北京大学量子力学ppt课件 第7讲.ppt

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1、,第 七 讲 . 测不准关系 W.Heisenberg指出：当我们测量客体的动量如有一测不准度 （即客体动量在这区域中的几率很大），我们在同时，不可能预言它的位置比 更精确。也就是说，在同一时刻测量动量和位置，其测不准度必须满足 这称为Heisenberg测不准关系。,这是实验的结果; 也是波一粒两象性的结果；;也是波函数几率解释和态叠加原理的结果。 我们已从三个方面论述了它: （1）一些例子： A. 具有确定动量 （一维运动）的自由粒子， 是以 来描述，其几率密度,B如一个自由粒子是由一系列沿x方向的平面波叠加而成的波包描述。 这个波包扩展度的区域不是任意小，即,于是有 （2）一些实验： A

2、位置测量：一束电子平行地沿x方向入通过窄缝a，从而测出y方向的位置。由于波的衍射，在y方向有一不确定度,B用显微镜观测电子的位置：成像总是一衍射斑点。所以，显微镜的分辩率为（即电子位置的精度）,但所以， （3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果 因波粒两象性的实验事实，要求用波函数来描述物质粒子，且要求对波函数进行几率解释，并有叠加性。 从Fourier变换理论+波函数几率解释+态叠加原理，严格可证 ，,（4）能量时间测不准关系的物理含意 A. 在空间固定处，发现体系如有一不确 定的时间间隔t，那该体系的能量必有一扩 展度E，且有 。 B. 体系几率分布发生大的改变需时间t， 那体系的能量不确

3、定度为 ，使,（5）一些应用举例：测不准关系可用作一些 问题的数量级的估计 A类氢离子的基态能量估计： 设：类氢离子的电子轨道半径为r（在一平面中），所以，不确定度 。因此于是，,由 可得，,B. 考虑重力下粒子的“静止” 现作一简单的估计: 经典“基态”是静止的。而量子粒子其位置有一不确定度 ，动量也有一不确定度 。所以，,所以，对于经典物理学，则认为 z=0。而对于量子粒子则为 i.尘粒： , ; ii. 电子： 。 就我个人的看法： 测不准关系是对两个物理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定度）关系的约束，它不是测量的影响导致的。,.一维定态问题 三维问题可化为一维问题处理，所以一维

4、问题是解决三维问题的基础。 （1） 一般性质 设粒子具有质量m，沿x轴运动，位势为 ，于是有,。 A. 定理：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的。 简并度（degeneracy）：一个力学量的测量值，可在 n 个独立的（线性无关的）波函数中测得，则称这一 测量值是具有n重简并度。 某能量本征值有n个独立的定态相对应，则称这能量本征值是n重简并的。,推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可保留一相因子）。 B. 不同的分立能级的波函数是正交的。 C. 振荡定理：当分立能级按大小顺序排列，一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值范围内有n个节点（即有n个x点使 ，不包括边界点或远）。

5、,（2）在无穷大位势处的边条件：根据坐标空间的自然条件，波函数应单值，连续，平方可积， 现先证明位势若有有限大小间断时，波函 数的导数仍连续。由方程即,由于 存在，即 存在，即 的导数存在，所以函数连续，也就是波函数导数连续。 而在位势是无穷时又如何呢？设,令 , 所以， 得解,要求波函数有界，所以C0，要求波函数x=0处连续，且导数连续 当E给定，所以， ,于是，当 , 方程有解 这表明，在无穷大的位势处，波函数为0，边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导数的连续性。当然，几率密度和几率流密度矢总是连续的。,3.2阶梯位势：讨论最简单的定态问题,(1) 当 令 ，,由波函数有界, C0 在

6、x0处，波函数连续，波函数导数连续，解得 ,对E没有限制，任何E都可取，即取连续值。因它不是束缚态（ ，并不趋于0），但它不简并（因 ， ）。 讨论： A. 处，经典粒子不能去的地方，但仍有一定的几率发现量子粒子。 B 区域，有沿x方向的平面波和沿x反方向的平面波, 且振幅相同，构成一驻波。,这一驻波，在处为0。,x,0,C. 几率流密度矢： i. 透射几率流密度矢（ ）jT0（因 是实函数） . 在区域 ，有向右的几率流密度，即入射几率流密度矢 = iii. 在区域，也有左的几率流密度，即反射几率流密度矢 =,所以，总几率流密度矢为 0。当 ，入射粒子完全被反射回来，没有几率流流入到区域 中

7、。 定义：1. 反射系数 ，现 R=1; 2. 透射系数 ，现 T=0。 (2) 当 , 求粒子从左向右方入射的解。,令 ，,由初条件，粒子由左向右入射，由于在x=0处位势有间断点，所以， 区域有入射波，也有反射波；但在 处，位势无间断点，所以，只有入射波，无反射波，因此， C0。 由波函数及其导数连续，有,得 ， 结果有 讨论： 在 时，区域 有一沿x方向传播的平面波，波数为 k1但这并不是指粒子具有动量为 ，因这要全空间）。显然，,= = 。从而得 反射系数 = 透射系数 = 显然,3.3位垒穿透：（1）EV0：从左向右入射，所以在 区域有解eikx（入射波）；e-ikx （反射波） 区域

8、有解eikx （透射波）。,这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x方向的几率流密度为 ， ， 所以只要求得 , 即可。 对于 有方程,有解 其中 由 ， 处， ， 连续 得,得于是有,从而得代回得,于是有（2）当 这时只要将 ，并由 ，得,从而有,（3）结果讨论： A （ 或 ），即几率流密度矢连续。当 时，仍有一定几率流透射过去； B. 当 时，仍有一定几率流被反射但当 时，T1，即完全透射过去。这种现象称为共振透射（仅在 条件下发生）这时,被称为共振能级。 这种现象是量子现象。 如一种解释，认为 ，所以， 即位垒宽是半波长的整数倍时，则经过多次反射而透射出去的波的位相相同，从而出现共振透射

9、。这是经典的观点，是不对的。因在位垒中，并没有确定的波长。,3.4方位阱穿透：这时只要将 即可。,其中 ， 。 当 时，则同样出现 ，即共振透射。这时， ( n 取值应保证 En 大于零) 如果我们将位势在 处选取为 ，那在 和 区域，入射能量 ，而区域 ，粒子能量为 ，即,3.5一维无限深方位阱 。（1）能量本征值和本征函数： ，,有解其中 要求波函数在 处连续（当然，并不要求导数连续），于是有,要求A，B不同时为0，则必须系数行列式为0。 即,. 代入方程得 . 代入方程得 所以，,相应的本征能量为（2）结果讨论：,A. 根据一定边条件，要求( 处，波函数连续），薛定谔方程自然地给出能级的量子化。 B. 一个经典粒子处于无限深位阱中，可以安静地躺着不动。但对量子粒子而言， 所以， ， ，即 不能精确为0。因此，无限深方位势的粒子最低能量不为0。,C. 对基态：而 所以，无零点，即无节点，是偶函数。 第一激发态： 而,有一零点，即有一节点，是奇函数。 第二激发态： 而,有二个零点，即有二个节点，是偶函数。,3.6宇称，一维有限深方势阱，双 位势 （1）宇称：前面无限深位势的能量本征函数有两类形式：,。,