数学分析ppt课件一般项级数.ppt
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1、3 一般项级数,三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法,返回,由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多, 所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论.,一、交错级数,二、绝对收敛级数及其性质,一、交错级数,若级数的各项符号正负相间, 即,则称为交错级数.,定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足:,则级数(1)收敛.,证 考察交错级数(1)的部分和数列Sn,它的奇数项,和偶数项分别为,由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的,从而 S2m, S2m-1 是一个区间套.由区间套定理,存,推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛,级数(1)
2、的余项估计式为,对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验,它们都是收敛的:,在惟一的实数 S, 使得,收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数.,各项绝对值组成的级数,定理12.12 绝对收敛的级数是收敛的.,证 由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对,二、绝对收敛级数及其性质,若级数,由于,因此由柯西准则知级数(5)也收敛.,对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种,判别法对级数(6)进行考察.,整数 r, 有,的各项绝对值所组成的级数是,例1 级数,例如级数(2)是条件收敛,而级数(3)、(4)则是绝对收,敛.,全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级,数两大类
3、.,下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质.,1.级数的重排,我们把正整数列1,2,n, 到它自身的一一映射,若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5)为条,件收敛.,作,定理12.13 设级数(5)绝对收敛, 且其和等于S, 则任,意重排后所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S.,称为正整数列的重排, 相应地对于数列,第一步 设级数(5)是正项级数, 用Sn表示它的第 n 个,部分和. 用,表示级数(7)的第m个部分和. 因为级数(7)为级数(5),*证 只要对正项级数证明了定理的结论, 对绝对收,敛级数就容易证明定理是成立的.,即级数(7)收敛, 且其和,由于级数(5)也可看作级数(7
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