固体物理阎守胜第一章 金属自由电子气体模型ppt课件.ppt

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1、固体物理基础第三版,固 体 物 理,阎守胜编著,北京大学出版社,研究固体中的电子与组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律以及阐明其性质与用途的科学。,What?,电子理论、晶格理论、晶格与电子的相互作用和固体物理分论这四部分构成了固体物理的骨架。本门课的内容对固体物理的每一部分基本上都有所涉及，但把重点放在了电子理论这块。,固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。,固体通常指

2、在承受切应力时具有一定程度刚性的物质，包括晶体、准晶体和非晶态固体。,Why?,主要的研究对象，即晶体材料、陶瓷（多晶）材料，非晶材料、玻璃等构成我们生活的主题，至少是我们日常生活所涉及材料的主题。这些材料所具有的性质，所呈现的现象对我们来说非常重要，同样也非常有意义。,“More is different”P.W.Anderson,典型现象：固体导电性（固体有的是导体，有的是绝缘体或半导体？）；金刚石、石墨的硬度比较,固体中的电子态能够相互耦合呈现磁性？,支配固体中粒子运动的是量子力学，但是，多体运动常常导致出人意料的结果，这些结果从单粒子特性出发常常难以想象。,固体作为整体具有一些特性刚性

3、，弹性模量等。,固体中大量粒子集体运动：,声波，振动格波的量子化（声子）,导电性，以及更典型的现象超导电性（电阻为0的导电行为），超导电性是由于电子运动和声子运动耦合的结果。,How?,理论方法：凝聚态理论和计算物理,实验方法：,X-ray衍射、中子散射、 SEM&TEM、STM 、电子态研究、表面研究 etc.,从STM得到的硅晶体表面的原子结构图,固体是一个非常复杂的客体，我们所要面对的是和现象有关的物理和电子学方面的问题，理论上则面对具体的体系和问题，抓住物理过程的主要方面，构建简化模型（建模的重要性）来处理。在这一点上，清晰的物理图像以及直觉和想象力是至关重要的。因此，本课程为培养学生

4、学会科学的抽象、假设以及数学演绎等方面提供了良好的平台。创造力的培养是我们教学的最重要的目的和要求。,培养目标,固体物理是光信息科学与技术专业的专业必修课（2.5学分，48个学时），以高等数学、普通物理、统计物理和量子力学为基础，学习和掌握固体电子学的基本概念、方法及其应用对光信息科学与技术专业的学生是极其重要的。,所处地位,考核评价方式,4. 试卷题型,1. 课后习题是必不可少的环节。,2. 考核方式以闭卷考试为主，结合平时成绩（作业和出勤等）。,3. 成绩评定法：平时和半期考占40%，期末考占60% 。,判断题、填空、简答及计算综合题等。,第一章 金属自由电子气体模型,引言,固体是由大量的

5、原子组成的复杂体系。对其进行研究，首当其冲的是建立正确的简化模型。,首先作第一步近似：把组成固体的原子看成离子实（原子核和芯电子）和价电子（原子外层结合能低的电子）组成。,只作上面的近似，我们依然无法处理一块固体这么大的体系。,这是一个非常复杂的多体问题。严格按照量子力学出发无法求解。,要求解这个问题，解释固体的各种特性，我们还需要更多的近似，构建更简单的模型。,本书从最简单的金属自由电子气体模型开始讲述。 （选用该模型的理由？金属，自由电子气体）,1900年，Drude提出经典的金属自由电子气体模型（气体分子运动论）；,1928年，索末菲发展了量子的金属自由电子气体模型（将费米-狄拉克统计用

6、于电子气体）。,Sommerfeld的自由电子模型,电子在运动中存在一定的散射机制。,电子在一有限深度的方势阱中运 动，电子间的相互作用忽略不计；,电子按能量的分布遵从FermiDirac统计；,电子的填充满足Pauli不相容原理；,1.1 模型及基态性质,两个基本假定：,自由电子近似：忽略电子和离子实之间的相互作用；,独立电子近似（单电子近似）： 忽略电子和电子间的相互作用,讨论输运现象时引进弛豫时间近似。,1.1.1 单电子本征态和本征能量,独立电子近似使N个电子的问题转化为单电子问题。单电子的状态用波函数 描述，则其满足的不含时薛定谔方程为：,温度T=0，体积V=L3内的N个自由电子,(

7、1.1.3),(1.1.4),自由电子近似使 为常数势，可简单地取为零。则方程（1.1.3）成为：,方程（1.1.4）有平面波解,由于波函数满足归一化条件，即,则,本征能量,皆与波矢有关,Born-von Karman边界条件,k空间中的态密度,（1.1.17）,在k空间中，电子态的分布是均匀的，分布密度只与金属的体积有关。,电子填充：泡利不相容原理，一个k态可有2个电子,1.1.2 基态和基态的能量,单电子能级的能量比例于波矢的平方,总的导电电子数N数目很大,费米球,费米面： 费米能， 费米动量， 费米速度， 费米温度,由于,自由电子气体模型中仅有的一个独立参量： 电子密度n（单位体积中的平

8、均电子数）。,（1.1.1）,将每个电子平均占据的体积等效成球，用球的半径 来表示电子密度的大小。,能态密度：单位体积，单位能量间隔内包含自旋的电子态数。,能量电子态数为,(1.1.9),电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高能态密度越大,则费米面处的能态密度为,单电子的平均能量可写为,或,简并性：,量子力学中简并性：能量简并性；,金属自由电子气体的简并性：统计的简并性，即指金属自由电子气与理想气体遵从的统计规律的差异性。,在时，金属自由电子气体是完全简并的，,在室温下（），电子气体是高度简并的。,1.2 自由电子气体的热性质,温度T0时，电子在本征态上的分布由费米-狄拉克分布函数给出,

9、其中 是电子占据本征态的几率，物理意义是能量为 的一个量子态被电子所占据的几率。,是系统的化学势,其物理意义是在体积不变的情况 下，系统增加一个电子所需的自由能。,当 时,此时,其物理意义是：电子占据几率为1/2时所对应的能量即为费米能。,当 时,若 几个,几个,若 几个,1.2.1 化学势随温度的变化,对于自由气体,室温下，化学势u与EF很接近，故常将其称为费米能量。,电子比热,亦可写为,或,仅费米面附近电子对比热有贡献,在室温附近，电子比热和离子实系统比热之间的比为：,由于 ，所以 。,故在常温下可以不必考虑电子热容量的贡献。,在低温下，离子实系统（晶格）比热按急剧下降，最终在10K左右或

10、更低温度下会小于电子比热。低温下金属的总比热可写为：,1.3 泡利顺磁性,电子具有大小为一个玻尔磁子的磁矩,B=0时，M=0,没有磁场时两种自旋的电子的能量分布,B平行于B： BB,B 0时，自旋磁矩在磁场中的取向能：,B反平行于B： BB,发生磁矩反转的电子数为,每反转一个电子，沿磁场方向磁矩改变 ，产生的总磁矩为,相应的磁化率（泡利顺磁磁化率）为,仅费米面附近小部分电子对泡利顺磁磁化率有贡献,泡利顺磁性的作用？（P14）,1.4 电场中的自由电子,为解释金属的输运性质，Drude经典模型假定：,1. 电子会受到散射，或经受碰撞。碰撞是瞬时事件，效果一是突然地改变电子的速度，在相继两次碰撞间

11、，电子直线运动，遵从牛顿定律；二是使电子达到与环境的热平衡，不管碰前如何，碰后电子速度无规取向，其数值大小的分布与该处温度相平衡。碰撞处温度较高，碰后电子的速度亦较高。,2. 对于电子受到的散射或碰撞，简单地用弛豫时间 描述。在dt时间内，电子受到碰撞的几率为 ， 大体相当于相继两次散射间的平均时间。,在外加电场E情况下，自由电子的运动满足含时薛定谔方程,其中 是与电场相联系的标量势。仅在粒子动能较大，外场变化缓慢的时候，过渡到经典情形，这相当于方程取波包解，波包中心的坐标和动量的变化满足经典的运动方程，可在不违背不确定原理的前提下，足够精确地给出电子的坐标和动量。,坐标的不确定度程度,当外场

12、变化比较缓慢，即,且平均自由程 时，,电子的行为可视为经典。,对于可见光,常温下,在完全经典的模型中，电子的速度取平均热运动速度,准经典模型,费米统计法的应用，导致 为 所替代，,对外场作用下的电子，采用经典的处理方法，但取为其平均速度的做法，称为准经典模型。,金属的电导率,欧姆定律：,欧姆定律有更一般的形式（微分形式）：,这是更早从实验上确定下来的，具体是如何得到的呢？,按照Drude模型分析：,或,假定t时刻电子的平均动量为 ，经过dt时间，电子没有受到碰撞的几率为 ，未受碰撞部分电子对平均动量的贡献为,其中 为电子所受的外力。,未受到碰撞电子对平均动量的贡献：,这部分电子的比率是 。它们

13、受到碰撞后动量无规取向（意味着对平均动量无贡献），这部分电子对平均动量的贡献在于碰撞前从外场获得的动量，由于碰撞发生在t+dt时刻或之前，因此对平均动量的总贡献小于,这里涉及到dt的二次项，是个二阶小量，可以略去。,（1.4.3）,（1.4.3）式在一级近似下为：,（1.4.4）,更简练的形式是,（1.4.5）,引入外场作用下电子的漂移速度,自由电子在外场作用下的动力学方程,碰撞的作用相当于一个阻尼项,（1.4.6）,对于恒定外电场的稳态情况： ,（1.4.6）式为：,相应地：,从电导率的测量值，可算出弛豫时间，并得到平均自由程的大小 。,处于室温下的普通金属， 的量级约为 ， 约为 。,外加

14、电场是交变场的情形：,相应的漂移速度为：,由电子运动的准经典公式（1.4.6）得：,从而,相当于电导率,电子碰撞的作用：,在k空间中，电场引起的漂移速度对应于波矢 的改变,若没有碰撞，在电场作用下，随着漂移速度的不断增加，k空间中费米球将沿-E的方向不断漂移,碰撞破坏了这种过程，导致费米球稳定在偏离平衡的新的位置上。,电子在许可态上占据状况的变化仅发生在费米面附近。,1.5 光学性质,Drude交流导电模型一个重要的应用是电磁波在金属中的行为。实际上，前面的讨论有一个蕴含的假定，即在每一时刻，每个电子所受的电场力是相同的，没有考虑交变场在空间的变化。,为了讨论电磁波在金属中的传播，我们考虑的是

15、交变场空间变化缓慢的情况，即 。此时有：,上式表示金属中r处的电流密度完全取决于该处的电场强度。这是因为到达r处的电子经受到的最后一次碰撞，发生在距r大约l远处，在长波近似条件下，它所感受到的电场可取为同一时刻在r处的电场。,因此从Maxwell方程组，可导出自由电子气体中的波动方程：,对于单色波解：,（1.5.2）,方程（1.5.2）给出：,对于不导电介质有：,金属自由电子气体有复数介电常数：,相对介电常数：,（1.5.6）,（1.5.5）,（1.5.4）,（1.5.3）,引入参数：,因此，（1.5.6）式可写为：,（1.5.8）,称为等离子体频率，是自由电子气体作为整体相对于正电荷背景集体

16、运动的频率。,电磁波在真空中的传播速度为光速 ，在自由电子气体中降为 ，按定义，自由电子气体的复数折射率为：,复数折射率可写成实部和虚部之和：,实部 是通常的折射率，虚部 称为消光系数（extinction coefficient）。在光学实验中，一般不直接测量 和 ，而是测量反射比 和吸收系数 。,从（1.5.5）及（1.5.6），有：,采用复折射率，那么波矢也可以写成：,代表吸收,假定电磁波沿垂直于金属表面的z方向传播，（15.3）式成为：,波幅在传播中是衰减的,那么光强,吸收系数,是因介质对电磁波能量的吸收，光强衰减到原来的 时电磁波传播的距离，我们将其定义为穿透深度。,其中 为z=0表

17、面处的光强。,测量的反射比R与电场振幅的平方有关，因而,对于光从真空（或空气）正入射到金属表面的情形，从界面处电场磁场平行表面分量连续的条件，可得到反射波电场振幅 与入射波电场振幅 的比：,（1.5.13）,在低频段 ，将 写成 ，有 。,金属中电流与交变电场同相位，由于电阻的存在，电磁波的能量以焦耳热的形式被吸收，同时可得 ，电磁波有明显的衰减。由于 ，这一频段从直流一直延伸到远红外，称为吸收区。,根据式（1.1.17）：,在高频段 ，则（1.5.8）式,当 时， ， 为虚数，且 ，因而 ， 同时 ，金属呈现出镜子般的反射特性，称为金属反射区。 金属的 约为 范围内，可见光的上限频率 约为3

18、eV,这就是金属对可见光通常有高反射率的原因。,当 时， ，导致 ，因而吸收系数 ，金属的行为犹如透明的电介质。,应用：激光隐身，激光防护等。,变为,透明的性质,高反射性,1998年，Ebbesen等人实验发现，当一束平行光照射到以介电材料为衬底的亚波长小孔阵列结构的金属薄膜时，在特定波长处表现出异常的透射增强效应。,等离子振荡,在金属内部，价电子为晶格共有，离子实处于晶格格点上，形成正负电荷浓度非常高，且几乎相等的体系称为等离子体(plasma)。电子在等离子体内运动受到正离子的引力总是在不断的振荡着，形成电子密度的涨落，是等离子体内所有电子的集体运动。,这种强效应突破了经典孔径理论的限制，

19、在平板显示器、可调谐滤波器、微腔量子电动力学以及近场光学领域有巨大应用潜力。探索这种透射增强效应的物理起源已成为目前该领域的一大研究热点。,对于等离子振荡，假定在一个长度为L,截面积为A的圆柱体，如图所示，其中电子气相对于静止的由离子实构成的正电荷背景平移 ，导致强度为 的电偶极矩的出现，相应的电极化强度,体系的电中性条件要求,因而位移电子受到的电场是,其中任一电子的运动方程是,方程的解为纵向的电荷密度振荡，特征频率为 。,1.6 霍尔效应和磁阻,将一通电的导体放在磁场中，若磁场方向与电流方向垂直，那么，在第三个方向上会产生电位差，这种现象称为Hall效应。,jx,B,I,在电场E和磁场B同时

20、存在的情况下，单电子准经典方程为：,考虑稳态情况 ，上式可写为：,称为回旋频率。,按照霍尔系数的定义,霍尔系数仅依赖于自由电子气体的电子密度，与金属的其他参数无关。通过霍尔系数的测量可知道载流子是电子还是空穴（电子为负，空穴为正）。,时的 称为霍尔电场，则,得,1.7 金属的热导率,温度梯度的存在，在金属中产生热流。当温度梯度小的时候，热流与之成比例,而对于自由气体模型有：,按经典模型，并将将电子比热公式（1.2.24）代入有：,那么,Wiedeman-Franz,1.8 自由电子气体模型的局限性,一、成功方面,WiedemannFranz定律 etc.,电子热容量,Pauli顺磁,二、局限性,自由电子论无法解释为什么有些金属的Hall系数 会大于0（如Al、In、Zn、Cd等）；,根据自由电子论，金属的电导率电子密度n， 但为什么电子密度较大的二价金属（如Be、Mg、 Zn、 Cd等）和三价金属（如Al、In等）的电导 率反而低于一价金属（如Cu、Ag、Au等）?,不能解释为什么电子的平均自由程会比相邻原子 间距大得多（如Cu：300 K时，3108 m； 而4.2 K时， 3103 m ）；,自由电子论认为金属费米面的形状为球面，但是， 实验结果表明，在通常情况下，金属费米面的形 状都不是球面。,自由电子论不能解释为什么固体材料会分成导体、 半导体和绝缘体；,etc.,