第二章 有限差分法ppt课件.ppt
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1、第二章有限差分法,梁挠度方程,随着计算机技术的发展,为解微分方程提供了强有力的工具,借助于有效的计算方法,可对微分方程进行数值求解,第二章 有限差分法,第二章 有限差分法,钱学森指出:“今日的力学要充分利用计算机和现代计算技术去回答一切宏观的实际科学技术问题,计算方法非常重要”,第二章 有限差分法, 有限差分的基本概念 差分方程与差分格式构造 差分格式的收敛性和稳定性 差分格式的其他构造方法 差分解法在力学中的应用,本章内容,第二章 有限差分法,有限差分法是数值求解微分方程的方法之一,差分方法最早可追溯到1855, 亚当斯就提出了求解一阶方程组的初值问题著名的有限差分法,也称作亚当斯法。亚当斯
2、根据理论分析和计算发现海王星的人,Courant, Friedrichs, Lewy (1928) 首次对偏微分方程的差分方法作了完整的论述,第二章 有限差分法,有限差分法的基本思想和主要步骤,基本思想:用离散的、只含有限个未知数的差分方程去 代替连续变量的微分方程和定解条件,主要步骤:将连续求解区域离散成点集;将微分方程离散化为差分方程、将定解条件离散化,即得到构造差分格式;将偏微分方程定解问题化为代数方程组;求解代数方程组,得到离散点上的解;利用插值函数可得到整个区域上的近似解。,第二章 有限差分法,如何将连续体离散如何将离散点物理量的值联系起来如何得到离散点上的值,有限差分公式,差分方程
3、,差分格式,第二章 有限差分法,2.1 有限差分的基本概念,1.函数在离散点上的表示,r表示节点沿x坐标的位置,h表示沿x方向的步长,第二章 有限差分法,二维,相邻的节点,第二章 有限差分法,三维,第二章 有限差分法,2.单变量函数导数的有限差分公式,用上述记号,单变量函数u(x)在离散点xr处的Taylor级数展开为:,第二章 有限差分法,不同形式一阶导数差分公式及其截断误差,第二章 有限差分法,二阶导数差分公式及其截断误差,第二章 有限差分法,差分算子以及符号,第二章 有限差分法,不同算子间关系,第二章 有限差分法,或,第二章 有限差分法,两式相减,或,第二章 有限差分法,第二章 有限差分
4、法,一阶导数:,二阶导数:,第二章 有限差分法,三阶导数:,四阶导数:,第二章 有限差分法,单变量函数导数的有限差分公式,第二章 有限差分法,3.多变量函数导数的有限差分公式,二元函数一阶偏导数的有限差分公式,保持下标s不变(即y =常数)中保持r不变(即x =常数),第二章 有限差分法,第二章 有限差分法,第二章 有限差分法,二元函数偏导数的有限差分公式(h=k),第二章 有限差分法,2.2 差分方程与差分格式的构造,微分方程简单回顾,在力学、物理学等领域中,各个定律并不一定直接由某些表征物理量的未知函数与自变量间的量的规律给出,而往往是由这些函数和它们对自变量的各阶导数或偏导数的关系给出,
5、这种带有导数或微分符号的未知函数的方程称为微分方程,一般地,微分方程中,如果其中的未知函数只与一个自变量有关,则称为常微分方程,记为,x为自变量,y(x)为未知函数,y, y,y(n)为未知函数的各阶导数或微分。方程中所含未知函数导数的最高阶数(例如n )称为这个方程或方程组的阶(例如:n 阶常微分方程)。,第二章 有限差分法,1. 常见描述力学问题的微分方程,微分方程中,如果其中的未知函数与多于一个的自变量有关,则称为偏微分方程,记为,其中, u=(x1,x2,xm) , (m 2)为未知函数;F 是关于x1,x2,xm ,u以及u的有限个偏导数的已知函数。如果在F 中含有u 的偏导数的最高
6、阶为n ,则称为n 阶偏微分方程。如果F 关于u 及其导数是齐次的,则称微分方程是齐次的。,第二章 有限差分法,微分方程和定解条件一起组成定解问题,第二章 有限差分法,所有的物理学、力学等学科领域中的微分方程,都是根据一些基本定律以及实验现象为基础建立的。在这些方程中的量,包括自变量和特定函数的物理量,都是有量纲的物理量。由量纲分析和相似理论,这些物理量所组成的物理方程都可以化为无量纲形式。在这种无量纲形式的微分方程中,所有的自变量和有着特定物理意义的函数表征的量都是无量纲,并且还会出现一些决定这个物理系统的无量纲常数相似模量。这种无量纲形式的微分方程,才是纯数学的微分方程,其是一类可以描述很
7、多不同物理现象的微分方程。,第二章 有限差分法,在具体求解微分方程时,必须附加某些定解条件,微分方程和定解条件一起组成定解问题。对于高阶微分方程,定解条件通常有三种提法:一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态,这类条件称为初始条件,相应的定解问题称为初值问题;一种是给出了积分曲线在边界上的性态,这类条件称为边界条件,相应的定解问题称为边值问题;最后一种是既给出部分初始条件,又给出部分边界条件,即混合定解条件,相应的定解问题称为混合问题。,第二章 有限差分法,2. 常微分方程的差分格式构造与求解, 利用有限差分公式将上述常微分方程离散化, 将求解区域离散为x0,,xN N1个节点,差分方程,第二章
8、 有限差分法, 定解条件差分格式表示, 整理微分方程与定解条件,将微分方程转化为代数方程组,其中:,第二章 有限差分法,例1 用差分法求解边值问题:,解:取步长h0.1,节点xn=0.1n (n=0,1,10),第二章 有限差分法,数值计算结果:,第二章 有限差分法,3. 偏微分方程的差分格式构造与求解,二阶偏微分方程的分类,利用这个判别式,可以判定波动方程、弦振动方程隶属于双曲型方程,静电场、静磁场方程隶属于椭圆型方程,热传导方程隶属于抛物型方程。,第二章 有限差分法,一维对流方程可表示为下式,其中 c 为常数,该方程可刻画流体运动等某些物理现象。例如:流体在平直管道中的等速单向流动并忽略了
9、管壁与流体的摩擦,此时u 表示流体的密度,为时间t 与沿管道方向的坐标x 的函数,常数c 为流速。,一维扩散方程可表示为,其中a 0为常数,这是一个抛物型方程。其描述了热的传导,粒子的扩散等问题。对于细长绝缘杆的热传导问题来说,在材料密度、比热和导热系数均为常数的假设下,方程中的系数a 是由这些材料特性确定的常数,而u 是温度,它是时间t 与沿杆方向坐标x 的函数。,第二章 有限差分法,偏微分方程的差分格式,求解区域剖分,第二章 有限差分法,差分格式(方程),使用不同的差商格式,差分方程也将不同,第二章 有限差分法,向后差分,中心差分,向前差分,其与对流差分方程中的网格比不同,第二章 有限差分
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