扬州大学《线性代数》11行列式定义ppt课件.ppt

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1、2022/12/24,第一章 行列式,1,上课,绪 论,线性代数是是中学代数的继续和发展。,一、课程内容,“线性”即一次，一次函数、方程、不等式均称为线性的。本课程一重要内容解含n个未知数、m个方程的任一线性方程组。课程给出了一套有关线性方程组的理论，其中用到一些新知识，如矩阵(Ch2) 、向量(Ch3)及相关概念。,行列式(Ch1)与矩阵概念是人们从求解线性方程组的需要中建立起来的，又远远越出求解线性方程组的范围，成为重要的数学工具。矩阵在众多数学分支以及自然科学、现代经济学、,2022/12/24,第一章 行列式,3,工程技术等方面也有广泛应用。教材在Ch4进一步研究矩阵的有关问题， Ch

2、5也以矩阵为工具。,二、课程应用,线性问题广泛存在于自然科学、管理科学和技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下也可以线性化，在线性问题中一次不等式又可以通过引进新变量转化为等式(“线性规划”课程)即线性方程。,因此线性代数的概念和方法应用广泛，尤其计算机的应用使得复杂的线性模型得以迅速、准确求解。,2022/12/24,第一章 行列式,4,三、课程特点,学习方法,五、参考书目,1.练习卷,2.线性代数学习指导,代数繁且抽象。只有一步步稳打稳扎，才能学好.,四、作业要求: 及时、独立完成; 格式; 上交时间.,2022/12/24,第一章 行列式,5,第一章 行列式,2022/12/24

3、,第一章 行列式,6,来源: 解线性方程组,考虑用消元法解,为了求x1 ,需先消去x2 ,于是,当 时,1.1 行列式的定义,一. 二、三阶行列式,1. 二阶行列式,2022/12/24,第一章 行列式,7,类似有:,这就是两个未知量两个方程的线性方程组在条件,下的公式解.,公式解的缺点:,不便于记忆,改进方法:,引入新记号,定义一:,令,并把此式叫做一个二阶行列式.,(结果是个数),等式左端是记号,右端是行列式的算法.,(两行两列四元素组成),(两项的代数和),2022/12/24,第一章 行列式,8,公式解的便于记忆形式,记法:,(2) x1、x2分子不同, 其行列式分别是把系数行列式中x

4、1、x2的系数列换成常数项列(保持原有的上下相对位置)所得行列式.,(1)x1 , x2分母的行列式由方程中未知数系数按其原有的相对位置排成“系数行列式”,2022/12/24,第一章 行列式,9,定义二:,令,并把此式叫做一个三阶行列式.,等式左端是记号,右端是行列式的展式.,aij: 第i行第j列的元素,它可以由一个很简单的规则来说明即三阶行列式的对角线规则.,(三行三列九元素组成),(六项的代数和),2. 三阶行列式,2022/12/24,第一章 行列式,10,可以验证，三元线性方程组,的解当D 0时可以表示为:,2022/12/24,第一章 行列式,11,其中:,例1 解方程组,D,D

5、1,D2,D3,2022/12/24,第一章 行列式,12,解,所以:,D,D1=,D2=,D3=,3(-1)(-1),=,121,(-1)21,(-1)(-1)1, 12(-1),321,2,=2212,=1,=12,=9,2022/12/24,第一章 行列式,13,小结:引入二(三)阶行列式使二(三)元线性方程组的公式解具有同样的规律. 人们自然想把这一规律推广到n(n3)个未知量的线性方程组的解法上. 显然,能否推广关键在于怎样恰当地定义,二. n阶行列式,1. 二、三阶行列式的推广,四阶行列式：4 2 个元素组成,n阶行列式：,n 2 个元素组成,n阶行列式的形式,n阶行列式的实质?,

6、表示代数和每项组成?共多少项?各项符号?,观察三阶行列式展开式的特点思考上述问题：,(1) 每项组成:,(2)多少项:,四阶行列式共4! 24项，对角线仅8条，,(3)各项符号:,四阶以上是否适用？,取自不同行不同列的三元之积.,由排列组合知识，共3! 6项.,有多少不同行、不同列的三元之积?,对角线法则.,对角线法则对四阶以上行列式不适用。,为确定行列式展式中各项符号,先介绍排列理论,(1)排列:,自然数1,2, n组成的一个有序数组,i1i2in称为一个n级(元)排列.,例 123、231、312、,自然排列:,(2)逆序: 大数码排在小数码前面, 称两者构成一个逆序.,排列中的逆序总数称

7、作逆序数, 记,2.排列的逆序数,51243、41352、,五级排列.,不是排列.,1242,三级排列,共,3!6种；,一般排列：不按自然数顺序排列.,例2,2+,1+,1,=4;,=0;,=5;,按自然数顺序排列(左数码右数码),= n-1+n-2+2+1 =,(3) 奇排列：逆序数为奇数的排列 偶排列：逆序数为偶数的排列,上例逆序数为0,是偶排列.,n=4k或4k1,偶排列;,n=4k2或4k3,奇排列.,(4)排列的对换:,排列经对换后逆序数改变. 奇偶性是否改变?,定理1 对换改变排列的奇偶性。,证 对换相邻数码： ，,一般对换： ，对换(i, j)可看成:,i 经s+1次相邻对换得,

8、j再经s次相邻对换得,奇偶性共改变2s+1次。,逆序数增加或减少1,对换,(is , it),定理2 全体n(n1)级排列的集合中，奇、偶排列各占一半。,证:,设n!个排列中奇、偶排列分别有p、q个.,将p个奇排列经同一对换如(1，2)可得p个偶排列,故pq；,同理可得q p .,所以 pq,推论 奇(偶)排列可经奇(偶)数次对换变成自然排列,利用排列的逆序数可确定行列式中各项的符号.,先看三阶行列式中各项符号有何规律.,各项正负号与列标排列:,正号:123,231,312,负号:321,213,132,(偶排列),(奇排列),定义：用符号,表示的n阶行列式指的是,n!项的代数和;,这些项是一

9、切可能的取自表(1)的不同行与不同列的n个元素的乘积 ；,项 的符号为,故,3. n阶行列式,记作：,determinant,简记作,易证：,(也可),特别: n=1,一阶行列式,(与绝对值的区别!),|a|a,20,上三角形行列式,下三角形行列式,对角形行列式,例3,4. 特殊行列式,a11a22ann, a1n a2n-1 an1,2022/12/24,第一章 行列式,21,例4.用行列式定义计算：, 2005 !,(1) 2005 !,2005 !,例5. 设,问dx3y2z1、by3x1z4、ax1y3z2是否D中项？符号?, 求 f (x) 的最高次项.,例6.,dx3y2z1,列4

10、321,.,by3x1z4,行1234,列2314.,.,行1324,ax1y3z2,列1132,不是D中项.,行1234,90 x 4,(或:行1234,列2134),2022/12/24,第一章 行列式,23,解: 根据定义,D是一个4!24项的代数和.,这24项中除了acfh, adeh, bdeg, bcfg四项外,其余项都至少含一个因子0,因而等于零.,acfh对应列排列是,1234,adeh对应列排列是,1324,bdeg对应列排列是,4321,bcfg对应列排列是,4231,例7.计算四阶行列式,Dacfhadehbdegbcfg,作业 P30： 1、3、4(1),复习1.1预习1.2,2022/12/24,第一章 行列式,25,下课,