扬大高等代数北大三版第五章二次型ppt课件.ppt

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1、2022/12/24,课件,1,第五章 二次型,学时：10学时。教学手段：讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。基本内容和教学目的： 基本内容： 二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。教学目的：1、了解二次型的概念，二次型的矩阵表示。2、会化二次型为标准型，规范性。3、掌握二次型的惯性定理，正定二次型。本章的重点和难点：重点：化二次型为标准型，规范性 。难点：正定二次型。,2022/12/24,课件,2,5.1二次型的矩阵表示,2022/12/24,课件,3,一 问题提出,平面解析 一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线)； 二次曲线：Ax2 + Bxy

2、+ Cy2 + Dx + Ey = F 经平移变换化成为 au2 + buv + cv2 = d 经旋转变换化成为a/x/2 + b/y/2 = d/ (二次齐次多项式) 可根据二次项系数确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）； 空间解析 一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面)； 二次曲面： （平移后不含一次项）Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表示方法) 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ 据二次项系数符号确定二次曲面的分类,2022/12/

3、24,课件,4,更一般的问题： 数域P上含n个变量x1,x2,xn的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题 本章中心问题: n元二次型化标准型（平方和）的问题.二、二次型的概念及性质1.定义1 数域P上n元二次齐次多项式（近代表示式） f (x1, x2, , xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2a1nx1xn + a22x22 + 2a23x2x3 + + 2a2nx2xn + a33 x32 + + 2a3n x3xn + ann xn2 称为P上n元二次型，简称二次型；当P = R时，为实二次型、 当P =

4、 C时，为复二次型.,2022/12/24,课件,5,*1 f (x1, x2, , xn) 是 PnP 的n元函数；*2 f (x1, x2, , xn) = a11x1x1 + a12x1x2 + + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x2x2 + + a2nx2xn + an1xnx1 + an2xnx2 + + annxnxn =,f (x1, x2, , xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + + 2a1nx1xn + a22x22 + + 2a2nx2xn + annxnn .,2022/12/24,课件,6,*3 性质： 1) 在二次型 f (x1, x2

5、, , xn) = X/AX中，矩阵A为对称矩阵； 2）把一阶矩阵A = (a)看成数a, 则一元二次型 f (x) = a11x12 = (x1)/(a11)(x1) = X/AX； 3) 数域P上， f (x1, x2, , xn) 与n阶对称矩阵一一对应.证明分析： 由*2可知，任一二次型都对应某对称矩阵A，即*2给出对应法则： f (x1, x2, , xn) A . 设f (x1, x2, , xn) 在下对应的对称矩阵为A，B，即 f (x1, x2, , xn) = X/AX = X/BX，故知 A = B，即是 n 元二次型与 n 阶对称矩阵之间的映射. 设A是数域P上任一n阶

6、对称矩阵，则X/AX的展开式显然是数域P上的n元二次型，即是满射，而为单射则是显然的，故是双射. ,2022/12/24,课件,7,2 线性替换,平面解析中，当坐标原点和中心重合时，有心二次曲线一般方程为ax2 + 2bxy + cy2 = f (例：13x2 10 xy +13y2 = 72), 将坐标轴逆时针旋转0 (例：450),即有坐标旋转公式,y y / x/ x,2022/12/24,课件,8,定义2 将变量 x1, x2, , xn 用 y1, y2, , yn 线性表示的变换称为由x1, x2, , xn 到 y1, y2, , yn 的线性替换（简称变量的线性替换）.,*1

7、线性替换的矩阵表示：X = CY，C称为线性替换(4)的矩阵；当C可逆时，称(4)为非退化（可逆）线性替换；C不可逆时，称(4)为退化（非可逆）线性替换，其中,2022/12/24,课件,9,*2 性质： 4) 若C可逆，则X = CY是可逆线性替换，且Y = C1X也是可逆的线性替换； 5) f (x1, x2, , xn) = X/AX 是 P 上的 n 元二次型，经线性替换 X = CY 化成 f (x1, x2, , xn) = Y/BY ，则 B = C/AC .证明： f (x1, x2, , xn) = X/AX = (CY)/A(CY) = Y/(C/AC)Y = Y/ BY.

8、由于 B/ = (C/AC)/ = C/A/C/ = C/AC = B Y/BY 是 P 上 n 元二次型，且 B = C/AC 成立. 6) 二次型的秩在变量的线性替换下保持不变（性质5的推论）证明： 如5), 在线性替换X = CY下f (x1, x2, , xn) = X/AX = Y/BY B = C/AC , C可逆 A，B的秩相同，即二次型X/AX 与 Y/BY的秩相同 题设结论成立. 性质5给出矩阵之间的一种相互关系，故引入以下概念 ,2022/12/24,课件,10,三 矩阵的合同关系,定义2 数域P上 n 阶矩阵 A，B 称为合同的，如果存在P上的 n 阶可逆矩阵 C，使得

9、B = C/AC .*1 合同的性质： 7) 矩阵合同是Mn(P) = AA为P上n阶矩阵 上的等价关系, 即 (1) 合同具有自反性 （ A = E/AE，即A与A合同 ）； (2) 合同具有对称性 （ B = C/AC A = (C1)/BC1 ）； (3) 合同具有传递性 （ A1 = C1/AC1，A2 = C2/A1C2 A2 = C2/ (C1/AC1)C2 = (C1C2)/A(C1C2) ）. 8) 线性替换X = CY下 f (x1, x2, , xn) = X/AX = Y/BY, 因B = C/AC,故： X = CY为可逆线性替换时，二次型 X/AX 与 Y/BY的矩阵

10、合同; 为用矩阵来研究这类二次型的变换奠定了基础，提供了思路；,2022/12/24,课件,11,9) 合同的矩阵具有相同的秩； 10) 与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵. 证明： 9) 设A, B合同，即B = C/AC, 且C可逆，故A, B同秩. 10) 设A/ = A，B = C/AC， C可逆 B/ = (C/AC)/ = C/AC = B. *2 为什么在变换二次型时，总要求用非退化的线性替换（即C为可逆矩阵）？ 事实上，当X = C/ Y 是非退还的线性替换时， 可得 Y = C 1X成立， 故原二次型 X/AX 与变换后的二次型 Y/BY 是可以互化的，这样就使我们从变换所得二

11、次型 Y/BY 的性质可以推知原来二次型X/AX的性质.,2022/12/24,课件,12,5.2标准型,中心问题： 讨论用非提化的线性替换化二次型成最简形式，即平方和的形式：d1x12 + d2x22 + + dnxn2,2022/12/24,课件,13,证明： （配方法） 对 n 进行数学归纳.n = 1： f (x1) = a11x12, 已是(1)的形式，命题成立. 假定 n1 时命题成立，现证 n 时命题成立. 分以下情形讨论： 1) aii ( i = 1, 2, , n )中至少有一个非0，如a110 ,定理1 数域 P 上任一二次型都可经过非退化的线性替换变成平方和的形式 d1

12、x12 + d2x22 + + dnxn2 (1),f (x1, x2 , , xn) = a11x12 +2a12x1x2 +2a13x1x3 +2a1nx1xn + a22x22 +2a23x2x3 +2a2nx2xn + annxn2,a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2a1nx1xn = a11x12 + 2a111 (a12x2 + a13x3 + + a1nxn) * A2 + 2AB + B2 = (A+B)2,2022/12/24,课件,14,2022/12/24,课件,15,2022/12/24,课件,16,2) 所有aii = 0(i =1,

13、 2, n), 但至少有一个a1j0 (j = 2, n) 不失普遍性，不妨设a120 令,2022/12/24,课件,17,2022/12/24,课件,18,定理2 数域 P上任一对称矩阵合同于对角矩阵,2022/12/24,课件,19,Af (x1, ,xn) X=CY B=C/AC B,定理2的意义： 化n元二次型X/AX成标准型问题 寻找一个可逆矩阵C，使得A与对角矩阵D在C下合同（D=C/AC），而定理2说明这样的C一定存在 如何找到这个C即为进一步要解决的问题：,C=?时，B= D？,2022/12/24,课件,20,2022/12/24,课件,21,2022/12/24,课件,2

14、2,2022/12/24,课件,23,2022/12/24,课件,24,2022/12/24,课件,25,2022/12/24,课件,26,2022/12/24,课件,27,5.3 唯一性,2022/12/24,课件,28,问题提出：二次型f (x1, x2, x3)=2x1x2+2x1x36x2x3经过不同的线性替换，其结果不同 ,X=C1W 下，f = 2w122w22 + 6w32； X=C2Y 下，f = 2y1221y22 +231y32 . 其中,2022/12/24,课件,29,Af (x1, ,xn) X=CY B=C/AC B,回顾上一节内容，有以下事实成立： 同一二次型在不

15、同线性替换下的矩阵合同.,C=?时，B= D？,2022/12/24,课件,30,A f (x1, xn) X=C1W D1 D2 X=C2Y,问题： 同一二次型 f 在恰当的可逆线性替换下的矩阵是对角矩阵，但不同的这样的可逆线性替换下的对角矩阵不同，即所化成的标准型不唯一 .,问题：如何处理，可将二次型所化成的标准型唯一确定？,2022/12/24,课件,31,一 二次型的秩,*1 A，B(Mn(P)合同 存在可逆矩阵C，B = C/AC 因C可逆，故 r(A) = r(B) ，即合同矩阵的秩相等；*2 原二次型 X/AX 经 X = CY (C可逆) 化成新二次型Y/ BY, 则A，B合同

16、 新、旧二次型的矩阵秩相同，即可逆的线性替换不改变原二次型的矩阵的秩，该秩刻画了二次型的一种本质属性 引入以下概念：1. 定义： 二次型 f (x1, x2, , xn) = X/AX 中矩阵A的秩称为二次型 f 的秩；2. 性质： 1) 可逆线性替换不改变二次型的秩；,2022/12/24,课件,32,2022/12/24,课件,33,二 复二次型 （复数域C上的二次型）,1. 规范型： z12 + z22 + + zr2 称为复二次型的规范型.2. 定理3 任一复二次型经适当的可逆线性替换可化成 规范型，且规范型唯一. * 该定理的矩阵语言描述：任一秩为 r 的复对称矩阵合同于一个对角矩阵

17、,2022/12/24,课件,34,证明： 设复二次型 f = X/AX , r(A) = r 存在可逆线性替换X= C1Y(C1可逆) , 使f = X/AX = (C1Y)/A(C1Y) =Y(C1/AC1 )Y= d1y12 + + dryr2 (di=1,r, 1rn) 取可逆线性替换,2022/12/24,课件,35,3. 两复对称矩阵合同的充要条件是其秩相等,(复对称矩阵按合同关系可分为n+1个不同的类)； 复二次型共有n+1个不同的类型,其秩为决定因素.,2022/12/24,课件,36,三 实二次型,z12 zp2zP+12zr2 称为实二次型的规范型 规范型完全由 p, r

18、所确定 (其中r为二次型的秩，它确定了规范型中非零项的个数，p 确定了规范型中正、负项的个数）. 定理4（惯性定理） 任一实二次型经适当的可逆线性替换可化成规范型，且规范型唯一.,2022/12/24,课件,37,2022/12/24,课件,38,2022/12/24,课件,39,2022/12/24,课件,40,惯性定理的意义,定义3 实二次型的规范型中正平方项的个数 p 称为该二次型的正惯性指数；负平方项的个数 rp 称为该二次型的负惯性指数；其差 p (rp) = 2pr 称为该二次型的符号差.,*1 实二次型的标准型虽不唯一，但由于标准型到规范型的变换中，非零项的个数，正(负)项个数并

19、未发生变化 据惯性定理中规范型的唯一性可知：实二次型的标准型中的非零项个数及正(负)项个数由秩和正(负)惯性指数唯一确定，即在不考虑系数数值差异的前提下，实二次型的标准型唯一确定；,2022/12/24,课件,41,*2 定理3、4的矩阵语言描述 定理5：,2022/12/24,课件,42,*3 称二次型 X/ AX 与 Y/BY 可互化，如果存在可逆的线性替换 X = CY，使得B = C/AC 1) X/ AX 与 Y/BY可互化当且仅当A，B合同； 2) 设数域 P 上 n 元二次型全体构成集合 M(P)，则二次型的互化关系是 M(P) 的一个等价关系.证明： 1) 显然. 2) X =

20、 EX，有A = E/AE X/AX 与X/ AX可互化； X/ AX 与 Y/BY 可互化, 显然Y/BY 与X/ AX可互化； X/ AX 与 Y/BY 可互化, Y/ BY与 Z/DZ 可互化 有可逆线性替换 X = C1Y, Y = C2Z, 使 B = C1/AC1, D =C2/BC2 有可逆线性替换 X = C1C2Z，使D = (C1C2)/A(C1C2) X/ AX 与 Y/BY 可互化 命题成立. ,互化意义： 若存在X = CY,C可逆，且B=C/AC Y = C-1X, A = (C/)-1BC-1 = (C-1)/BC-1 X/AX = (CY)/A(CY) = Y/

21、(C/AC)Y = Y/BY； Y/BY = (C-1X)/B(C-1X)=X/(C-1)/BC-1)X =X/AX,2022/12/24,课件,43,3) 复二次型按可互化分成 n + 1 个不同的类(型).证明： 复二次型 X/AX, Y/BY 可互化 A, B合同 A, B的秩相等 复二次型 X/AX, Y/BY 的秩相等. 而秩的所有可能的结果为 r = 0, 1, , n ,共 n + 1种 命题成立. ,f (x1,xn),f , g可互化,即同一类型 共n+1个不同类型,2022/12/24,课件,44,2022/12/24,课件,45,* 用矩阵语言描述该性质： 复对称矩阵按合

22、同分类共有 不同的类,2022/12/24,课件,46,0 1 r n1 n,r个正项 r1个 1个 0个,实二次型全体M(R),2022/12/24,课件,47,5.4正定二次型,2022/12/24,课件,48,一 正定二次型的概念,定义1 实二次型 f (x1, , xn) 是正定的，如果对任意不全为零的 c1, , cnR， f (c1, , cn)0； 实二次型 f (x1, , xn) 是负定的，如果对任意不全为零的c1, , cnR， f (c1, , cn)0； 实二次型 f (x1, , xn) 是不定的，如果对任意不全为零的c1, , cnR， f (c1, , cn)有时

23、0, 有时0 ； 正定二次型的矩阵称为正定矩阵；,f (x1, , xn) = x12 + + xn2 是正定二次型； f (x1, , xn) = d1x12 + + d2xn2 是正定的充要条件为 di0, i = 1, 2, , n .,2022/12/24,课件,49,二 正定二次型的判定,1. 定理6 实二次型 f(x1, , x)正定的充要条件是其正惯性指数为n.,2022/12/24,课件,50,2022/12/24,课件,51,*2 正定矩阵的行列式大于0.证明： A正定 存在可逆矩阵C (|C|0), 使得A = C/C |A| = |C/|C| = |C|20 .,2022

24、/12/24,课件,52,2022/12/24,课件,53,2022/12/24,课件,54,2022/12/24,课件,55,2022/12/24,课件,56,2022/12/24,课件,57,例 判别以下二次型是否正定？,2022/12/24,课件,58,三 半正定二次型,定义7 实二次型 f (x1, , xn) 称为半正（负）定的，如果对于任意一组不全为零的实数 c1, , cn 都有 f (x1, , xn)0（ f (x1, , xn) 0）成立； 如果 f (x1, , xn) 既不是半正定的，又不是半负定的，则称其为不定的.,（见P236习题9）：行的取法与列的取法一致的k级子式称为k级主子式，如,