韩伯棠管理运筹学(第三版) 第八章 整数规划ppt课件.ppt

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1、1,第八章 整 数 规 划,运 筹 学,2,第六章 整数规划,1 整数规划的图解法 2 整数规划的计算机求解 3 整数规划的应用 *4 整数规划的分枝定界法,3,整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划，可分成线性和非线性两类。整数线性规划(Integer Linear Programming，简记为ILP)问题研究的是要求变量取整数值时，在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题，是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。 应用实例： 项目投资问题 工作分配问题 选址问题 背包问题,第六章 整数规划,4,根据变量的取值情况，整数线性规划又可以分为纯整数规划（所有变量取整数），混合整数规划（部分变量

2、取整数），0-1整数规划（变量只取0或1）等。求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法或去尾法对线性规划的非整数解加以处理就能解决的。整数线性规划一些基本算法的设计是以相应线性规划的最优解为出发点而发展出来的。整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前有成熟的方法解线性整数规划问题，而非线性整数规划问题，还没有好的办法。,第六章 整数规划,5,1 整数规划的图解法,例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表所示。甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大。,6,解：设x1 、 x2分别为甲、乙两种货物托运的件数，建立模

3、型。 目标函数： Max z = 2x1 +3x2 约束条件：s.t. 195 x1 + 273 x2 1365 4 x1 + 40 x2 140 x1 4 x1，x2 0, 为整数。如果去掉最后一个约束，就是一个线性规划问题.,1 整数规划的图解法,7,利用图解法，得到线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。 由图表可看出, 整数规划的最优解为x1=4, x2=2,目标函数值为14。,Max z = 2x1 +3x2,195x1+273x2=1365,4 x1+40 x2 =140,4,2,3,1,1,2,3,x2,x1,1 整数规划的图解法,8,对于整数

4、规划，易知有以下性质：性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目标函数值小于或等于相应的线性规划的最大目标函数值；任何求最小目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最小目标函数值大于或等于相应的线性规划的最小目标函数值。,1 整数规划的图解法,9,2 分支定界法以及计算机求解,分枝定界法步骤： 求解与IP相应的LP问题，可能会出现下面几种情况：若所得的最优解的各变量恰好取整数，则这个解也是原整数规划的最优解，计算结束。若无可行解，则原整数规划问题也无可行解，计算结束。若有最优解，但其各分量不全是整数，则这个解不是原整数规划的最优解，转下一步。,分枝定界法步骤（续）：从不满足整

5、数条件的基变量中任选 一个xl进行分枝，它必须满足xl xl 或xl xl +1中的一个，把这两个约束条件加进原问题中，形成两个互不相容的子问题（分枝）。定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作为上（下）界，用它来判断分枝是保留还是剪枝。剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉，直到每个分枝都查清为止。,例：分支定界法的求解思路图,线性规划1Z1=14.66X1=2.44X2=3.26,z=13, =14.66,线性规划2Z2=13.90X1=2X2=3.30,X12,X13,X22,X23,z=13, =14.58,z=14, =14,线性规划4Z4=14.00

6、X1=4X2=2,线性规划5无可行解,线性规划3Z3=14.58X1=3X2=2.86,12,例2： Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 4 4x2 -3x3 2 x1 -3x2 + 2x3 3 x1, x2, x3 0 , 为整数,例3： Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 4 4x2 -3x3 2 x1 - 3x2 + 2x3 3 x3 1 x1, x2, x3 0 x1，x3 为整数，x3 为0-1变量,用管理运筹学软件求解得： x1 = 5 x2 = 2 x3 = 2,用管理运筹学软件求

7、解得: z = 16.25x1 = 4 x2 = 1.25 x3 = 1,2 整数规划的计算机求解,13,3 整数规划的应用,一、投资场所的选择 例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j=1,2,3,10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定: 在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。 Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见表

8、所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?,解：设：0-1变量 xi = 1 (Ai 点被选用)或 0 (Ai 点没被选用)。 这样我们可建立如下的数学模型：Max z=36x1+40 x2+50 x3+22x4+20 x5+30 x6+25x7+48x8+58x9+61x10s.t. 100 x1+120 x2+150 x3+80 x4+70 x5+90 x6+80 x7+140 x8+160 x9+180 x10 720 x1 + x2 + x3 2 x4 + x5 1 x6 + x7 1 x8 + x9 + x10 2 xj 0 且xj

9、为0-1变量，i = 1, 2, 3, ,10,例5、解决某市消防站的布点问题，该城市有6个区，每个区都可以建消防站。市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市的任何地区发生火警时，消防车要在15分钟内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时间如下表所示，请帮助该市制定一个最省的计划。,1 2 3 4 5 61 0 10 16 28 27 202 10 0 24 32 17 103 16 24 0 12 27 214 28 32 12 0 15 255 27 17 27 15 0 146 20 10 21 25 14 0,设 xi =1,0; 1i 区建消防站，0i 区不建消防站，i=1

10、,6min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6s.t. x1 + x2 1, x3 + x4 1, x3 + x4 + x5 1 x4 + x5 + x6 1, x2 + x6 1 xi = 0, 1; i=1,6,1 2 3 4 5 61 0 10 16 28 27 202 10 0 24 32 17 103 16 24 0 12 27 214 28 32 12 0 15 255 27 17 27 15 0 146 20 10 21 25 14 0,17,18,练习、背包问题,背包可装入8单位重量，10单位体积物品。若背包中每件物品至多只能装一个，怎样才能使背包装

11、的物品价值最高。,解：xi为是否带第 i 种物品,Max Z=20 x1 + 30 x2 +10 x3+18x4 +15x5,一般形式：, 整数,xi为i 物品携带数量ai为i 物品单位重量ci为i 物品重要性估价b为最大负重,22,3 整数规划的应用,二、固定成本问题 例6高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：

12、小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大。,23,解：这是一个整数规划的问题。 设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi 0 时) 或0（当不生产第 i种容器即 xi = 0 时）。 引入约束 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。,3 整数规划的应用,24,这样我们可建立如下的数学模型：Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3

13、- 100y1 - 150y2 - 200y3s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 500 2x1 + 3x2 + 4x3 300 x1 + 2x2 + 3x3 100 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj 0 yj 为0-1变量，i = 1,2,3,3 整数规划的应用,25,三、指派问题 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些任务，但由于每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须指派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给n个人，使得完成 n 项任务的总的效率最高，这就是指派问题。,3 整数规划的应用,26,例7有四个工人，要分别指派他们完成

14、四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少。,3 整数规划的应用,27,解：引入01变量 xij，并令 xij =1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0(当不指派第i人去完成第j项工作时)这可以表示为一个0-1整数规划问题：Min z=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+16x33+19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44,3 整数规划的应用,28,整数规划模型为：Min z=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21

15、+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+16x33+19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只

16、能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干) xij 为0-1变量，i,j = 1,2,3,4,3 整数规划的应用,29,四、分布系统设计例8某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱，为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂。已知在 A2 ， A3，A4，A5地建厂的固定成本分别为175千元、300千元、375千元、500千元，另外， A1产量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价(每千箱运费)如下表所示。 a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本

17、和总的运输费用之和最小? b) 如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂?,3 整数规划的应用,30,3 整数规划的应用,31,解：a) 设xij为从Ai运往Bj的运输量(单位千箱)，yk = 1(当Ak被选中时)或0（当Ak没被选中时),k =2,3,4,5这可以表示为一个整数规划问题：Min z= 175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+3x32+4x33+9x41+7x42+5x43+10 x51+4x52+2x53其中前4项为固定投资额，后面的项为运输费用。,3 整数规划的应用,s.t.

18、 x11+ x12+ x13 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij0, i=1,2,3,4

19、,5; j=1,2,3, yk为0-1变量, k =2,3,4,5.,整数规划模型为：Min z =175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10 x51 +4x52+2x53其中前4项为固定投资额，后面的项为运输费用。s.t. x11+ x12+ x13 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 30y4 ( A4 厂的产

20、量限制) x51+ x52+ x53 40y5 ( A5 厂的产量限制 x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij0, i = 1,2,3,4,5; j =1,2,3, yk为0-1变量, k =2,3,4,5.,34,五、投资问题 例9.某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资.已知：项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为4

21、万元，第二、三、四年不限；项目B：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利128，但规定最低投资金额为3万元，最高金额为5万元；项目 C：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为2万元或为4万元或为6万元或为8万元。项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项投资金额不限。 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年末拥有的资金本利总额为最大?,3 整数规划的应用,解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i 1，2，3，4，5)分别表示第 i 年年初给项目A，B，C，D的投资额； 设yiA，yiB，是0-1变量

22、，并规定取1时分别表示第i年给A、B投资，否则取 0（ i = 1, 2, 3, 4, 5）。 设yiC 是非负整数变量, 并规定: 第2年投资C项目8万元时, 取值为4； 第2年投资C项目6万元时, 取值3; 第2年投资C项目4万元时, 取值2；第2年投资C项目2万元时,取值1;第2年不投资C时,取值0; 这样我们建立如下的决策变量： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 A x1A x2A x3A x4A B x3B C x2C=20000y2C D x1D x2D x3D x4D x5D,36,2）约束条件：第一年：年初有100000元，D项目在年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金

23、投出去，于是 x1A+ x1D = 100000；第二年：A的投资第二年末才可收回，故第二年年初的资金为1.06x1D，于是x2A+x2C+x2D = 1.06x1D；第三年：年初的资金为 1.15x1A+1.06x2D，于是 x3A+x3B+x3D = 1.15x1A+ 1.06x2D；第四年：年初的资金为 1.15x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D = 1.15x2A+ 1.06x3D；第五年：年初的资金为 1.15x3A+1.06x4D，于是 x5D = 1.15x3A+ 1.06x4D。,3 整数规划的应用,37,关于项目A的投资额规定: x1A 40000y1A ，x1

24、A 200000y1A ，200000是足够大的数；保证当 y1A = 0时， x1A = 0 ；当y1A = 1时，x1A 40000 。 关于项目B的投资额规定: x3B 30000y3B ，x3B 50000y3B ；保证当 y3B = 0时， x3B = 0 ；当y3B = 1时，50000 x3B 30000 。 关于项目C的投资额规定: x2C = 20000y2C ，y2C = 0，1，2，3，4。,3 整数规划的应用,3）目标函数及模型： Max z = 1.15x4A+ 1.40 x2C+ 1.28x3B + 1.06x5D s.t. x1A+ x1D = 100000； x2A+x2C+x2D = 1.06x1D； x3A+x3B+x3D = 1.15x1A+ 1.06x2D； x4A+x4D = 1.15x2A+ 1.06x3D； x5D = 1.15x3A+ 1.06x4D； x1A 40000y1A ， x1A 200000y1A ， x3B 30000y3B ， x3B 50000y3B ； x2C = 20000y2C ， yiA， yiB = 0 或 1，i = 1,2,3,4,5 y2C = 0，1，2，3，4 xiA ，xiB ，xiC ，xiD 0 ( i = 1、2、3、4、5）,39,本章结束,作业：P181、46,第六章 整数规划,