弹性与塑性力学基础 第4章广义虎克定律和弹性力学解题ppt课件.ppt

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1、,弹性与塑性力学基础,第 四 章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 4.1.1 应力与应变关系的提出 4.1.2 虎克定律 4.1.3 波桑比 4.1.4 广义虎克定律 4-2 基本方程 4.2.1 弹性阶段本构关系 4.2.2 平衡方程 4.2.3 几何方程 4.2.4 本构方程 4-3 边界条件 4.3.1 边界问题类型 4.3.2 位移边界问题 4.3.3 应力边界问题 4.3.4 混合边界问题,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 4.1.1 问题的提出 弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用1

2、5个变量来 描述。即：6个应力分量，3个位移分量，6个应变分量。 已学的基本方程9个。包括：变形体的平衡微分方程（微元 体的力平衡）3个，几何方程（应变位移关系）6个。 未知变量的个数（15）多于方程数（9）必须研究受力物体 的应力与应变之间的关系物理方程。对于弹性问题，即广义 虎克定律。,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 4.1.2 虎克定律 1、单向拉伸（压缩）： 材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹 性的，两者之间满足虎克定律。其表达式如下： 拉伸或压缩方向：x =x 与拉伸或压缩垂直的方向： y = z=

3、-x 式中： 弹性模量， 泊松比 2、纯剪： 在小变形情况下，由实验可知，正应力与剪应变无关，剪应力与 正应变无关。剪应力与剪应变的关系为： xy= G xy 式中：G剪切模量，,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 3、平面应力状态: 对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下， 正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的 叠加原理是适用的。 平面双向拉（压）应力 纯剪应力状态,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 3、平面应力状态:由于应力x的作用：

4、x方向应变为 y方向应变为由于应力y的作用：y方向应变为x方向应变为,弹性与塑性力学基础,同时有x和y作用在x方向及y方向的应变为 (4-3),平面应力时的虎克定律,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 3、平面应力状态： 在x和y作用下，z方向的应变 z= -(xy)/E 在剪应力作用下， X-Y 平面内的剪 应变与纯剪时相同，即： 式中， 为剪切弹性模量,弹性与塑性力学基础,纯剪应力状态,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 4.1.3 广义虎克定律 用相同的方法，可以导 出三维应力状态下的各 向同性均匀材料的广义

5、 虎克定律，其形式为： (4-4) （各向同性均匀材料的 含义，即材料内部各处 的不同方向具有相同的 、E、G 值）,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 4.1.4 广义虎克定律的不同形式 将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有 如令 则上式可写为 或 (4-5)(4-5)表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的球张量成正比，而与应力偏量无关。,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 4.1.4 广义虎克定律的不同形式 引入以上表达式后，广义虎克定律又可写为：

6、(4-6),弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 4.1.4 广义虎克定律的不同形式 由式(4-6)及式(4-5)，可得 即： 式中： ex=x- 0 为应变偏量分量， 为应力偏量分量。 用相同的方法，可得：,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 4.1.4 广义虎克定律的不同形式 因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为： (4-7) 弹性阶段应力主轴和应变主轴重合（注意：应力或应变球张量对应力主轴或应变主轴无影响）,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力

7、学解题 的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 4.1.3 广义虎克定律的不同形式 各向同性体的虎克定律(4-4)是以应力表示应变，在求解某些问题 时，有时需要用应变表示应力关系。将式(4-4)第一式作如下改变 即得式(4-6)的第一式 利用式(4-5) 便可得 由上式可得,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-1 广义虎克定律 4.1.3 广义虎克定律的不同形式 如引用= 并注意到 则有 用相同的方法可以求出其他的关系式，归纳如下 (4-8) 称为拉梅(Lam)弹性常数。用体积应变表示应力时则有 (4-9) 如令， 则式(4-9)可写成(K体积弹性模量

8、) (4-9),弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-2 基本方程 4.2.1 弹性阶段本构关系 在弹性问题中，本构关系即广义虎克定律（6个方程） 4.2.2 平衡方程（3个方程） (4-10) 或 (4-10),弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-2 基本方程 4.2.3 几何方程（应变位移关系，6个方程） (4-11) 或 (4-11),弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-2 基本方程 4.2.3 几何方程 由应变位移关 系导出的应变 协调方程：(4-12),弹性与塑

9、性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-2 基本方程 4.2.4 本构方程 弹性阶段本构关系为广义虎克定律 (4-13) 或(4-13),弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-2 基本方程 4.2.4 本构方程 如用应变表示应力，则有 (4-14)或 (4-14),弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-3 边界条件 解弹性力学问题时，除利用上述方程外，还应针对具体问题给出 弹性体表面上的边界条件作为补充条件，方可求出定解。 4.3.1 边界问题类型 三类：位移边界问题；应力边界问题；混

10、合边界问题 1、位移边界问题 物体在全部边界上位移分量已知。如平面问题位移边界条件为： 其中，us和vs是位移的边界值， 和 在边界上是坐标的已知函数 2、应力边界问题 物体在全部边界上所受的面力是已知的，面力分量在边界上是坐标已知函数。把面力已知的条件转换成为应力方面的已知条件，即为应力边界条件。,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-3 边界条件 2、应力边界问题（平面问题） 由平衡微分方程采用的正平行六面体，到物体的边界上，将成为三角形或三棱柱(它的斜面AB与物体的边界重合). 平面问题如图所示，用N代表边界面AB的外法线方向，并令N的方向余弦为

11、几何尺寸：设边界面AB的长度为dS， 则有：PA ldS ， PBmdS。 垂直于XOY面方向的尺寸仍取一个单位,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,受力平衡图,4-3 边界条件 2、 应力边界问题（平面问题） 由平衡条件 FX=0 得 略去含dS2的高阶微量项，得 其中(X)s和(yx)s是应力分量边界值, 由 FY=0，可得另一相似方程。 边界各点应力分量与面力分量关系 (4-16) (4-16)式即为平面问题应力边界条件,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,受力平衡图,4-3 边界条件 2、应力边界问题（平面问题

12、） 考虑第三个平衡条件M=0 ，有 特例：垂直于x轴的边界上， l=1，m0， 应力边界条件简化为 垂直于y轴的边界上， l=0，m= 1，应力边界条件简化为 即：应力分量边界值等于对应面力分量,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,受力平衡图,4-3 边界条件 2、应力边界问题 注意: (1)垂直于x轴边界上应力边界条件中并没有y (2)垂直于y轴边界上应力边界条件中并没有x 由此可见，平行于边界的正应力，其边界值与面力分量并不直接相关。,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,受力平衡图,4-4 边界条件 3、混合边界问

13、题 部分边界具有位移边界条件，部分边界则具有应力边界条件. 混合边界条件：同时存在位移边界条件和应力边界条件,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,混合边界问题实例： (a)连杆支承边(x轴) (b)齿槽边界(x轴),4-4 边界条件 垂直于x轴的边界（l=1, m=0）是连杆支承边(图a) x方向：位移边界条件： y方向：应力边界条件： 垂直于x轴边界是齿槽边(图b) x方向：应力边界条件： y方向：位移边界条件：,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-4 按位移求解弹性力学问题 弹性力学问题的求解方法：(a) 位移

14、法；(b) 应力法。 位移法：取位移分量为基本未知变量，利用基本方程和边界条件， 求解弹性力学问题。 应力法：取应力分量为基本未知变量，利用基本方程和边界条件， 求解弹性力学问题。 位移法求解弹性力学问题的基本步骤 利用几何方程用位移表示应变 代入本构方程，得到用位移表示的应力分量 代入平衡微分方程，得出关于位移的方程式 利用边界条件，求解关于位移分量的方程组，得出位移分量 代入几何方程，求出应变分量 代入本构方程，求出应力分量。,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-4 按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程 用位移表示应变的几何方程

15、： 用应变表示应力的本构方程：,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-4 按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程 代入 ，得： （A）,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-4 按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程 将(A)式表示的各应力分量代入平衡微分方程， 由第1式，得：,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-4 按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程 因为， 所以，上式可变为： (B-1) (B-1)式中：2称为拉

16、普拉斯算子， 为体积应变，,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-4 按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程 用同样的方法，可得另外两相似的表达式。因此，有： (B1) (B2) (B3) 至此，15个基本方程均已被利用1次，得到了关于位移分量的3个方程式(B1-B3)。再利用边界条件，即可由求解出位移分量u, v, w。,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-4 按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程 边界条件的应用： 1、若边界条件为位移边界条件，即已知物体表面的位移，则由

17、方程 B1-B3 和直接应用边界条件，即可求解出u, v, w。 2、若在物体表面给定的是面力条件，即为应力边界条件时，则必须进行适当变换，即利用虎克定律(应变表示应力的形式)和应力边界条件表达式，将物体表面的面力条件与位移分量的边界值联系起来。 由：虎克定律 应力边界条件 几何方程,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-4 按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程 ,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-4 按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程 可得： 由上述边界条件和方程B1

18、-B3，即可求解出u, v, w, 求出6个应变分量 求出6个应力分量。,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,4-5 按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法, 利用广义虎克定律，得到用应力分量表示的协调条件； 将平衡微分方程代入协调条件，化简方程组，得出满足平衡微分方程的协调条件； 利用边界条件，求解关于应力分量的方程组，得出各应力量； 利用广义虎克定律，求各应变分量； 代入几何方程，求位移变分量；,4-5 按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程,

19、弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法, 利用广义虎克定律，消去协调条件中的应变分量：,用应变分量表示的协调条件,4-5 按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,用应力分量表示的协调条件,（4-21）,4-5 按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法, 将（4-21）中的第一式与第三式相加，利用平衡微分方程，可得：,即：,4-5 按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本

20、过程,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,用同样的方法，可得：,即有：,（4-22）,4-5 按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,将（4-22）中三式相加，得：,（4-23）,再将（4-23）中的 代入（4-22），可得：,用同样的方法，可得另外两个类似的方程：,（4-24）-A,4-5 按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,利用平衡微分方程，将（4-2）中的第四式变为如形式：,整理化简后，得：,用同样的方法，可得另外两个类似的方程。,（4-24）-B,4-5 按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法,因此，利用平衡微分方程，可将用应力分量表示的变形协调条件变为：,（4-24）,4-5 按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法, 利用边界条件，求解方程组(4-24)，得出各应力量；, 利用广义虎克定律，求各应变分量；, 利用几何方程，求位移变分量；,