复级数的基本性质ppt课件.ppt

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1、第四章 解析函数的幂级数表示法,级数是研究解析函数的一个重要工具。把解析函数表示为级数不仅有理论上的意义，而且也有实用价值。例如它是逼近理论的基础，是进行近似计算的一种有用的工具. 在许多带有应用性质的问题中（如解微分方程等）常常用到级数.,4.1 复级数的基本性质,2、复数项级数,3、复函数项级数,4、解析函数项级数,1、复数列的极限,1、 复数列的极限,1.1定义,记作,问题1：,1.2 复数列收敛的条件,1.2 复数列收敛的条件,那末对于任意给定的,就能找到一个正数N,证,从而有,所以,同理,反之, 如果,从而,注2:,注1:,两个实数列相应项之和、差、积、商所成数列的结果可以推广到复数

2、数列.,注3:,定理：复数列收敛的Cauchy准则,从而,证,而,由实数列的柯西收敛准则知，序列,2.1 定义,表达式,称为复数项级数.,称为级数的部分和.,部分和：,若部分和数列sn(n=1,2,)以有限复数s为极限,2、复数项级数,即,2.2 收敛与发散（敛散性）,注： 与实数项级数相同, 复数项级数的敛散性转化为部分和数列的敛散性:,则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成,否则若复数列sn(n=1,2,)无有限极限,则称级数(4.1)为发散.,问题2：,2.3 复数项级数收敛的条件,定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,),an及bn为实数,则复级数(

3、4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:,分别收敛于a及b.,2.3 复数项级数收敛的条件,实数项级数,注：该定理的说明复数项级数的审敛问题可转化为,实数项级数的审敛问题,分别收敛于a及b,必要条件,重要结论:,解,例1、,所以原级数发散,问题2：复级数是否有Cauchy收敛的准则？,定理：复数列收敛的Cauchy准则,定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为:对任给0,存在正整数N(),当nN且p为任何正整数时,推论2 收敛级数的各项必是有界的.,推论1 收敛级数的通项必趋于零:,(事实上，取p=1,则必有|an+1|)，常用其等价命题：,不存在，则级

4、数(4.1)发散,推论3 若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原 级数同为收敛或同为发散.,问题3:,定理 4.3 复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数 收敛.,2.4 绝对收敛与条件收敛,证 由于,注:由定理4.3知:绝对收敛级数必收敛.,或有如下证明:,证,由于,而,根据实数项级数的比较准则, 知,由定理4.1可得,证毕,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,说明,如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛.,定义,所以,综上:,所以,综上:,重要结论:,级数发散;,应进一步判断.,正项级数判别法,返回,比较判别法、比式判别法和根式判别法,交错级数判别法,一般项级数判别法,定理 (

5、比较原则),级数, 如果存在某正数N, 对一切 n N 都有,则,数，且,则,则,数,且,交错级数,若级数的各项符号正负相间, 即,则称为交错级数.,定理 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足:,则级数(1)收敛.,例2,解,级数满足必要条件,但,例3,故原级数收敛, 且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,四、小结与思考,通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质.,思考题,思考题答案,否.,放映结束，按Esc退出.,定理4.4 (1)一个绝对收敛的复级数的各项

6、可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.(2)两个绝对收敛的复级数 s=a1+a2+an+ s/=a1/+a2/+an/+可按右图所示的对角线法（Cauchy乘积）,得出乘积级数,a1a1+(a1a2+a2a1)+(a1an+a2an-1+ +ana1)+它收敛于ss.,该定理证明见余家荣编的教材复变函数,3.1 定义4.3 设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+fn(z)+ (4.2)的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,级数4.2均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:,3、复函数项级数,用N的说法来

7、描述这件事就是:,级数,收敛,级数,发散.,且有,级数的部分和为,解,的收敛范围与和函数.,例1 求级数,定义4.4 对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数f(z),使对任给的0,存在正整数N=N(e),当nN时,对一切的zE均有 |f(z)-sn(z)|,则称级数(4.2)在E上一致收敛于f(z).记作:,写出级数(4.2)在E上 不 一致收敛的定义.,定理4.5 (柯西一致收敛准则)级数(4.2)在点集E上一致收敛于某函数的充要条件是:任给的0,存在正整数N=N(),使当nN时,对于一切zE,均有 |fn+1(z)+fn+p(z)| (p=1,2,).,写出柯西一致收敛准则的否定叙述

8、：,3.2 函数项级数一致收敛的判别法,Weierstrass优级数准则: 如果正数列Mn(n=1,2,),使对一切zE,有 |fn(z)|Mn (n=1,2,),而且正项级数 收敛,则复函数项级数 在点集E上绝对收敛且一致收敛。 这样的正向级数 称为函数项级数的优级数(强级数).,Weierstrass优级数准则,注：判别复函数项级数的一致收敛性转化为判别正项级数的收敛性。另外准则还可判定绝对收敛性。,3.3 复函数项级数和函数的性质,问题：,数学分析中函数项级数和函数的分析性质有哪些？,1.连续性定理,定理2 (逐项求积定理) 若函数项级数,定理3 (逐项求导定理) 若函数项级数,定理2

9、(逐项求积定理) 若函数项级数,复函数项级数逐项可积性,定理4.7 设级数 的各项在 曲线C上连续,并且 在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:,定理4.6 设级数 的各项在点集E上连续,并且一 致收敛于f(z),则和函数 也在E上连续.,定理4.7 设级数 的各项在 曲线C上连续,并且 在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:,逐项可积性,连续性,2.3 复函数项级数和函数的性质,以上证明对照数学分析写出或参阅北京大学出版社教材方企勤编复变函数教程。,定义4.5 设函数fn(z)(n=1,2,)定义于区域D内,若级数 (4.2)在D内任一有界闭集上一致收敛,则称此级 数在D内闭

10、一致收敛.,内闭一致收敛,定理4.8 设级数(4.2)在圆K:|z-a|R内闭一致收敛的充要条件为:对于任意正数,只要R,级数(4.2)在闭圆Kp:|z-a| 上一致收敛. 证 必要性 因为Kp,就是K 内的有界闭集. 充分性 因为圆K内的任意闭集F,总可以包含在圆K内的某个闭圆Kp上. 显然,在区域D内一致收敛的级数必在D内内闭一致收敛,但其逆不真.例如我们考察几何级数,当|z|1时,此级数收敛,但不一致收敛.可是由例4.2知它在单位圆|z|1内是内闭一致收敛的.,定理3 (逐项求导定理) 若函数项级数,定理4.9 设 (1)fn(z) (n=1,2,)在 区域D内解析,则 (1) f(z)

11、在区域D内解析,4、解析函数项级数(魏尔斯特拉斯定理),在区域D内内闭一致收敛于函数f(z):,证 (1)设z0为D内任一点,则必有0,使闭圆K:|z-a| 全含于D内.若C为圆K:|z-z0| 内任一围线,则由柯西积分定理得,再由假设即知级数 在K上一致收敛,且fn(z)是连续的.所以有定理4.6知f(z)在K上连续,由定理4.7得,于是,由摩勒拉定理知f(z)在K内解析,即f(z)在点z0解析.由于z0的任意性,故f(z)在区域D内解析.,(p=1,2,),(2) 设z0为D内任一点, 则必有 0，使闭圆K:|z-z0| 全含于D内,K的边界是圆周:|z-z0|= 故有定理3.13有,在上由条件(2)知级数,是一致收敛的.于是由定理4.7得到,两端同乘以 就得到所要证明的,1、魏尔斯特拉斯定理的第三个结论证明参阅北京大学出版社教材方企勤编复变函数教程,注：,2、魏尔斯特拉斯定理的推广形式参阅北京大学出版社教材方企勤编复变函数教程,魏尔斯特拉斯（1815-1897）,用幂级数表示解析函数； 把多项式与有理函数理论推广到超越函数，用幂级数定义了超越整函数，并得到了整函数分解为无穷乘积和半纯函数可表示为两个整函数之商的重要结果； 引进了解析开拓的概念，并用它定义了完全解析函数。 提出了函数项级数的一致收敛及其判别准则,