工程力学第9章(扭转)ppt课件.ppt

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1、工程力学,Engineering Mechanics,中南大学土木建筑学院力学系,Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University,第九章 扭转,9-1 引言,两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动。,杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的力偶作用。,扭转变形特点,扭转受力特点,相对扭转角,9-2 外力偶矩与扭矩,一、功率、转速与外力偶矩之间的关系,1.外力偶矩与功率、角速度关系,2.外力偶矩与功率、转速关系,二、扭矩与扭矩图,扭矩正负规定

2、,由右手螺旋法则确定，扭矩矢量与截面外法线一致者为正；反之为负。,1. 扭矩T,例：图示传动轴，主动轮B 输入的功率PB=10kW，若不计轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为PA=4kW，PC=6kW，轴的转速n = 500r/min，试作轴的扭矩图。,2.扭矩图,表示扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小。,解： 计算外力偶矩, 计算轴各段的扭矩,解得：, 绘制扭矩图,解得：,2-2：,1-1：,9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律,一、薄壁圆管的扭转应力,1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应力。

3、2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截面上有切应力,试验现象：,微元体无轴向、横向正应变，但存在垂直于半径方向的切应变 ，且圆周上所有各点的切应变相同。所以圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径方向上有相同的切应力。,由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布,壁厚,平均半径,二、纯剪切与切应力互等定理,2. 纯剪切,微元体的四个侧面上只存在切应力而无正应力。,1. 切应力互等定理,在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。,三、剪切胡克定律,当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变

4、成正比。,材料的三个弹性常数（弹性模量、切变模量、泊松比）之间的数值关系：,剪切比例极限,G 为切变模量,9-4 圆轴扭转时横截面上的应力,一、扭转切应力的一般公式,1.变形几何关系,1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应力。 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截面上有切应力,试验现象,变形规律,平面假设,圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍为平面，且其形状、大小不变，半径仍为直线，两相邻截面间的距离不变。（圆轴扭转时各横截面像刚性平面一样绕轴线转动。）,距轴线为 处的切应变与 成正比,2

5、.物理关系,未知，与内力、材料、截面有关。,时：,切应力分布规律图,实心圆轴,空心圆轴,与 成正比,3.静力关系,令,抗扭刚度：截面抵抗扭转变形的能力,极惯性矩,扭转切应力的一般公式,二、最大扭转切应力,抗扭截面系数,同一截面上最大切应力发生在周边各点处。,仅适用于线弹性范围内的等直圆轴,9-5 极惯性矩与抗扭截面系数的计算,一、实心圆截面,二、空心圆截面,三、薄壁圆截面,极惯性矩与面积对于点的分布有什么关系？,相同面积的实心圆与空心圆哪个对于圆心的极惯性矩大？,一、扭转失效与扭转极限应力,1. 塑性材料的扭转失效,横截面上的最大切应力即扭转屈服应力为扭转极限应力。,断口材料呈片状，剪切破坏,

6、断口横截面，最大切应力引起剪切破坏,低碳钢抗剪能力比抗拉能力差,9-6 圆轴扭转破坏与强度条件,2. 脆性材料的扭转失效,横截面上的最大切应力即扭转强度极限为扭转极限应力。,断口45o的螺旋面，最大拉应力引起的脆性断裂,断口材料呈颗粒状，脆性断裂破坏,铸铁抗拉能力比抗剪能力差,许用扭转切应力,二、圆轴的扭转强度条件,三、圆轴合理截面与减缓应力集中,1.设计轴截面宜将材料远离圆心，平均半径越大，壁厚越小，切应力分布越均匀，材料的利用率越高。,2.设计时尽量减少截面尺寸的急剧改变，以减缓应力集中。,对于等直圆轴：,根据扭转强度条件可进行三类强度问题计算：,强度校核截面设计许可载荷确定,例：图示阶梯

7、形空心圆截面轴，在横截面A、B、C处承受扭力偶作用，已知MA=150Nm，MB=50Nm，MC=100Nm，许用切应力 = 90MPa。试校核轴的强度。,解： AB与BC段的扭矩分别为,所以轴满足强度条件。,AB与BC段进行强度校核,例：某传动轴，轴内的最大扭矩T = 1.5kNm ，若许用切应力 = 90MPa。试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。实心圆截面。实心圆截面，其内外径的比值d /D = 0.9。,解： 计算实心轴直径, 计算空心轴外径,空心轴内径, 确定空心轴与实心轴的重量比,空心轴比实心轴省材。,9-7 圆轴扭转变形与刚度条件,一、圆轴扭转变形,1.相距dx的两截

8、面间的相对扭转角,2.相距 l 两截面的相对扭转角,3.扭矩、切变模量为常数的等直圆轴相距l 的两截面的相对扭转角,阶梯轴：,二、圆轴扭转刚度条件,单位扭转角（为相距单位长度1的两截面的相对扭转角）,许可单位扭转角,（rad/m）,根据扭转刚度条件可进行三类刚度问题计算：,刚度校核截面设计许可载荷确定,例：图示圆截面轴AC ，承受扭力偶矩MA、MB、MC作用。已知MA = 180Nm，MB = 320Nm，MC = 140Nm ，IP = 3.0105mm4，l = 2m，G = 80GPa， = 0.5o/m。试计算该轴的总扭转角AC ，并校核轴的刚度。,解： 计算轴的总扭转角, 校核轴的刚

9、度,所以轴的刚度满足要求。,例：两端固定的等截面圆杆AB，在截面C 受一扭转力偶矩M作用。已知杆的抗扭刚度为GIP，试求两端的约束力偶矩。,解：以圆杆AB为研究对象，建立平衡方程,由变形几何关系得变形协调方程,由扭转胡克定律可得,由解得：,例：传动轴转速n = 300r/min，主动轮A输入的功率PA = 36.7kW。从动轮B、C、D输出功率分别为PB=14.7kW，PC = PD = 11kW。轴的材料为5号钢，G = 80GPa， = 40MPa ， = 2o/m 。试选择BD的直径。,解： 计算外力偶矩, 计算BD的直径,按强度条件设计轴的直径, 作扭矩图确定最大扭矩,按刚度条件设计轴的直径,所以BD的直径,按强度条件设计轴的直径,9-6 圆轴扭转破坏与强度条件,一、扭转失效与扭转极限应力,1.塑性材料的扭转失效,2.脆性材料的扭转失效,横截面上的最大切应力即扭转屈服应力为扭转极限应力。,横截面上的最大切应力即扭转强度极限为扭转极限应力。,许用扭转切应力,