华东交通大学概率论第2章ppt课件.ppt

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1、课件制作：应用数学系概率统计课程组,概率论与数理统计,第二章 一维随机变量及其分布,一、随机变量及其分布,二、离散型随机变量的分布函数,三、离散型随机变量的概率函数,四、连续型随机变量及其概率密度,五、随机变量的函数的分布,2.1随机变量及其分布,2.1.1随机变量的概念,2.1.2随机变量的分布函数,为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果,例:电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量 X 来描述,例: 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述,2.1 随机变量及其分布,例: (1)随机地掷一颗骰子，表示所有的样本点,:

2、 出现1点 出现2点 出现3点 出现4点 出现5点 出现6点,X(): 1 2 3 4 5 6,(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为 止，表示射击次数，则,:射击1次 射击2次 . 射击n次 .,X(): 1 2 . n .,(3) 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,表示该旅客的候车时间,: 候车时间,X(): 0, 10,2.1.1 随机变量的概念,定义: 设E是一随机试验， 是它的样本空间，若,则称 上的单值实值函数 X ( )为随机变量,随机变量一般用 X, Y , Z ,或小写希腊字母, , 表示.,随机变量,如，若用X 表示电话总机在9:001

3、0:00接到的电话次数，,或, 表示“某天9:00 10:00 接到的电话次数超过100次”这一事件,则,则, 表示正面向上,例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往需要多个指标，例如，身高、体重、头围等, = 儿童的发育情况 ,X ( ) 身高,Y ( ) 体重,Z ( ) 头围,各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有关系 即相互独立,而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.,随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母,等表示,例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.,我们可以把可能的身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X 的各种问题.,如 P(X1.7)=？ P(

4、X1.5)=?,P(1.5X1.7)=?,定义了一个 x 的实值函数，称为随机变量X 的分布函数，记为F ( x ) ,即,注: 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况 .,2.1.2随机变量的分布函数,分布函数的性质：,F ( x ) 单调不减，即,且,F ( x ) 右连续，即,利用分布函数可以计算,例2.1.1 设随机变量的分布律为 :,求 的分布函数，并求:,-1,2,3,即,设随机变量X的分布函数为:,求:,课堂练习,2.2-2.3随机变量的分布函数,一、离散型随机变量的概念,二、离散型随机变量的分布函数,三、常见的离散型随机变量

5、的概率分布,随机变量的分类,通常分为两类：,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个一一列举,全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.,定义: 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷 可列多个，则称 X 为离散型随机变量.,描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即,概率分布的性质,一、离散型随机变量的概念,F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点.,二、离散型随机变量的分布函数,注意右连续,注意:,离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (2)设法

6、（如利用古典概率）计算取每个值的概率. (3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.,例2.2.1,从110这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大值试求X的分布律,具体写出，即可得 X 的分布律：,解：X 的可能取值为,5，6，7，8，9，10 并且,=,求分布率一定要说明 k 的取值范围！,例2.2.2 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。,解: (1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(35)/(87)=15/56,类似有P(

7、X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56, P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布为,(2) Y的可能取值为1,2,3,4,P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为：,(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56,(1) 0 1 分布,注:其分布律可写成,三、常见的离散型随机变量的概率分布,常用0 1分布描述，如产品是否格、人口性别统,计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.,(2) 离散型均匀分布,(3) 二项分布,背景：n 重Bernoul

8、li 试验中，每次试验感兴趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 X是一离散型随机变量,若P ( A ) = p , 则,称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli分布).记作,0 1 分布是 n = 1 的二项分布.,二项分布的图形,例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取 出15件试求下列事件的概率： B = 取出的15件产品中恰有2件次品 C = 取出的15件产品中至少有2件次品 ,由于从一大批产品中取15件产品，故可近似 看作是一15重Bernoulli试验,解：,所以，,例3.1.2 一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有n重选

9、择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.,解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案 对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题 也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个 Bernoulli试验 .,在一定时间间隔内：,一匹布上的疵点个数；,大卖场的顾客数；,应用场合:,电话总机接到的电话次数；,一个容器中的细菌数；,放射性物质发出的粒子数；,一本书中每页印刷错误的个数；,某一地区发生的交通事故的次数;,市级医院急诊病人数；,等等.,例3.1.3 设随机变量X 服从参数为的Poisson分布，且已知,解：随机变量 X 的分布律为,由已知,如果随机变量X 的分布

10、律为,试确定未知常数c .,例3.1.4,由分布率的性质有,解：,(5) 几何分布,设用机枪射击一次击落飞机的概率为 ,无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数 服从参数为 的几何分布，记 .即,容易验证，若在前 m 次射击中未击落飞机，那么,在 此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服 从同一几何分布，该分布与 m 无关，这就是所谓的 无记忆性.,课堂练习,1. 将一枚均匀骰子抛掷3次，令X 表示3次中出现“4”点的次数,求X的概率函数,提示：,. 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.,求X的概率分布.,X的概率函数是：,男,

11、女,解:X 表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.,X可取值0,1,2,3,4.,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数,2.4. 常见的连续型随机变量,2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数,定义：设 X 是一随机变量，分布函数为F(x),若存在一个非负可积函数 f(x) 使得,则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密度,分布函数 F(x)与密度函数 f(x)的几何意义,概率密度函数( p.d.f.) f(x)的性质,1、,2、,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机

12、变量的密度函数，或求其中的未知参数.,3、,在 f(x) 的连续点处，,f(x) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率.,注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0,这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的取值.,命题: 连续型随机变量取任一常数的概率为零.,事实上,对于连续型随机变量X,例2.4.1 设随机变量 具有概率密度函数 试确定常数A， 以及 的分布函数.,解:由,知A=3，即,而 的分布函数为,例2.4.2 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量

13、X的分布函数,解:,综上所述，随机变量X的分布函数为,例3设,求 。,解 由定义,由于 是分段表达的，求 时注意分段求.,即,2.4.2.1 均匀分布,(a ,b)上的均匀分布,记作,2.4.2 常见的连续型随机变量,若 X 的密度函数为 ，则称 X 服从区间,其中,X 的分布函数为,即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.,在进行大量数值计算时，如果在小数点后第k位进行四舍五入，则产生的误差可以看作服从,应用场合:,例2.4.3,设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布， 求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的

14、概率.,解:,故所求概率为:,而X的密度函数为 :,因此所求概率：,2.4.2.2 正态分布,若X 的密度函数为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 X N ( , 2 ),为常数，,f (x) 的性质：,(1) 图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x),(2) 在 x = 时, f (x) 取得最大值:,(3) 在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有 拐点,(4) 曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线,(5) 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状.,f(x)的两个参数：, 位置参数,即固定, 对于不同的 , 对应的 f(x)

15、的形状不变化，只是位置不同., 形状参数,固定 ，对于不同的 ，f( x)的形状不同.,若 1 2 则,x= 2 所对应的拐点更靠近直线x = .,附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点比,前者取 ,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右对称”。,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度。,应用场合:,若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加, 则 X 服从正态分布.,可用正态变量描述的实例非常之多：,各种测量的误差； 人的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度

16、； 金属线的抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：, 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布, 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的, 正态分布可以作为许多分布的近似分布,正态分布的重要性:,标准正态分布的计算：,一种重要的正态分布：N(0,1) 标准正态分布,-x,x,对一般的正态分布 ：X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,

17、设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解:,例2.4.4,求 P ( X 0 ).,解1:,解二 图解法,0.2,由图,0,=1.645,=2.575,= -1.645,= -2.575,标准正态分布的上 分位数z,2.4.2.3 指数分布,若X 的密度函数为,则称X 服从参数为的指数分布,记作,X 的分布函数为, 0 为常数,对于任意的 0 a b,应用场合:,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种“寿命”分布的近似,例2.4.6,令：B= 等待时间为10-20分钟 ,2.4.2.4 伽玛分布

18、,设随机变量X，若X的密度函数为,则称X服从参数为 的伽玛（Gamma）分布,简称 为 分布,注:伽玛函数具有性质：,设测量的误差 XN(7.5,100)(单 位：米),问要进行多少次独立测 量,才能使至少有一次误差的绝对 值不超过10米的概率大于0.9 ?,解:,设A表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝 对值不超过10米,所以至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.,课堂练习,2.5 随机变量函数的分布,2.5.1 离散型随机变量函数的分布,2.5.2 连续性随机变量函数的分布,问题：已知随机变量 X 的概率特性 分布 函数 或密度函数（分布律）,Y = g ( X ),求随机因变量Y

19、 的概率特性,方法：将与Y 有关的事件转化成X 的事件,设随机变量 X 的分布律为,由已知函数 g ( x) 可求出随机变量 Y 的所有可能取值，则 Y 的概率分布为,2.5.1 离散型随机变量函数的分布,第 一 种 情 形:,第 二 种 情 形:,例2.5.1 已知 X 的概率分布为,求 Y 1= 2X 1 与 Y 2= X 2 的分布律,解:,已知随机变量 X 的密度函数 f(x) (或分布函数)求 Y= g( X )的密度函数或分布函数.,方法：,（1） 从分布函数出发（2） 从密度函数出发,2.5.2 连续性随机变量函数的分布,设随机变量 X 具有概率密度：,试求Y=X-4 的概率密度.,解:(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)：,例2.5.2,整理得 Y=X-4 的概率密度为：,本例用到变限的定积分的求导公式,解:,当a 0 时，,当a 0 时，,故,例如，设 X N ( ,2) , Y = a X +b, 则,Y N ( a +b, a22 ),特别地 ，若 X N ( , 2) ,则,解：设Y的分布函数为 FY(y)，,FY(y)=P Y y = P (2X+8 y ),=P X = FX( ),于是Y 的密度函数,课堂练习,故,注意到 0 x 4 时，,即 8 y 16 时，,此时,Y=2X+8,