幂级数函数的幂级数展开法ppt课件.ppt

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1、,第六章 无穷级数,6.3 幂级数,本节内容,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、 Taylor 级数及其应用,6.3 幂级数,一、 函数项级数的概念,设,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数, 称,收敛,发散 ,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,6.3 幂级数,为级数的和函数 , 并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数,称它,6.3 幂级数,例如, 等比级数,它的收敛域是,它的发散域

2、是,或写作,有和函数,6.3 幂级数,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如, 幂级数,为幂级数的系数 .,即是此种情形.,的情形, 即,称,6.3 幂级数,收敛,发散,定理 1. ( Abel定理 ),若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之, 若当,的一切 x , 该幂级数也发散 .,时该幂级数发散 ,则对满足不等式,证: 设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0, 使,6.3 幂级数,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛 .,也收敛,反之, 若当,时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使

3、级数收敛 ,面的证明可知,级数在点,故假设不真.,的 x , 原幂级数也发散 .,时幂级数发散 ,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,6.3 幂级数,幂级数在 (, +) 收敛 ;,由Abel 定理可以看出,中心的区间.,用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;,R = 时,幂级数在 (R , R ) 收敛 ;,(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.,R 称为收敛半径 ，,在R , R ,可能收敛也可能发散 .,外发散;,在,(R , R ) 称为收敛区间.,6.3 幂级数,定理2. 若,的系数满足,证:,1)

4、 若 0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即,时,则,6.3 幂级数,2) 若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明:据此定理,因此级数的收敛半径,6.3 幂级数,对端点 x =1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x = 1, 级数为交错级数,收敛;,级数为,发散 .,故收敛域为,例1.求幂级数,6.3 幂级数,例2. 求下列幂级数的收敛域 :,解: (1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x =

5、 0 处收敛 .,规定: 0 ! = 1,6.3 幂级数,例3.,的收敛半径 .,解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理,比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,6.3 幂级数,例4.,的收敛域.,解: 令,级数变为,当 t = 2 时, 级数为,此级数发散;,6.3 幂级数,当 t = 2 时, 级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,6.3 幂级数,幂级数及其和函数的基本性质,定理3. 设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有 :,6.3 幂级数,定理4 若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导

6、与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.,6.3 幂级数,解: 由例2可知级数的收敛半径 R+.,例5.,则,故有,故得,的和函数 .,因此得,设,6.3 幂级数,例6.,的和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1 时级数发,散,6.3 幂级数,例7. 求级数,的和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,及,收敛 ,6.3 幂级数,因此由和函数的连续性得:,而,及,6.3 幂级数,三、泰勒 ( Taylor ) 级数及其应用,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,

7、此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,6.3 幂级数,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,6.3 幂级数,定理5 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.,6.3 幂级数,函数展开成幂级数,1. 直接展开法,由泰勒级数理

8、论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛区间(R, R) 内,是否为0,骤如下 :,展开方法,直接展开法, 利用泰勒公式,间接展开法, 利用已知其级数展开式,的函数展开,6.3 幂级数,例8. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,故,故得级数,6.3 幂级数,例9. 将,展开成 x 的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,6.3 幂级数,类似可推出:,6.3 幂级数,例10. 将函数,展开成 x 的幂级数, 其中m

9、,为任意常数 .,解: 易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间 (1, 1) 内收敛.,因此对任意常数 m,6.3 幂级数,称为二项展开式 .,说明：,(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .,(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.,6.3 幂级数,对应,的二项展开式分别为,6.3 幂级数,2. 间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例11. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解: 因为,把 x 换成, 得,将所给函数展开成 幂级数.,6.3 幂级数,例12. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积

10、分, 得,定义且连续,区间为,上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,6.3 幂级数,例13. 将,展成,解:,的幂级数.,6.3 幂级数,例14. 将,展成 x1 的幂级数.,解:,6.3 幂级数,内容小结,1. 求幂级数收敛域的方法,1) 对标准型幂级数,先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .,2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求 .,6.3 幂级数,2. 函数的幂级数展开法,(1) 直接展开法, 利用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法, 利用幂级数的性质及已知展开,3. 常用函数的幂级数展开式,式的函数 .,6.3 幂级数,当 m = 1 时,6.3 幂级数,思考与练习,1. 已知,处条件收敛 , 问该级数收敛,半径是多少 ?,答:,根据Abel 定理可知, 级数在,收敛 ,时发散 .,故收敛半径为,6.3 幂级数,2. 函数,处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级,数” 有何不同 ?,提示: 后者必需证明,前者无此要求.,3. 如何求,的幂级数 ?,提示:,6.3 幂级数,作业 P180:1(1)(2)(3),