常微分方程2.4 变量替换法ppt课件.ppt

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1、1,前面我们介绍了线性方程、变量可分离方程和全微分方程的求解问题，同时还介绍了一些可通过适当变换化为这三类方程的方法。,2.4 变量替换法,事实上，还有许多方程可以通过变量变换方法化为已知类型来求解。,2,就将方程变换为线性方程:,下面介绍几种常见类型的变量替换法。,通过引进新的变量,例如： 对微分方程,3,引进变量,，则,原方程可化为,这是一个变量可分离的方程。,二、 形如,方程,4,例 2.4.3 求方程,对上式分离变量得：,代入方程整理得,积分得,代入原变量得到通解为：,5,利用变量替换法求解微分方程十分灵活，一般依赖于方程的形式和求导的经验。,三、其它变换法,例 2.4.5 求方程,解

2、：,做变换,变量可分离方程,故原方程的通解为,6,解：该方程求解的困难在于右端的根号，,因为,代入（2.4.3）,我们希望去根号，因此，做变换,这是一个齐次方程,求解得,例 2.4.6 求方程,7,故我们做变换,例 2.4.7 求方程,解：根据经验，仔细观察该方程的特征：,代人原方程得：,因此得到原方程的解：,8,例 2.4.8 求解方程,解：仔细观察该方程的特征：,对方程做恒等变形得，,求解线性方程得：,9,解,分离变量法：,通解：,求解微分方程,练习,10,解,方程变为,分离变量法,通解：,另解,练习,11,解,原方程变为,齐次方程,练习,12,四、Riccati方程,一般情况下，Ricc

3、ati方程无法用初等积分法求出其解，只是对一些特殊情况，或事先知道了他的一个特解，才可以求出他的通解。,13,Riccati方程一些可求解的特殊类型：,是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。,14,4、当Riccati方程的形式为:,时，可利用变量替换,15,这是一个Bernoulli方程。,5、当Riccati方程有一个特解,可利用变量替换,代入原方程得,16,定理2.3 设Riccati方程为：,时，方程可通过适当变换化为变量可分离的方程。,6、对一些特殊类型的Riccati方程，介绍一个用变量替换法化为变量可分离方程的定理。,17,代入原方程得,证. 不妨设,否则可通过变量代换,化为,因此，代替原方程，我们考虑,变量可分离的方程,做变量变化,变量可分离的方程。,18,代入原方程得：,进一步可把方程变为：,19,P.71 1（2，4，6） 3（1，4）,作 业,P.50 1（17，18）,