弯曲正应力、切应力与强度条件ppt课件.ppt

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1、弯 曲,第 9 章,9-4 求惯性矩的平行移轴公式,9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究,9-3 弯曲正应力,9-6 梁的强度条件,9-5 弯曲切应力,9-8 弯曲应变能,9-10 超静定梁,9-7 挠度和转角,9-1 剪力和弯矩 剪力图和弯矩图,9-9 斜弯曲,93 梁截面上的正应力,当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩 M ， 又有剪力 FS 。,只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩,只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力,所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力,一，纯弯曲梁横截面上的正应力,P,P,a,a,C

2、,D,横力弯曲,梁的横截面上同时有弯矩和剪力的弯曲。,纯弯曲,梁的横截面上只有弯矩没有剪力的弯曲。,横截面上只有正应力而无切应力。,几何,取 一 纯弯曲 梁来研究 。,推导 纯弯曲 梁横截面上正应力的计算公式。,物理,静力学,实验：,1，几何方面,以及横向线相垂直的一系列的纵向线 （如 aa ，bb 等） 。,梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如 mm ，nn 等）,（1）变形前相互平行的纵向直线（aa ，bb 等），变形后均为 圆弧线（aa ，bb等 )，且靠上部的缩短靠下部的伸长。,梁变形后观察到的现象,m,m,n,n,a,a,b,b,m,m,n,n,a,a,b,b,（2）变形前垂

3、直于纵向直线的横向线（ mm , nn 等）变形后仍 为直线（ mm , nn 等） ，但相对转了一个角度，且与 弯曲后的纵向线垂直。,纯弯曲的变形特征,基本假设1: 平面假设,变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线。,基本假设2: 纵向纤维无挤压假设,纵向纤维间无正应力。,由平面假设可知，在梁弯曲时，这两个横截面将相对地旋转一个角度 d 。,用两个横截面从梁中假想地截取长为 dx 的一段 。,公式推导,dx,横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段 O1O2 无长度改变。此层称为 中性层 。,O1O2 的长度为 dx

4、。,dx,中性轴与横截面的 对称轴成正交 。,中性层与横截面的交线称为 中性轴 。,中性层与中性轴,dx,dx,将梁的轴线取为 x 轴 。,横截面的对称轴取为 y 轴 。,中性轴取为 z 轴 。,dx,y,作 O2B1 与 O1A 平行。,在横截面上取距中性轴为 y 处的纵向线 AB。, 为中性层上的纵向线段 O1O2 变弯后的曲率半径。,O2B1 的长度为 y 。,dx,B1,y,dx,AB1 为变形前 AB 的长度,B1B 为 AB1 的伸长量 AB1, 为 A 点的纵向线应变。,dx,B1,dx,y,中性层的曲率为,dx,B1,dx,y,dx,因而， 横截面上到中性轴等远的各点，其线应变

5、相等。,该式说明 ， 和 y 坐标成正比 ,dx,B1,dx,y,dx,x,y,Z,O,2，物理方面,纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态 。,材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等 。,由单轴应力状态下的 胡克定律 可得物理关系,假设：,上式为横截面上 正应力 变化规律的表达式。,上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离 y 成正比 ；,O,x,y,Z,在距中性轴为 y 的同一横线上各点处的 正应力 均相等 。,需要解决的问题,如何确定 中性轴的位置 ？,如何计算 ?,3，静力学方面,在横截面上法向内力元素 dA 构成了空间平行力系。,该空间平行力系简化为,x 轴方向

6、的主矢,对y 轴和 z 轴主矩,该梁段各横截面上 FN 和 My 均等于零， 而 Mz 就是横截面上的弯矩 M 。,y,y,中性轴,中性轴,中性轴将横截面分为 受拉 和 受压 两部分。,y,y,C,Z,C,Z,中性轴,中性轴,拉,拉,压,压,因为 y 轴是横截面的对称轴，所以 Iyz 一定为零。,该式自动满足,中性轴是横截面的形心主惯性轴,EIz 称为截面的抗弯刚度,该式为等直梁 纯弯曲 时横截面上任一点处正应力的计算公式,式中 ：,由于推导过程并未用到矩形截面条件，因而公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况。 公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁

7、也近似成立。 公式是从纯弯曲梁推得，是否适用于一般情形（横力弯曲）？,公式的适用性,横力弯曲时的正应力,横力弯曲时横截面上有切应力（翘曲）,平面假设不再成立,此外, 横力弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.,由弹性力学的理论，有结论：,当梁的长度l与横截面的高度h的比值:,则用纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应力有足够的精度。 l / h 5 的梁称为细长梁。,4，讨论,（1）应用公式时，一般将 M ，y 以绝对值代入。根据梁变形 的实际情况直接判断 的正，负号。,以中性轴为界,梁变形后凹入边的应力为压应力（ 为负号）,梁变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）,（2）横截面 中性轴上 各点的

8、正应力最小。且,min = 0,（3）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处, 中性轴为对称轴,压,拉,压,拉,用 ymax 表示最大 拉（压）应力点到中性轴的距离。,压,拉,WZ 称为抗弯截面模量。,中性轴是对称轴 的梁横截面上最大正应力的计算公式为,圆形截面的抗弯截面系数,矩形截面梁横截面上正应力分部图, 对于中性轴不是对称轴的横截面,tmax,Cmax,z,y,tmax,Cmax,应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 ytmax 和 yCmax 直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。,z,y,tmax,Cmax,例题：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。求横

9、截面最大拉应力 t，max ，和最大压应力 C，max ，已知 ，Iz = 290. 610-8 mm4,P1=8KN,P2=3KN,A,c,B,D,1m,1m,1m,解：支座反力为,画出弯矩图。,最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,B 截面,C 截面,t,max = 56.0MPa 发生在 C 截面的下边缘,可见，,C,max = 67. 1MPa 发生在 B 截面的下边缘,重点、难点,正应力公式：,中性轴是对称轴 的梁横截面上最大正应力的计算公式为,梁弯曲的正应力强度条件：,中性轴是横截面对称轴：,中性轴不是横截面对称轴：,作 业,9-8；9-9,回 顾,中性层的曲率公式：,纯弯曲

10、梁横截面上的正应力公式：,横力弯曲时的正应力：,x,y,dy,dz,a,b,d,z,dx,c,切应力互等定理：,单元体两个相互垂直平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必定成对出现，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线。,图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。,9-5 弯曲切应力,一、矩形截面梁,横力弯曲时, 横截面上既有正应力, 又有切应力。推导切应力公式的方法：假设切应力的分布规律，然后根据平衡条件求出,矩形截面梁的切应力分布假设：,切应力。按截面形状，分别讨论。,(1) 各点切应力方向平行于剪力FS;,(2) 切应力沿宽度均匀分布。,（1）推导公式的思路,两横截面上均有剪力和弯矩。,两

11、横截面上的弯矩不等 。所以两截面上到中性轴距离相等的点（用 y 表示）其正应力也不等。,正应力（）分布图,m,m,n,n,M,M+dM,FS,FS,m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,要求m-m面上距中性轴为y处的AA1线上任意点处的切应力。,假设,在横截面的横线 AA1 上有相等的切应力，且方向都与剪力方向平行。,x,z,y,B,m,n,A,B1,A1,dx,m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,因为微元段 dx 的长度很小，所以假设切应力 在AB1 面上均匀分布。,根椐切应力互等定理，AB1 面的 AA1线各点处有切应力且,m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,x

12、,z,y,B,m,n,A,B1,A1,dx,m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,切应力,x,z,y,B,m,n,A,B1,A1,dx,m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,由静力平衡方程，求出 dFS。,推导公式的步骤,1,2,3,4,dFS 除以 AB1 面的面积得纵截面上的切应力 。,由此得到横截面上距中性轴为任意 y 的点上的切应力 。,x,z,y,B,m,n,B1,A1,A,dx,b,（2）公式推导,x,z,B,m,n,A,B1,A1,假设 mm , nn上的弯矩为 M 和 M+dM 。,两截面上距中性轴 y1 处的正应力为 1 和 2 。,x,z,用 A* 记作 m

13、A1 的面积,Sz* 是面积 A* 对中性轴 z 的静矩。,x,z,同理,x,z,B,m,n,A,B1,A1,x,z,dx,b,x,z,B,m,n,A,B1,A1,dx,b,上式为 矩形截面梁 对称弯曲时横截面上任一点处的切应力计算公式。,Iz 横截面对中性轴的惯性矩,b 矩型截面的宽度, 其方向与剪力 FS 的方向一致,FS 横截面上的剪力,y,Sz* 过求切应力的点做与中性轴平行的直线，该线任一边的横截面面积A* 对中性轴的静矩。,3，切应力沿截面高度的变化规律, 沿截面高度的变化由静矩 Sz* 与 y 之间的关系确定。,n,B,m,A,x,y,z,O,A*,n,B,m,A,x,y,z,O

14、,y,b,可见 ，切应力沿 截面高度按抛物线规律变化。,式中 ， A = b h , 为矩形截面的面积 。,max,矩形截面剪应力沿截面高度的变化如图所示。,截面静矩的计算方法,A,A 为截面面积,yC 为截面的形心坐标,例题: 矩形截面外伸梁如图所示.试求: (1) 横截面 1-1 上点 1 处的应力 ; (2) 横截面 2-2 上点 2 , 3 , 4 处的应力; (3) 以单元体分别示出各该点处的应力状态 ( 应力 ) 情况 .,解：(1) 点 1 处的应力,1-1截面的内力,解：(1) 点 2，3，4 处的应力,2-2 截面的内力,二，工字形截面,腹板,1，腹板上的切应力,下翼缘,上翼

15、缘,A* 过欲求应力点的水平线，到截面边缘的距离。,FS 横截面上的剪力。,Iz 横截面对中性轴的惯性矩,b1 截面的宽度,Sz 面积 A* 对中性轴的静矩,腹板,下翼缘,上翼缘,切应力沿腹板高度按抛物线规律分布。最大的切应力 max仍发生在截面的中性轴上。,max,腹板,下翼缘,上翼缘,2，翼缘上的切应力,翼缘上的切应力有竖向切应力分量 和水平切应力分量 。,本书只介绍 水平切应力 的计算方法及其方向的判定。,腹板,下翼缘,上翼缘,翼缘上的 水平切应力 可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，其计算公式为：,FS 截面上的剪力,Iz 截面对中性轴的惯性矩,Sz 欲求应力点到翼缘边缘间的面积 A* 对中

16、性轴的静矩, 0 翼缘的厚度,Sz与 z 成线性关系，所以 max沿水平方向成直规律分布。,0,z,0,b1,3，切应力流,翼缘上的水平切应力方向与腹板上的竖向切应力方向之间存在着一定的规律，该规律就是组成“切应力流”。,既截面上切应力方向就象水管中主干管与支管中的水流的方向一样。,0,z,0,b1,对所有开口薄壁截面，其横截面的切应力方向均符合“切应力流” 的规律。,二，其它形状截面,1，T字型截面,下面的狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分的切应力公式仍为,最大切应力仍发生在中性轴上。,2，圆形及环形截面,圆形及薄壁环形其最大 竖向切应力也都仍发生在中性轴上。并沿中性轴均匀分布。,圆形截

17、面,薄壁环形截面,圆形截面,薄壁环形截面,A2 薄壁环形截面的面积。,FS 截面上的剪力；,A1 圆形截面的面积；,例题：图示 T 形截面梁： 求 FS,max 所在横截面上腹板内切应力的最大值 max ； 绘出该横截面腹板内切应力的变化图。,P1=8KN,P2=3KN,A,c,B,D,1m,1m,1m,Iz = 290. 610-8 mm4,解：（1）画剪力图，计算最大切应力,（2）画腹板内切应力的变化图,求腹板上与翼缘交界处的切应力,9-6 梁的强度条件,等直梁 横力弯曲 时，某一横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的位置。,一，梁的正应力强度条件,梁上最大的正应力发生在弯矩最大的截面上

18、距中性轴最远的位置,梁的正应力强度条件为：,梁的横截面上最大工作正应力 max 不得超过材料的许用弯曲正应力 即,1，对于中性轴为对称轴的截面,Wz 称为抗弯截面系数,正应力强度条件为,2，对于中性轴不是对称轴的截面,比如铸铁等 脆性材料 制成的梁，由于材料的,（两者有时并不发生在同一横截面上）,且梁横截面的 中性轴 一般也不是对称轴，所以梁的,要求梁上 最大的拉应力 和 最大的压应力 分别不超过材料的 许用拉应力 和 许用压应力 。,正应力强度条件为,（1）可对梁按正应力进行强度校核,3，正应力强度条件解决三方面问题,（中性轴是对称轴）,（中性轴不是对称轴）,（2）选择梁的截面,（3）确定梁

19、的许可荷载,二、 梁的切应力强度条件,梁上最大切应力 max一定发生在最大剪力 FSmax 的横截面上，且一般说是位于该截面的中性轴上 。,全梁各横截面中最大切应力可统一表达为,b 横截面在中性轴处的宽度,Fsmax 全梁的最大剪力,Iz 整个横截面对中性轴的惯性矩, 中性轴一侧的半个横截面面积对中性轴的静矩,对于横力弯曲下的等直梁 ，其横截面上一般既有弯矩又有剪力。梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远的各点处 。而梁上最大的切应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处 。,梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处，这些点的正应力 = 0,梁的切应力强度条件为,式中

20、 ： 为材料在横力弯曲时的许用剪应力。,为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩,在选择梁的截面时，通常先 按正应力选出截面 ，再按切应力进行强度校核。,例题：一简支梁受四个集中荷载 P1=120KN，P2 =30KN，P3 =40KN，P4=12KN。此梁由两根槽钢组成 ，已知梁的许用应力 =170MPa，=100MPa 。 试选择槽钢型号。,RA,RB,解：支座反力为,RA = 138KN RB = 64KN,画内力图,FS,max = 138KN,Mmax = 62.4KN.m,（1）由正应力强度条件选择槽钢型号,根据正应力强度条件公式 ，此梁所需要的抗弯截面系数为,每一槽钢所需要的

21、抗弯截面系数为,从型钢表中选用 20 号槽钢，其抗弯截面系数为,能满足上列强度要求,（2） 校核最大切应力,由型钢表查得 20 号槽钢的 Iz = 19100 cm4。,由此可见，所选的 20 号槽钢满足正应力强度条件，也满足切应力强度条件，因而可用。,由于梁是由两根槽钢组成 ， 故每一根槽钢分担的最大剪力为,例题：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许用应力为 t = 30MPa ,抗压许用应力为C =160MPa 。已知截面对形心轴Z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度。,P1=9KN,P2=4KN,A,c,B,D,1m,1m,1m,解：支座反

22、力为,画出弯矩图。,最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,B 截面,C 截面,例题：一外伸工字型钢梁，工字钢的型号为 22a，已知： l = 6m， F= 30KN，q = 6KN/m，材料的许用应力 = 170 MPa， = 100 MPa，检查此梁是否安全。,l/3,A,B,C,D,F,l/2,l/2,q,RD = 13 KN,解：,画剪力图和弯矩图,Mmax = 39KN.m,Fsmax = 17KN,RB = 29KN,l/3,A,B,C,D,F,l/2,l/2,q,由型钢表中查得,Wz = 0.30910-3 m3,Iz / Szmax = 0.189 m,b=d= 0.007

23、5 m,此梁安全。,提高弯曲强度的措施,弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。弯曲正应力强度为：,1 减小最大弯矩,从上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩Mmax和提高抗弯截面系数W。,(1) 合理布置支座的位置,1 减小最大弯矩,(1) 合理布置支座的位置,(2) 合理布置载荷,工程例子,(2) 合理布置载荷,2 提高抗弯截面系数,在截面积A相同的条件下，提高抗弯截面系数。,矩形截面梁的放置,几种常用截面的比较,用比值,来衡量,几种常用截面的比较,用比值,来衡量,可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、工字形等)比较经济合理。,可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、工字形等)比较

24、经济合理。,根据材料特性选择合理截面,根据材料特性选择合理截面,抗拉和抗压强度相等的材料,可采用关于中性轴上下对称的截面，如：矩形、工字形、圆形等。,抗拉和抗压强度不相等的材料,可采用中性轴偏于受拉一侧的截面，如：,2，对于脆性材料制成的梁，宜采用 T 字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧。,要使 接近下列关系 ：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力,z,3 等强度梁的概念,对如图的简支梁:,等强度梁,这就是等强度梁的抗弯截面系数应满足的关系。,只有中点处的截面上达到最大正应力。,鱼腹梁,重点、难点,矩形截面梁 对称弯曲时横截面上任一点处的切应力公式。,梁的切应力强度条件为,作 业,9-11（1、2、5）,9-12, 9-13,