北京大学量子力学ppt课件 第27讲.ppt

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1、,第 二 十 七 讲 . 非简并能级的二级微扰 当微扰较大时，或一级微扰为零时，则二 级微扰就变得重要了。 由 项得,以 进行标积得 而,所以，准至二级的能量和波函数,显然，要使近似解逼近真实解，就要恰当选取 ， ，而且要求 例：刚体转子的斯塔克效应（Stark Effect） 将体系置于外电场中，能级发生移动的现象称为Stark Effect。,设：转子的角动量为 ，电偶极为 ，当置于均匀外电场中 （取电场方向为z）显然,因所以，尽管能级是简并的，但可用非简并微扰论的公式去求近似解。得,由这可看出，简并部分解除（同 不同 的能量不同，但 相同） 和 态仍简并，即 重简并 条 （ 不简并，而其

2、他的为二重简并）。,碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应 （1） 碱金属光谱的双线结构 碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场作用， ，价电子的哈密顿量为 选力学量完全集,则 能量 与 无关。 由于 与 对易，所以，可用非简并微扰论的公式去求近似解。 一级微扰,这即观测到的纳光谱的双线结构的原因。,（2）反常塞曼效应 在较强磁场中( )，原子光谱线分裂的现象（一般分为三条），称为正常塞曼效应。即使考虑自旋（而自旋轨道耦合和 项可忽也同样（因 ）。 当磁场较弱时， 与 引起的附加能量可比较时，就不能忽略自旋轨道相互作,用项而仅考虑 项。 这时，哈密顿量（在均匀外磁场下）

3、 取 方向为 方向，,则 (忽略 ) 这时 （简并度为 ，即对 简并） 选 ,是磁场为零时的能量本征方程的本征值。 当置入弱磁场（均匀，取 方向），而引 起能级移动，在一级微扰下,所以，当放入弱磁场中，能级由 根据偶极跃迁选择定则, 有四条光谱线, 有六条光谱线,所以，这时每条能谱线的多重态是偶数；多重态的能级间距随不同能级而不同；而光谱线也是偶数条。,（3）简并能级的微扰论 当体系的一些能级是简并时，那考虑这些能级所受的扰动影响时，就不一定能利用上述公式，因这时初态不能确定处于那一个简并态上，而一级波函数修正 当 （即与 简并的态）则分母为零。,另外二级微扰的能量也存在这一问题。 事实上，由

4、于零级是简并的，我们不知应从那一个态出发是正确的。所以，对简并能级的微扰问题的处理与非简并问题的处理，实质的不同在于零级波函数的选取。即要正确选取零级波函数。,例：没有微扰的体系仅有一条能级，是二重简并（这二个态构成完全集）。 若有微扰,求 的本征值，本征函数。 在 表象中有 ，相应波函数为,如用非简并微扰论来求，从 出发 所以近似不好。 如从 出发，则一级微扰 这近似就等于精确解。而,所以，因此，要恰当选择零级波函数 。 A零级波函数的选择 设：能级 有 重简并，取零级波函数,而 （ 是正交，归一的） 由方程 取到一级，得 ， 方程）,其中 （注意： 是代表 的所有态）,将 与 一次幂的方程

5、标积为即要有非零解(即 不都为 )，则必须,由这可解得 代回方程可得 ，即相应于一级能量修正 的零级波函数为 （准至一级 ）,这是一个什么样过程呢？从原则上讲， 的解为因此在 表象中， 的矩阵维数为 。 在 表象中是对角的。当考虑 后，则有非对角元。如非对角元相同，则从上节知，能量差越大，其影响越小（扰动越小）。,如非对角元为零，则对那一态就没有直接影响。 当取到一级，求 时，实际上把 的态与 的态之间的矩阵元都假设为零。 在假设 （ ）的近似下，即在 的子空间对对角化，相当于能量准至一级，并同时确定正确的零级波函数。 显然，对于 （ ）能量不同的态， 可唯一地被确定，而 中有相等的,的态，其

6、零级波函数仍不能唯一地确定。当然，这样一些波函数可经线性组合成为正交归一的波函数（但应注意，从这些态出发的微扰仍应由线性组合出发，不能单从一个态出发）。 应该指出： 1. 新的零级波函数 之间是正交的 。 证： (1),(2) 以 乘（1），并对 求和 以（2）式取复共轭，乘 ，对 求和,由于 并交换 得两式相减得当 时 ，则,即 正交。 如 时，即可将它们正交、归一化。 2 在子空间中是对角的（但这并不等于说 是 的本征态，本征值为 ）,总之，由 在 （ ）中,对角化得到相应的波函数和对角矩阵元，即为零级波函数（恰当的）和一级微扰能量。从而得到一组相互正交的零级波函数.,从而得到 一组个相互

7、正交的零级波函数. 相应能量为 （加上零级能量）,B简并能级下的一级微扰： 选定了正确的零级波函数后，对于 所相应的波函数 作微扰出发点，就可以当作非简并态进行微扰处理。 现讨论 （ 对所有 ） 设：,以 标积 的方程两边（简并态一级修正，就是 在 子空间对角化）。,以 标积 方程两边（ ） 以 标积 方程两边,例: 在均匀外电场中，氢原子能级的变化（斯塔克效应） 考虑氢原子在外电场中的情况（ 在 方向，忽略 ，即不考虑自旋 ）其中 我们讨论氢原子状态 的能级，因它是四重简并 ，即,由于 ，所以， 不改变 的本征值，即 z 的矩阵元仅在初、末态中的 相同时才可能不为 。 是奇函数，所以仅初、末

8、态宇称相反才可能不为 0 。所以，仅,于是， 可表为,有解,C简并态的二级微扰 方程为 以 标积,D. 进一步讨论 1一级微扰仅部分解除简并的讨论 在讨论简并态的一级和二级微扰时，我们假设所处理的 有 ( ) 当一级微扰并未把简并完全解除。如氢原子置于均匀电场中，对 能级就是这种情况 和 的能量,假设： 若其中 ，而我们正是要处理这二个仍简并的态 时，则零级波函数应,取 和 的线性组合 于是有,应注意二点： 1. 求和 不包括 2. 显然,即 对 ， 对角且相等,以 标积得 而,于是得到,由这可解出 若 ，则可唯一地确定简并 态的零级波函数 这样求出的才是正确的能量二级修正及零级波函数，而不能

9、取,例：在均匀外电场中的平面转子 有本征态,相应本征值为 。所以，是两重简并 （ 在 轴） 而,即简并态之间无作用； 所以 1. 如这时认为仍可用非简并微扰论的方法去求二级修正，则,（ 不取 ） 对 简并也未解除,即 2. 由于 ，故简并未解除。一级微扰不能确定零级波函数，而必须由二级微扰来确定零级波函数。利用公式,对,E. 简并态可用非简并微扰论处理的条件 如 与 对易； 也与 对易，则可选 的共同本征态为非微扰态。 若取则设：使,现以 标积方程两边，得从而求出 和,对 而言， 是其本征态，本征值为 由于 若则,所以，如选 的共同本征态 作为零级波函数，则 ( 任意） 这时，简并态 ( ）对 态没有影响。因此，可用非简并微扰方法处理。,例1: 在均匀电场中的刚体转子 所以 的能级 有 重简并,