多元函数的Taylor公式与极值问题ppt课件.ppt

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1、高 等 数 学 B 吉林大学数学学院,第二章多元函数的微分学及其应用,偏导数全微分复合函数的微分法隐函数微分法方向导数与梯度多元微分学的几何应用多元函数的Taylor公式与极值问题,8多元函数的Taylor公式与极值问题,8.1多元函数的Taylor公式,8.2多元函数的极值问题,8.3条件极值问题,8.1 多元函数的Taylor公式,一元函数,的泰勒公式:,推广,多元函数泰勒公式,记号,(设下面涉及的偏导数连续):,一般地,表示,表示,定理8.1,的某一邻域内有直,到 n + 1 阶连续偏导数 ,为此邻域内任,一点,则有,其中,称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式,称为其拉格,

2、朗日型余项 .,证: 令,则,利用多元复合函数求导法则可得:,一般地,由,的麦克劳林公式, 得,将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.,定理8.2,的某一邻域内是,类函数 ,则当,其中,称为Peano余项,上式称为f(x,y)在(x0,y0)处带有Peano余项的n阶Taylor公式.,时，有,说明:,余项估计式.,因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界 M ,则有,说明：(1) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:,(2) 若函数,在区域D 上的两个一阶偏导数,恒为零,由中值公式可知在该区域上,定理8.1 设n元函数,则,其中,使,而,上式称为f(

3、x)在x0处带有Lagrange余项的n阶Taylor公式.,特别地，当x0=0时，又称为Maclaurin公式.,定理8.2 设n元函数,则当,时，有,上式称为f(x)在x0处带有Peano余项的n阶Taylor公式.,特别地，当x0=0时，又称为Maclaurin公式.,例8.1 求函数,解:对k=1,2,n+1有,带有Lagrange余项的,Maclaurin公式.,所以,由公式有,其中,定义8.1 设n元函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值

4、和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,8.2 多元函数的极值问题,1.极值,恒有,定理8.3 (函数取极值的必要条件),设n元函数f(x)在点x0,可偏导,证: 以二元函数情况加以证明.,的必要条件，有,且在该点取得极值 ,则有,即,设二元函数f(x,y)在点(x0,y0),可偏导并取得极值，则固定y=y0时，一元函数,在点x0可导，并取得极值.,据一元函数极值,同理，有,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 (或稳定点).,例如,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,由定理8.3知，对可偏导的n元函数，极值点必为驻点.,偏导数不存在的点也可能是极

5、值点.,例如,在点( 0, 0 )取得极值， 但它的两个,偏导数在点( 0, 0 )处不存在.,通常把使得函数可能取极值的点称为它的可能极值点.,显然，可能极值点未必一定是极值点.,推论8.1 (函数取极值的充分条件) 设二元函数,(x0,y0)是f(x,y)的驻点，记,则,(1) 当A0,且 时，f(x0,y0)是极小值；,(2) 当A0,且 时，f(x0,y0)是极大值；,(3) 当 时，f(x0,y0)为不是极值；,(4) 当 时，不能确定f(x0,y0)是否为极值.,设(x0,y0)是二元函数f(x,y)的驻点由泰勒公式，在点,P0(x0,y0,f(x0,y0)附近，曲面z=f(x,y

6、)可以由二次曲面,近似替代,开口向上的椭圆抛物面，f(x0,y0)是g(x,y)及f(x,y)的极小值；,开口向下的椭圆抛物面，f(x0,y0)是g(x,y)及f(x,y)的极大值；,(1) 当A0,且 时， z= g(x,y)为顶点在P0，,(2) 当A0,且 时， z= g(x,y)为顶点在P0，,(3) 当 时，z= g(x,y)为双曲抛物面，f(x0,y0)不是极值,几何解释：,例8.2,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点

7、(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,求最值的方法：,依据,2最大值和最小值,(1)先求出f(x)在闭区域内的可能极值点的函数值；,(2)再求出f(x)在闭区域边界上的最大，最小值；,(3)将这些函数值相比较，其中最大的就是f(x)在闭区域上的最大值，最小的就是f(x)在闭区域上的最小值,在实际问题中，区域不一定是闭区域，但是根据问题的性质可以知道最大(小)值的存在性，并且可以判定最大(小)值在区域的内部取得，那么当内部有唯一的可能极值点时，此点就是最大(小)值点,例8.3设D是由x轴，

8、y轴及直线x+y=6围城的三角形区域，求函数 在D上的最大值和最小值,解：在D内部求可能极值点,得在D内唯一的驻点(2,1),f(2,1)=4.,2考虑D边界上取值情况如图边界由三条线段组成,在L1: y=0.f(x,y)=0,在L2: x=0, f(x,y)=0,在L3: y=6-x,令,得在(0,6)内的唯一驻点x=4,从而,L3上，z在0,6上的最大值为0，最小值为-64.,比较这些函数值，知函数在D上的最大值为f(2,1)=4，最小值为f(4,2)=-64.,例8.4,解: 设水箱长,宽分别为 x , y ,z(m) ,则z=V/xy.,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板

9、做一个体积为V,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的无盖长方体水,箱，问怎样选取长宽高，才能用料最省？,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,8.3 条件极值问题,1. 条件极值,无条件极值：对于函数的自变量，除了限制函数的定义域内外并无其他的要求的多元函数极值问题,条件极值：对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内，自变量还受到其他条件的约束(约束条件)的多元函数极值问题,如例8.4 ,求函数(称为目标函数),在定义域x0,y0,z0中满足约束条件（或称约束方程）,的极值问题,把条件极值化为无条件极值.,2. Lagrange乘子法,定

10、理8.5设,函数,且,若P0是目标函数f(P)在约束,条件下的极值点，则存在常数使得,即,证明：记由方程 所确定的曲面为 ，则点,设 是 上过点P0的任意一条光滑,曲线，且点P0所对应的参数t=t0,则按假设fx(t),y(t),z(t),必在t0点取得极值，从而,即,记,它是曲线 上在点P0的切向量.,上式又可写成,即,由 的任意性，知向量 垂直于曲面 在点P0的切平面.,又因为 ，知,是曲面 在点P0的切平面的法向量，所以向量 与,平行，,故存在常数 ，使得,即,引入辅助函数,称为Lagrange函数，,参数 称为Lagrange乘子.,则点P0满足Lx=0,Ly=0,Lz=0.,由于是条

11、件极值，点P0还满足,在定理8.5的条件下，作Lagrange函数.,如果P0(x0,y0,z0)是,方程组,的解，,那么P0(x0,y0,z0)是目标函数f(x,y,z)在约束条件,下的可能极值点.,这种方法称为Lagrange乘数法.,例8.5 求函数f(x,y,z)=ax+by+cz在约束条件,下的极值点,解：作Lagrange函数，,解方程组,由前三个方程得,带入约束方程得,时，驻点为,时，驻点为,根据问题的实际意义知，P1为条件极小值点；P2为条件极大值点.,例8.6 在椭圆面,的第一卦限部分上求一点P，使得P的切平面与三个坐标轴所围城的四面体的体积V最小.,解：设P点的坐标为(x,

12、y,z),则过P点的切平面为,即,它在三个坐标轴上的截距分别为,从而切平面与三个坐标轴围成的四面体的体积为,要使V最小，只要xyz最大.,又点P在椭球面上，故作,Lagrange函数,解方程组,由前三个方程得,带入约束方程得,( 的值已不必求出),这是问题唯一的可能条件极值，根据问题的实际意义知所求最小体积必存在，所以所求体积为最小的点为,定理8.5设n元函数,且,若 是目标函数 在 下的极值点，则存在常数使得,条件极值的可能极值点：,1.Lagrang乘子法求出的点；,2.,的解 .,Lagrang乘子法：把对f的条件极值转换成L的无条件极值.,例8.7 求坐标原点到曲线,的最短距离.,解：

13、记,方程组,无解.,点P(x,y)为曲线,上的点.,原点到点P的距离,要使d最小，只要 最小.,作Lagrange函数,由第二个方程得y=0或 =1.,若y=0，则由约束方程得x=1,而x=1不满足第一个方程；,若 =1，则第一个方程无解.,为此，我们解另一个方程组,得唯一可能极值点x=1,y=0.,由于原点到曲线,的最短距离存在，故所求最短距离为,例如三元函数f(x,y,z)在约束条件,Lagrange乘子法还可以推广到多个约束条件的情形.,下的极值，可作Lagrange函数.,其中 为Lagrange乘子.,然后解方程组,可求得可能极值点P0(x0,y0,z0).,例8.8 求椭圆,的长半

14、轴和短半轴之长.,解：椭圆的长半轴和短半轴之长即为椭圆的中心点到椭圆上的点(x,y,z)的距离 的最大值与最小值.,作Lagrange函数,解方程组,前三个方程分别乘以x,y,z再相加，得,再由两个约束方程，知,为求极值，只需求,由前三个方程又有,带入最后一个方程，得,显然 ，整理得,解得,从而,即为所求椭圆的长半轴与短半轴之长.,1. 求函数,解:,的三阶泰,勒公式.,因此,其中,2.讨论函数,及,是否取得极值.,解: 显然 (0,0) 是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,3. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,作业：习题2.8 4, 7;,