线性代数方程组的高斯消元法ppt课件.ppt

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1、,其中,未知量,第i个方程第j个未知量xj的系数,常数项,全为0,齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组,上述线性方程组表示成矩阵形式为,系数矩阵,未知量列向量,常数项列向量,问题：,(1) 方程组是否有解?,(2) 如果有解,它有多少解? 如何求出 它的所有解?,为增广矩阵,高斯消元法就是对方程组作初等变换,将其 化成同解的阶梯形方程组.也就是对方程组的增 广矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵,再化为 最简形,然后写出对应的解.,例1,解线性方程组,解,初等行变换,例2,解线性方程组,解,初等行变换,可以看出,每给定x2一个值,唯一的求出x1 , x3的一组值,而 x2可取任意实数,所以方程组

2、有无数解.,方程组的所有解可表示为:,例3,解线性方程组,解,初等行变换,以 为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为,0 = 1,这是一个矛盾方程,因此原方程组无解.,综上所述, 线性方程组的解有三种可能的情况:唯一解, 无解, 无穷多解.,一般地，给出线性方程组 Ax = b，用初等行变换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵.,其中,与之对应的阶梯,形方程组为,（3-21）,方程组（3-21）和原方程组 Ax = b 同解.,对于方程组（3-21）的解分几种情况进行讨论.,第一种：,若dr+1=0且r = n时，去掉“0=0”形式的,多余方程，方程组（3-21）具有形式,（3-22）,由可莱姆法则，方

3、程组（3-22）有唯一解. 即原方程组Ax = b有唯一解.,欲求此唯一解，可继续用初等行变换把阶梯 形方程组（3-22）的增广矩阵化为行最简形矩阵.,则Ax = b 的唯一解为,第二种情况:若dr+1= 0, 且r n 时, 由(3-20),对应的阶梯形方程组为,(3-23),把方程组(2-23)的增广矩阵进一步化为行最简形矩阵之后,可以得到,(3-24),其中,是自由未知量,共有(n-r)个,当这(n-r)个自由未知量取不同的值时,就得到方程组Ax = b 不同的解.若令,其中,为任意实数, 则方程组,Ax = b 有无穷多解.并称(3-24)为原方程组的通解.,此种情况,对于方程组(3-

4、22)显然有,n,于是我们得出结论:,n ,若,方程组Ax=b有无穷多解.,第三种情况:,若dr+10, 方程组(3-21)中出现矛,盾方程 0 = dr+1, 此时方程组(3-21)无解.,对于方程组(3-21), 这时有,所以, 有结论:,若,方程组Ax = b无解,反之亦然.,总上,可得如下定理,定理,(线性方程组有解的判定定理),线性方程组Ax = b有解的充要条件是,当,n,时,方程组,有无穷多解;当,n时,方程组有唯,一解;当,无解.,推论1,齐次线性方程组 Ax = 0 一定有零解;,如果R(A) = n ,则只有零解;它有非零解的充分必要条件是R(A) n .,推论2,若齐次线

5、性方程组Ax = 0中方程的个,数小于未知量的个数,即mn , 则它必有非零解;,若m = n ,则它有非零解的充要条件是 |A| = 0 .,例4,解齐次线性方程组,解,对系数矩阵施行初等行变换化为最简形:,由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为,由此可得,x3 , x4 为自由未知量,可取任意实数.,令x3=c1 , x4=c2 , 写成向量形式为,例5,解齐次线性方程组,解,R(A) = 2 , R(B) = 3 ,故方程组无解.,例6,设有线性方程组,问取何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;,(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.,解,(1)当0且3时,R(A)=R(B)=

6、3,有唯一解.,(2)当= 0时,R(A)=1, R(B)=2,方程组无解.,(3)当= -3时,R(A)=R(B)=23,有无穷多解.,当= -3时,由此可得通解,(x3为自由未知量),注,+ 1 , + 3 等因子可以等于0 , 故不宜做诸如,这样的,变换.,如果作了这种变换,则需对+ 1= 0(或,+ 3 = 0)的情形另作讨论.,令 x3= c(c为任意实数),得通解的向量形式为,小结,高斯消元法,对线性方程组,的增广矩阵,作初等行变换，化为阶梯,形矩阵，然后判断：,（1）若,方程组,有唯一解，继续把阶梯形矩阵化为 最简形求出其解；,（2）若,n,方程组,有无穷多解，把阶梯形化为 最简形，(有n-r 个自由未知量）求出其通解；,1、非齐次线性方程组,（3）若,方程组无解.,2、齐次线性方程组,（1）一定有零解；若R(A)= n , 只有零解;,（2）有非零解的充要条件是 R (A) n ;,（3）方程的个数小于未知量的个数，必 有非零解；若方程个数等于未知量的个 数，它有非零解的充要条件是|A|=0 .,思考题,已知四元齐次方程组 及另一,四元齐次方程组,的通解为,思考题解答,解,