北京大学量子力学ppt课件 第22讲.ppt

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1、,第 二 十 二 讲 自旋 (1) 电子自旋存在的实验事实 A. Stern-Gerlach实验（1922年） Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，发现仅分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。,而人们知道，银原子（ ）基态 ，所以没有轨道磁矩。 而分成二个状态（二个轨道）表明, 存在磁矩。这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。这只能是电子本身的，这磁矩称为内禀磁矩 。与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。,B. 碱金属光谱的双线结构 原子光谱中有一谱线，波长为5893。但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成 ,C.反常

2、塞曼效应（Anomalous Zeeman effect） 原子序数 为奇数的原子，其多重态是偶数， 在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶数条如钠 和 的两条光谱线。在弱磁场中分裂为 条和 条。这种现象称为反常塞曼效应。 D. 在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为 ，而是 。,对于不同能级， 可能不同，而不是简单为( 被称为 因子 )。 根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck）（乌伦贝克）和 S.Goudsmit（古德斯密特）提出 假设 电子具有自旋 ，并且有内禀磁矩 ，它们有关系, 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值 ，所以 以 为单位，则 （而 ）,现在很清楚，电

3、子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。 考虑到辐射修正,(2) 自旋微观客体的一个动力学变量 A. 电子的自旋算符和它的矩阵表示 由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩,假设：自旋算符 有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系 a. 对易关系 b. 由于它在任意方向上的分量的测量值，仅取二个数值 ，所以,于是 是一常数 c. 矩阵形式 由于其分量仅取二个数值，也即本征值仅二,个，所以 可用 矩阵表示。 .若选 作为力学量完全集，即取 表象，那 在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值,相应的本征矢其对应的表示为， . 在 表象中 的矩阵表示,这只要将

4、作用于 的基矢并以 基矢展开，从展开系数来获得. 由 得系数矩阵为 转置得,以及,其系数矩阵为 转置得 对于 在 方向上的分量为,d. Pauli Operator；为方便起见，引入泡利算符 于是，在 表象中有（或称Pauli表象）,称为泡利矩阵由此得,（2）考虑自旋后，状态和力学量的描述 A.自旋波函数（电子的自旋态） 对于 的本征方程为在其自身表象,而相应本征态的表示为,是 的本征值为 的本征态在表象 中的表示 ； 是 的本征值为 的本征态在表象 中的表示 。 显然 正交 对于任何一旋量 在表象 中，其表示为,而 和 可由 与 标积获得,B. 考虑自旋后状态的描述 由于电子除了 之外，还有

5、第四个 动力学变量 ，它的特点仅取二个值，而 。 所以，可在表象 中表示体系波函数。 对处于某状态 的体系可按自旋波函数展开。,这即 在表象 中表示。 如令,则 表象 中的表示为 若 是归一化的态矢量，则,代表体系处于 而自旋向上的几率密度 代表体系处于 而自旋向下的几率密度 如同一般变量可分离型一样，当 对 和 是变量可分离型的，则其特解为,C考虑自旋后，力学量的表述 而在 表象中， 的表示为,而在 表象中 的表示为 所以方程 在 表象中可表为,直接由 在 表象中表示来获得表象 中的表示,例：求算符 在 表象中的表示,对任一算符的平均值为,例：求 在态矢量 中的平均值 解：在 表象中 表示,

6、而,（3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程 A.动能项 在非相对论极限下，电子的动能为 当计及电子的自旋后，波函数是两分量。并注意到,我们有 而置于电磁场中时，则,B. 自旋轨道耦合项 由Dirac方程可以证明，当电子在中心力场中运动，哈密顿量（在非相对论极限下）中将出现自旋轨道耦合项（Thomas项）（核提供的库仑屏敝场和自旋的作用导致） ，,C电子置于电磁场中的哈密顿量 D.处于中心场中的电子，并置于电磁场中的薛定谔方程为,应该注意，在 表象中，这时 是两分量的，即 （1，2，3项是对角矩阵）,7.3 碱金属的双线结构 引进电子自旋后，我们就能够利用量子力学理论来解释原子光谱中的复

7、杂结构及在外电磁场中的现象 （1）总角动量 A.总角动量引入：当考虑电子具有自旋后 电子在中心力场中的Hamiltonian为,由于自旋轨道耦合项， 和 都不是运动 常数.,因此，( )不能构成力学量完全集 但 即 引入 而,由于有心势所以， 彼此对易,因此 可作为力学量的完全集（如无 ，可选 ） B. 的共同本征矢的表示（在 表象中）,1. 它是的本征函数 取,2它们是 的本征函数因此 3由,在 表象中矩阵表示,即得 的本征值,由此可见， 取确定值 ，而 不具有确定值，它们取值为,事实上，上述就是 基矢以 基矢展开。,即从 A 表象 B 表象 a,b 就是平常称的幺正变换系数,于是在中心势中，考虑了电子的自旋，则其特解,例：电四极矩 电四极矩算符 在原子物理和原子核物理中，测量的电四极矩给出的值的定义为（对于一个电荷均匀分布的带电体，其大小，符号，反映了体系的形状） 先看,由,而注意到 与自旋无关，而 是正交的,由此可见， 时， ，这是由于算符 是角动量为 的算符。 当它作用于 后，态将从当 ，则 将 ,所以, 与 正交。因此，这时在带电体外，显示“电荷”是球形分布。,（2）碱金属的双线结构 碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用。 所以，价电子的哈密顿量为,