四随机变量的数字特征ppt课件.ppt

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1、第四章 随机变量的数字特征,第一节 数学期望,第二节 方差,第三节 协方差与相关系数,第四节 矩、协方差矩阵,第一节 数学期望,上一页,下一页,返回,X-打靶得分，“脱靶”记0分，“中靶未中,靶心”记1分，“中靶心”记2分,X-打靶得分，“脱靶”记0分，“中靶未中,若统计100天,可以得到这100天中每天的平均废品数为,引例： 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;,这个数能否作为X的平均值呢？,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一

2、件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为,一般来说,若统计n天, (假定小张每天至多出三件废品),这是以频率为权的加权平均,由频率和概率的关系,不难想到，在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为,这是以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X的平均值 .,则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的.,由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下:,对于

3、一个随机变量X，若它可能取的值是x1,x2, , 相应的概率为 p1,p2, ,但是，如果试验次数很大，出现xk的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近,为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即,E(X)是一个实数，形式上是X 的可能值的加权平均数，实质上它体现了X 取值的真正平均。又称E(X)为X 的平均值，简称均值。它完全由X 的分布所决定，又称为分布的均值.,上一页,下一页,返回,例1: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件

4、产品可期望获利多少？,解: 设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布率为,X 的数学期望:,上一页,下一页,返回,例2: 设随机变量X 取值为,试问随机变量X的数学期望是否存在?,解:,例3：设的概率密度为：,解:,例3： 设X服从参数为p的（0-1）分布，求E(X)。,解： X的分布律为,0p1,q=1-p,常用随机变量的数学期望：,上一页,下一页,返回,例4： 设Xb(n，p)，求E(X)。,解 ： X的分布律为,则：,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,例6： 设XU(a，b)，求E(X)。,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,定理1: 设Y是随机变量X的函数，即Y=

5、g(X),g(x)是 连续函数。,随机变量函数的数学期望：,上一页,下一页,返回,推广： 设Z是随机向量（X,Y）的函数，即Z=g(X,Y) （g(x,y)是连续函数）,上一页,下一页,返回,有：,例8： 设圆的直径XU(a,b)，求圆的面积的期望。,上一页,下一页,返回,例: (P89),A,定理2： 设随机变量X,Y的数学期望E(X),E(Y)存在.,随机变量数学期望的性质：,上一页,下一页,返回,例9：将n封不同的信的n张信笺与n个信封进行随机匹配，记X表示匹配成对数，求E（X）。,上一页,下一页,返回,例: (P91),第二节 方差,引例：X-甲厂灯泡的寿命,Y-乙厂灯泡的寿命,问:哪

6、个厂的灯泡质量好?,显然，甲厂灯泡取值集中，而乙厂灯泡取值分散，所以甲厂灯泡应该更好一些,我们需要引进一个量来描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值与E(X)的偏离程度,偏离的度量：,平均偏离：,绝对值（不好研究）,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,方差的性质,设随机变量X与Y的方差存在，则,上一页,下一页,返回,例: (P96),几种重要随机变量的数学期望与方差,上一页,下一页,返回,设：X =“n 次试验中事件A发生的次数”,显然,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,因而正态分布完全可由它的均值和方差确定。,上一页,下一页,返

7、回,例: (P98),第三节 协方差与相关系数,上一页,下一页,返回,若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为 PX=xi，Y=yj=pij， i, j=1,2,若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,略,证明（1）,（2）,因为X,Y 相互独立，有,上一页,下一页,返回,X,Y不相关(弱),X,Y相互独立(强),(没有线性关系）,(没有任何关系）,称,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,第四节 矩、协方差矩阵,上一页,下一页,返回,协方差矩阵具有以下性质：（1）协方差矩阵为对称矩阵;（2）协方差矩阵为非负定矩阵。,协方差Cov(X,Y)是X和Y的1+1阶混合中心矩,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,