高量2 算符的本征值问题ppt课件.ppt

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1、1,2.2 算符的代数运算,在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算。在这一节里举几个比较复杂的算例，并用代数方法证明两个常用的算符等式。,多重对易式,设A,B为两个线性算符,互不对易. 定义多重对易式,2,显然，对于 型的多重对易式，有,利用上式及其对易关系，容易得出,对于 型的多重对易式亦有类似的公式。,例1 证明：,证利用数学归纳法,1) 当n=1时，上式变为,这是显然的。,3,2) 若原式成立，即,左边用A作用，利用式,有,看上式右端第二项，我们希望这两项能合并,4,为此，令 ，则,与第一项进行比较,进行傀标代换 ，第二项变为,同样第一项也相应变为,5,这样原式就变为,考虑两项

2、求和符号后第一个分式的特点，可以将两个求和上下限写成一致，即,6,从而有,所以，若原式对n时成立，则n+1时也成立。,3) 已知n=1时成立，所以原式对任意整数n都成立。,下面利用这个结论来证明一个常用的公式：,证 利用算符指数函数的定义，有,所以,7,利用上例结论，当 时,则,8,下面我们把条件放宽一些：,由此证明几个关系.,虽然 ，但,下面规定一种符号 ，其意义是，不管A, B是否对易， 中A一律写在B前面所得的式子，如,9,显然它符合普通代数中的二项式定理,我们知道，根据定义,当 时， （利用定义式可以证明）,现在规定,可以证明（不再证）,10,（1）令 , 则有,（2）另外， 与 有如

3、下关系,例5 证明Glauber公式,证,在一些公式证明过程中很有用。,11,证毕。,12,定义：,上面在右矢空间中定义了算符 A,由于在右矢空间中每一个算符A都对应着左矢空间中的某一个算符，这个左矢空间中与A对应的算符,我们称作 ,称为算符A的伴算符,2.3 作用于左矢的算符,一、伴算符,的定义域和值域是 的定义域和值域的左矢空间的对应区域。,13,伴算符是相互的，下面予以证明。,3. 伴算符的性质,2. 运算规则,一般表示 ，但可定义,这样 就是右矢空间中一个确定的算符了,可省去括号。,14,证 取,（1）把上式看作左矢 与右矢 的内积，则,（2）把上式看作左矢 与右矢 的内积，则,比较（

4、1）（2）有,因为 是各自在一定范围内的任意矢量,所以,故伴算符的伴算符就是原算符本身。,15,左矢和右矢是两个互为对偶的空间:,算符向右可以作用于右矢,向左可以作用于左矢.这种能左能右的性质是对偶空间优于单一空间的主要之点.,当然也可定义,二、一条定理,证（1）必要性：是明显的,定理：在复矢量空间中，若算符A对其定义域中的任意 满足 ，则必有,（2）充分性：,在A的定义域中取两任意矢量 ,则,16,由此得,若对任意 满足 ，则上式右方为0,所以有,既然上式对任意 成立，可将上式中的 换为,相应左矢为 ，则有,17,从而有,由于 是任意左矢，故有,但 是任意右矢，所以有,前面我们学习了作用于左

5、右矢的算符的性质，即,下面看单一空间的情况。,18,三、单一空间的情况,对式,右边,右矢 与左矢 的内积,单一空间说法：,右矢 与右矢 的内积,这正是伴算符 的定义式，即,在单一空间中 常被称为 的厄米共轭算符。,即若已知算符 ，有 存在满足上式，则 即 的伴算符。,19,1.定义：,2.4 厄米算符和幺正算符,一、厄米算符,若算符H满足,则算符H就是厄米算符，又称自伴算符。,在单一空间中称为自轭算符。,2.定理：,算符H为厄米算符的充要条件是对其定义域中所有的矢量 满足,证（1）必要性：,对任意 有,20,（2）充分性：,若对任意 ， ，则,即,因为上式对任意 都成立，由上一节所介绍的定理，

6、必有,21,二、等距算符,1.定义：,若算符U满足 ,则为等距算符。,2.性质定理：以下三命题是等价的,（1）,（2）对任意 和 ，U满足,（3） 对任意 都成立。,证依次证明前一条是后一条的充分条件,若 ，则,22,令 ，则,即,三、幺正算符,1.定义：,若算符U满足下列性质,即 ，则该算符为幺正算符。显然它是等距算符。,23,2. 性质定理,除满足等距算符的性质外，另有两个性质定理。,定理1 在矢量空间中，若 是一组基矢，则 也是一组基矢。,证只需证明 正交归一完备即可。, 正交归一满足。,又取任意两个矢量 ，因为, 完备性满足（Parseval等式）。,24,定理2 若 和 是同一空间的

7、两组基矢，则 两者必能由一个幺正算符联系起来。即存 在一个幺正算符U，使得,证两组基矢的数目必定是相同的。,定义一个算符A，使,任取二矢量 ，由于 都是完全的，满足Parseval等式。,故,25,同样，利用 可以得到,(因为总可以定义一个算符B，使得 ，这个B就是 ),得证。,即,所以联系两组基矢的算符A必然是幺正算符。,26,四、幺正变换,1.矢量的幺正变换,把一个矢量空间的全部矢量都用一个幺正算符作用，对其中每一个矢量 和 ，各得一个新矢量 和 。这一操作称为矢量的幺正变换。,性质：,由幺正算符的性质可知，幺正变换不改变矢量的模、内积及正交关系。因此一组基矢经过幺正变换后仍是这个空间的一

8、组基矢。从这一点上看，在物理上有时称矢量的幺正变换为矢量（在多维空间）的转动。,27,2.算符的幺正变换,设有一个确定的算符A，它对空间中每一个矢量 作用得到新矢量 ：,现在用幺正算符U对空间中全部矢量幺正变换,设联系 与 的算符为 ，即 ，则,为算符A的幺正变换。,下面求 与 的关系。,显然,28,而,对任意 有,故,就是算符与矢量的幺正变换。,上式与式,由此可以看出：一个包含矢量和算符的关系式，经过幺正变换后其形式不变。,因为,29,2.5 投影算符,一、定义,将 作用到右矢和左矢上：,显然得到的是新的右矢和左矢，故 实际上是一个算符。,但这类算符一般意义不大。有用的是由基右矢或基左矢构成

9、的算符，叫投影算符。,在空间中取一组基矢 ，其投影算符是,30,这是基右矢 乘以矢量 在 上的分量。,作用到右矢 上得,若沿用三维位形空间的术语，这就是右矢 在 上的投影。 称为投向 子空间的投影算符。,对算符 ,定义,将其作用到任意右矢 上得,31,作用结果是在 三个基右矢所张的子空间中的一个矢量。这是右矢 投向这个子空间的投影。故称 为三维投影算符。,二、性质,1.投影算符是线性算符和厄米算符,1）线性算符是显然的,2）厄米算符的证明（要求会证明）:,对任意 ，设 ，有,显然是实数。,利用算符厄米性充要条件,故 是厄米算符。,32,2.投影算符的幂等性，即,对 和 ，显然有,33,二、全投

10、影算符,若 中的取和是对所有基矢的，则称P 为全投影算符。,对任意矢量 ，有,这是一个非常有用的关系，称为基矢 的完全性关系。,根据完全性定理，上式中的取和正是 本身，由此我们得出,34,上式左方是一个向整个空间投影的投影算符，因而矢量投影后不会发生任何变化。,上式的关键是基矢一个不能少，否则不能构成完全性关系。,此关系很有用，在一些关系的证明中经常作为桥梁来使用。,35,3 本征矢量和本征值,3.1 定义,一、本征矢量和本征值,对于算符A，若有非零矢量 满足下式,式中a为常数。则 称为算符A的本征矢量，而a为相应的本征值。,上式称为本征值方程。,本征值一般是复数，但也可以为0.,算符A虽然可

11、以不加限制，但是量子力学中用到的主要是厄米算符的本征值问题。,36,二、厄米算符本征值问题的两个重要性质,1.在复空间中，厄米算符的本征值都是实数,已经知道 是实数,所以a必为实数。,2. 厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互 正交,证设,但,37,则,又,由此得,即,但,所以,即厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互正交。,38,若 是A的一个本征矢量，则 也是属于同一个本征值的本征矢量；,若 都是 A 的本征矢量且本征值相同，则它们的线性叠加 也是A 的属于同一本征值的本征矢量。,三、本征矢量问题简并性,厄米算符A属于本征值a的本征矢量有多少个？,这实际上是一个简并度的问题。,1.问题的提出

12、,39,所以算符A的属于同一个本征值 a 的本征矢量全体构成Hilbert空间中的一个子空间。这个子空间称为算符A的属于本征值a的本征子空间。,2.简并,本征子空间的维数 s 称为所属本征值的简并度。这个本征值或这组本征矢量称为是 s 重简并的。,当简并度为1时，通常称为无简并。,为了指出 s 维本征子空间，只需给出其中一组 s 个线性无关的本征矢量即可。,40,则A,B有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度。,3.相关的定理,定理：若A,B两算符相似，即对于有逆算符R，有,证设已知A的全部本征值和相应的本征矢量，,利用 ，用R从左作用上式两边，得,即,41,下面设A的一个本征值是s重

13、简并的，属于这个本征值的s个线性无关本征矢量记为 。由于R有逆， 也必为线性无关。,所以算符B的属于本征值 的本征矢量至少为s个，即简并度不会比A小。另外利用 用同样的方法证明B的简并度也不会比A大。证毕。,因为R有逆，所以 不为零,所以所有 也都是B的本征值。,42,用反证法：,如果 线性相关，则存在 ，从而有,比如由此可以得到,因为R有逆 ，上式两边用 作用后有,这与 线性无关相矛盾。命题得证。,43,3.2 本征矢量的完全性,一. 问题的提出,在一个确定的Hilbert空间中，一个厄米算符A的本征矢量的情况有两种：,1）不简并的本征矢量是彼此正交的；,2）s 重简并的本征值所对应的本征矢

14、量构成一个s维的本征子空间，并与那些本征值为其它值的本征矢量正交。,如在上述s维子空间中选出s个互相正交的本征矢作为代表，那么其线性叠加都是算符A的对应于同一本征值的本征矢量。,44,在进行归一化后,算符 A 的所有不简并和简并的本征矢量为代表就构成了一个正交归一矢量集。若取不简并的本征值的简并度为1,则这个正交归一矢量集里矢量总数是所有本征值简并度之和 。这个总数亦可能是无穷大。,问题：一个厄米算符A的本征矢量正交归一集在所 在空间中是否完全？,二、完全性和封闭性,一个确定的空间中，一组正交归一矢量集的完全性的含义是：,空间内所有矢量都能表为这个矢量集的线性叠加。,45,一组正交归一矢量集的

15、封闭性的含义是，这个空间中不存在其它与集内所有矢量都正交的矢量（否则此矢量集应再加一矢量）。,二者的等价性是明显的。对于一般的Hilbert空间，二者是等价的。,对有限维空间予以证明：,定理：在有限维空间中，厄米算符的全部本征矢量 构成正交完全集。,证：设空间是n维的，厄米算符为A。我们只需证 明在A的本征矢量中有n个线性无关的即可。,46,A的本征值方程为,这组基矢共有n个。,为求 ，在此空间中取一组已知的基矢,将矢量 按照这组基矢展开,其中 。知道了一组 就知道了一个 。,将 的展开式代入本征值方程，并用 与方程两边作内积，得,47,上式是关于未知数 线性齐次方程组，可以写成,式中 是复数

16、，对于给定的A，它们是已知的，而 是待求的。,会展开,(j=1)(j=2) ,式中a 是待定的本征值。这一方程有非零解的条件是系数行列式为0：,48,这是一关于a 的n次方程，称为久期方程，有n个根,当这些根互不相同时，对于每一个根 ，上述方程有一组非零解 ；,所求得的那些根 ，就是厄米算符A的本征值。,当每个 都不同时，可得线性方程组的n组解,从而得到相应的n个本征矢量 。,49,前面已经证明过，当本征值不同时，厄米算符的本征矢量互相正交。因此证明了A 的这组本征矢量肯定可构成此空间的一组正交完全集。,总之，在n维空间中，不论厄米算符A的本征值有无简并，总有n个线性无关的本征矢量存在，总可以

17、构成空间的一组正交完全集。,当系数行列式有等根时，如 是一个三重根，那么对于这个a 值，不仅系数行列式本身为0，它的n-1, n-2阶的全部子行列式也都为0；,对于这样的a，齐次方程也有3个线性无关的 。于是对于这个三重简并的本征值，空间中有3个线性无关的本征矢量存在，即有一个三维的本征子空间存在.,50,当A的本征值没有简并时, 这组 是完全确定的。而当有简并时，就有许多组这样的正交归一完全集存在，因为在本征子空间中，选取n个互相正交的矢量作为代表(不要求归一)，其选法是很多的。,三、基矢的选择,可用它们作为这个空间的一组基矢。,把一个厄米算符A的全部（彼此正交的）本征矢量编上一定的次序（通

18、常是按照本征值由小到大的次序）, 就可以构成这个空间的一组正交归一完全集 ，它们满足完全性关系,51,对于无穷维Hilbert空间，厄米算符具有离散本征值的情况，虽然没有经过数学上的一一证明，在物理上总是认为，厄米算符的全部线性无关的本征矢量可以构成此空间的完全集。进行正交化以后，完全性关系成立。写成通常的下标形式，有,在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去确定一组基矢，甚至用厄米算符的本征矢量去 “构造” 一个 Hilbert 空间，原因在此。,52,对于一个Hilbert空间，每一个厄米算符的全部线性无关的本征矢量都可以用来构成空间的基矢,即正交归一完全集（条件是厄米算符的定义域和值域都应是

19、全空间）。,3.3 厄米算符完备组,一、基矢的选择问题,但是当此厄米算符的本征值有简并时，对应于这一本征值的线性无关的本征矢量的数目与简并度相同，这时由本征矢量所确定的基矢不是唯一的。,在简并的本征子空间中有多种选择。下面的任务就是设法消除这一不确定性。,53,1.定理：,二、本征矢量完全性定理,当且仅当两个粒子的厄米算符互相对易时，它们有一组共同的本征矢量完全集。,证,设两个算符是A和B.,(1)必要性：完全集对易,设A和B有一组共同的本征矢量完全集 ，这时有,则,同样,因为 是完全的，所以有,54,(2)充分性：对易完全集,设AB-BA=0，且 是A的一套正交归一化的本征矢量完全集。我们将

20、用它来构造同是A、B的共同本征矢量完全集。,显然,即 也是A的属于本征值 的本征矢量。,下面分两种情况讨论。,1A的本征值无简并,这时 与 属于同一个一维本征子空间，它们只能差一个常数倍：,55,即 也同是B的本征矢量，常数 就是B的本征值。,如果所有A的本征值都没有简并，则 就是A和B的共同本征矢量完全集。,2A的本征值有简并,新的问题：在A的2D以上的本征子空间中随便取一个矢量未必就是B的本征矢量。,设A的本征值aj有m重简并（无简并的前面已经讨论），在|i 中属于这一本征值的本征矢量是 |j1, |j2, ， |jm（不见的相互正交,但可以化成正交的），它们是在m维子空间中互相正交m个矢

21、量的代表。,56,式中C是一组叠加系数。这种矢量应该具有m个（总维数要求）。,现在要在这个m维本征子空间中寻找一些也是B的本征矢量的矢量。设这种矢量是,用 同上式作内积，利用 得,上述矢量成为B 的本征矢量的条件是,这是一个 的线性齐次方程组，设其系数,57,这一方程组有解的条件是系数行列式为0，即,根据前面的讨论，b有m个根（其中可能有相同的）, 对每一个 ，有一组解 ，即一个矢量 。,于是我们求得了m个矢量 ,它们是A的本征矢量（本征值为 ），同时又是B的本征矢量（本征值为 ）。,58,如果对于每个A的简并本征值都经过这样重新选取，就可以得出一个 A和 B的共同本征矢量完全集。至此定理已经

22、证毕。,59,前面我们介绍了，对于对易算符A和B，如果算符A的本征值没有简并的话，A的本征态也是B的本征态；,如果算符A的本征值有简并的话，任选一个A的本征态未必就是B的本征态，必须进行适当的线性组合来寻找也是B算符的本征态；,在求解组合系数从而求B算符的本征值时，如果此B本征值无简并，则A与B的共同本征矢量就确定了；,如果此B本征值仍然有简并，则A与B的共同本征矢量仍然具有任意性，还需要找另一个对易算符C。,因而出现这样一个问题，对于一个给定的体系，需要至少寻找几个对易算符，才能确保共同本征矢量是唯一的？,60,三、厄米算符完备组,定义：对于一个Hilbert空间，一组相互对易的厄米算符A,

23、B,C, ，它们只有一组完全确定的共同本征矢量完全集，而去掉其中的任意一个，都会使剩下的那些算符的共同本征矢量完全集具有任意性，称它们为一组厄米算符完备组。,这一组本征矢量完全集构成这个Hilbert空间的一组基矢。这组基矢可以分别用它所属算符A,B,C,的本征值a,b,c,的数值来编号，或者用各自本征值的序号来编号。,其实，一个厄米算符的全部线性无关的本征矢量就已能构成空间的基矢。,厄米算符完备组所包含算符的最少个数？,物理空间的维数。,61,以后有时为了方便，我们用单一字母（如A）表示算符的完备组，用单一字母 表示它们的本征值的集合，用单一字母 I 表示各本征值序号的集合，而用 表示它们的共同本征矢量，简单地写成,共同本征矢量的完全性关系简写成,简并本征态的存在使得基矢的选择出现任意性！,为减少其中的任意性，最后消除任意性，以便得到一组完全确定的基矢。,为何还要增加算符？,增加更多算符的目的：,