轨迹为以A、B为焦点的椭圆，M为椭圆中心，且半焦距为3，半长轴为4，则|PM|的最大值为4，最小值为半短轴 .,6.双曲线 =1的实轴长是 ，焦点坐标是 .,8,（0,5),7.方程 =1表示双

10、曲线，则实数k的取值范围是 .,(-,-1)(1,+),由题设及双曲线标准方程的特征可得(1+k)(1-k)1.,8.已知双曲线 =1右支上一点P到左焦点F1的距离为12，则点P到右焦点F2的距离为 ;右支上满足上述条件的点P有 个.,2,1,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a=10，所以|PF2|=12-10=2.又焦点坐标F1（-7，0），F2（7，0），顶点坐标为（5，0），所以满足条件的点只有一个，即为右顶点.,9.若双曲线 =1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率 .,e=,由已知，两渐近线方程为y= x,由两渐近线互相垂直得 (- )=-1,即a=b.从而e= = =

11、.,10.若双曲线C的焦点和椭圆 =1的焦点相同，且过点(3 ,2)，则双曲线C的方程是 .,=1,由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在x轴上，设双曲线C的方程为 =1, a2+b220 a2=12 =1 b2=8,故所求双曲线的方程为 =1.,则,求得,6.与双曲线 共渐近线的双曲线方程为 =(0). 与双曲线 共焦点的圆锥曲线方程为 (a2,且-b2). 7.双曲线的形状与e有关系:k= = = = ，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.,11.平面内，动点M到定点F（0,-3）的距离比它到直线y

12、-2=0的距离多1,则动点M的轨迹方程是 .,x2=-12y,依题设，动点M到定点F(0,-3)的距离等于它到定直线y=3的距离，由抛物线的定义可知，其轨迹方程为x2=-12y.,12.抛物线y=- x2的焦点坐标是 ，准线方程是 .,y=1,(0,-1),抛物线的标准方程是x2=-4y，所以焦点坐标为（0，-1），准线方程为y=1.,13.抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且焦点到准线的距离为4,则该抛物线的标准方程为 .,y2=8x,依题设，设抛物线的方程为y2=ax,且|a|=24=8,即a=8，故抛物线方程为y2=8x.,14.抛物线y2=4x上一点到其焦点F的距离为5,则点P的坐

13、标是 .,(4,4),由抛物线的定义，|PF|等于P点到准线x=-1的距离，则xP-(-1)=5，得xP=4.又y2=4x，得yP=4.故点P的坐标为（4，4).,15.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .,由抛物线的定义，连接点(0,2)和抛物线的焦点F( ,0),交抛物线于点P，则点P使所求的距离最小，且其最小值为 = .,1.类比圆锥曲线统一定义.(1)抛物线定义的集合表示:P=M| =1,即P=M|MF|=d.(2)圆锥曲线的统一定义为P=M| =e (e0).当01时，曲线为双曲线；当e=1时，曲线为抛物线.,2

14、.定义及标准方程的理解.(1)求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，知道抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者之间是相依并存的，知道其中一个，就可以求出其他两个.(2)焦点弦公式：对于过抛物线焦点的弦长，可用焦半径公式推出弦长公式.设过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则有|AB|x1+x2+p.,(3)与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对称中心，只有一个焦点，一条准线，一个顶点，一条对称轴，且离心率为常数1.(4)抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的

15、.(5)抛物线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号，则抛物线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号，则抛物线的开口方向为x轴或y轴的负方向.,16.若ab且ab0,则直线ax-y+b=0和二次曲线bx2+ay2=ab的位置关系可能是( ),C,17.直线x+y=2与椭圆x2+ky2=1有公共点，则k的取值范围是 .,(0, ,18.过原点的直线l:y=kx与双曲线C: =1有两个交点，则直线l的斜率k的取值范围是 .,由于双曲线的渐近线的方程为y= x,数形结合可知l与C有两个交点，则直线l夹在两渐近线之间，从而- k .,19.设抛物线C:y2=8x的准线与x

16、轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线C有两个公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是 .,(0, )( ,),由题意可得Q(-2,0),则l的方程可设为y=k(x+2)，代入y2=8x,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.由于l与C有两个公共点, k20 =16(k2-2)2-16k40,解得-1k0或0k1,即-1tan0或0tan1,故 或0 .,因此,20.直线y=kx-2与椭圆x2+4y2=80相交于不同的两点P、Q,若PQ的中点的横坐标为2,则弦长|PQ|等于 .,6,y=kx-2 x2+4y2=80（1+4k2)x2-16kx-64=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x

17、1+x2= =22,得k= ,从而x1+x2=4,x1x2= =-32,因此|PQ|= |x1-x2|= =6 .,由于,，消去整理得,1.直线与圆锥曲线位置关系探究方法.直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离、相交和相切.从代数角度一般通过他们的方程来研究：设直线l:Ax+By+C=0，二次曲线C:f(x,y)=0.联立方程组 Ax+By+C=0 f(x,y)=0,消去y(或x)得到一个关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)，然后利用方程根的个数判定，同时应注意如下四种情况：,(1)对于椭圆来说，a不可能为0，即直线与椭圆有一个公共点，直线与椭圆必相

18、切；反之，直线与椭圆相切，则直线与椭圆必有一个公共点.(2)对于双曲线来说，当直线与双曲线有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.(3)对于抛物线来说，当直线与抛物线有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.,(4)0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件.(5)0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交

19、点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.,2.数形结合思想的应用.要注意数形结合思想的运用.在做题时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来.特别地：(1)过双曲线 =1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条；,P点在两渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时，不存在这样的直线.(2

20、)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.,3.特殊弦问题探究方法.(1)若弦过焦点时（焦点弦问题），焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用焦半径公式求解.(2)若问题涉及弦的中点及直线斜率问题（即中点弦问题），可考虑“点差法”（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差），同时常与根和系数的关系综合应用.,21.方程|x|-1= 表示的曲线是( ),D,A.一个圆 B.两个圆C.半个圆 D.两个半圆,由于|x|-1=(|x|-1)2+(y-1)2=1 |x|-10 x1 x-1 (x-1)2+(y-1)

21、2=1 (x+1)2+(y-1)2=1曲线是两个半圆，故选D.,或,22.设P为双曲线 -y2=1上一动点,O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为 .,x2-4y2=1,(代入法)设M(x,y)，P(x1,y1)，则 -y12=1. x= x1=2x y= y1=2y,又,即,代入得x2-4y2=1.,(直推法)依题设, |PF1|+|PF2|=25=10 |PQ|=|PF2|,则|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=10,则动点Q的轨迹是以F1为圆心,10为半径的圆,其方程为(x+4)2+y2=100.,23.已知椭圆 =1的左、右焦点分别为F1、F2,P为

22、椭圆上一动点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹方程是 .,(x+4)2+y2=100,24.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足 = + ,其中、R,且+=1,则点C的轨迹方程是 .,x+2y-5=0,（参数法）设C(x,y).由 = + ,得(x,y)=(3,1)+(-1,3), x=3- y=+3. 而+=1, x=4-1 y=3-2,即,则,消去得x+2y-5=0.,25.设A1、A2是椭圆 =1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点M的轨 迹方程是 .,(交轨法)由已知,A1

23、(-3,0),A2(3,0).设P1(x1,y1),则P2(x1,-y1),交点M(x,y),则由A1、P1、M三点共线,得 = .又A2、P2、M三点共线，得 = .得 = .又 =1,即 = ,从而 = ,即 .,1.曲线与方程关系的理解.(1)曲线方程的实质就是曲线上任意一点的横、纵坐标之间的关系，这种关系同时满足两个条件：曲线上所有点的坐标均满足方程；适合方程的所有点均在曲线上.(2)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.,(3)视曲线为点集，曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标所满足的方程，则曲线上的点集(x,y)与方

24、程的解集之间建立了一一对应关系.2.求轨迹方程方法实质剖析.(1)轨迹问题的实质就是用动点的两坐标x,y一一对应的揭示曲线方程解的关系.在实际计算时，我们可以简单地认为，求曲线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关系.当两坐标之间的关系为直接关系f(x,y)=0，就是曲线方程的普通形式;,当x,y的关系用一个变量(如t变量)表示时，坐标之间的关系就是间接关系，这时的表示式就是曲线的参数方程.所以解决问题时，应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展开探究. (2)定义法求轨迹是不同于其他求轨迹的思维方法，它从动点运动的规律出发，整体把握点在运动中不动的、不变的因素，从而得到了动点运动规律满足某一关系，

25、简单地说，就是在思维的初期，先不用设点的坐标，而直接找动点所满足的几何性质(往往是距离的等量关系).,由于解析几何研究的几何对象的局限性，直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距离的关系来定义曲线的，所以利用定义法求轨迹问题时，往往应该先考虑动点满足的距离关系，判断它是否满足五种曲线的定义，从而使问题快速解答.,1.已知R,则不论取何值，曲线C：x2-x-y+1=0恒过定点( ),D,A.(0,1) B.(-1,1)C.(1,0) D.(1,1),由x2-x-y+1=0,得(x2-y)-(x-1)=0. x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1,可知不论取何值,曲线C过定点(1,1).,依题设,即

26、,2.已知kR,直线y=kx+1与椭圆 =1恒有公共点,则实数m的取值范围是 .,1,5)(5,+),由于直线y=kx+1过定点P(0,1)，则当P(0,1)在椭圆上或椭圆内时，直线与椭圆恒有公共点，因此m且m5,求得m1,5)(5,+).,3.双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q，已知O为坐标原点，则POQ的面积为定值 .,1,如图,双曲线x2-y2=4的两条渐近线为y=x,即xy=0.又|PQ|= ,|PR|= ，所以SPOQ= |PQ|PR|= =1.,4.已知定点A(2,3),F是椭圆 =1的右焦点,M为椭圆上任意一点,则|AM|+2|MF|的最小

27、值为 .,6,由于点A在椭圆内，过M点作椭圆右准线x=8的垂线，垂足为B.由椭圆第二定义，得2|MF|=|MB|，则|AM|+2|MF|AM+|BM|，当A、B、M三点共线且垂直于准线时，|AM|+2|MF|的最小值为6.,1.若探究直线或曲线过定点，则直线或曲线的表示一定含有参变数，即直线系或曲线系，可将其方程变式为f(x,y)+g(x,y)=0(其中为参变数)，由 f(x,y)=0 g(x,y)=0确定定点坐标.,2.在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形.3.解析几何中的最值问题，或数形结合，利用几何性质求得最值，或依题设条件列出所求最值关于某个变量的目标函数，然后应用代数方法求得最值.,再见谢谢,