北京大学量子力学ppt课件 第10讲.ppt

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1、,第 十 讲 . 束缚能级与反射振幅极点的关系 束缚态 S矩阵的极点 在一维情况下，对应的极点应是反射振幅。 (1) 半壁位阱的散射,由波函数连续，及其导数的关系（在 处）,代入R分母得 其中,这与直接求解双 对称势的奇宇称所得的确定本征值的方程完全一致。 (2) 有限深方位阱：（ ） 其中,若位势有束缚态，则 ，而为R或S的极点 。令 ，,. 一维谐振子的代数解法： 若粒子在中运动。 令 ，则,（1）能量本征值 定义二个无量纲的算符则有,于是，有二个重要结论： A. B. 可得 若 是 的本征态，相应本征值为 ，即则,也是的本征态，本征值为 同样有 也是 的本征函数，相应本征值为 ， 即增加

2、能量 。,本征值恒为正。因此必存在能量最小的本征态 这与 为最低能量所对应的本征态的假设相冲突，因此由,。所以，最低能量为 任一激发态 ，在算符 的连续作用下，最终必须到态 。 若 经 ，则 的本征值应为,，也即 。所以， 称为声子数算符。 谐振子的能量本征值取它的能级是等间距的。,(2) 能量本征函数 谐振子的能量本征态，可由 作用而获得 现求归一化系数 假设： 是归一化的，相应本征值 那,所以， 至此，对谐振子势下的本征值，本征态都已求出，问题已完全解决。由本征态可求出的任何信息都可由此得到。,为要得到在坐标空间中的解析表达式，由其中， 是无量纲量， 。 所以,于是有 由归一化,而算符,所

3、以， 其中 它是一多项式，最高幂次为n，系数为 ；宇称为 ，被称为厄密多项式（ Hermit Polynomials ）。,（3）讨论和结论 A. 当粒子运动于谐振子势 中，其能量取分立值 为一个声子所带的能量。相应的归一化波函数 （ 而 ）。,在坐标空间中 具体而言,B. 显然是偶函数，而 是改变奇偶性的算符，所以 的宇称为 ，即每条能级的宇称是确定的。 C. 零点能与测不准关系：当体系处于最低态，则对于任何实数ABC，则有,于是有 而所以 但由测不准关系要求,因而，只有 才不违背测不准关系。 这表明，处于谐振子势中的粒子，最低能量不能小于 。这与经典不同，经典粒子可停在原点，能量为0。 D

4、可以证明：un有n个节点（它是第n+1条解级）,这表明，在 和 能级之间不可能有另外能级，所以解是完全的。 E. 递推关系： 我们将导出基本的递推关系 1. 2.,3. 4.,3.9 相干态（1）湮灭算符 的本征态令 于是有,可得 由 归一化得,所以 相应于本征值为 的归一化本征态 我们看到 ， ，没有共同的本征态，但其线性组合,有本征态。这类态称为相干态。它有性质： A. 在该态中位置和动量满足最小测不准关系,同理有,于是有,B. 相干态随时间的演化 若处于谐振子势的粒子，在 时，处于相干态 ，则 时，体系的波函数为,于是 这表明 的本征值在 时为 ，而在时刻为 我们有平均值,我们也有平均值

5、,所以，,其中,它随 的演化很接近经典谐振子的运动。,C. 本征值为实的相干态正是受迫振动的基态 这时，体系的哈密顿量为于是，我们有其中,如令 则 令,它的基态满足而,所以即 这表明 这时,所以， 是哈密顿量 的相干态。,第四章量子力学中的力学量4.1 表示力学量算符的性质 （1）一般运算规则：一个力学量如以算符表示。它是一运算代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从,例： ，于是,即将体系的几率密度振幅沿x方向移动距离a . A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。 由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即,例如 1.,例如 2. 对不显含时间的薛定谔方程若 ， ，则,量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，,方程 就不行。因 B. 算符之和： 表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即,C. 算符之积: 表示，对任意波函数，有 ，则 D. 逆算符：算符 将任一波函数若有另一算符 使则称 为 的逆算符，并表为 ，,显然， E. 算符的函数： 设： 在x=0处，有各级导数则定义算符的函数,例如: 它有各级导数， 。于是 如果函数不能以幂级数表示，则还有算符函数的自然展开。,（2）算符的对易性 一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能,