复变函数与积分变换 第8章 拉普拉斯变换ppt课件.ppt

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1、第8章 拉普拉斯变换,本章学习目标 1、理解拉普拉变换的概念与性质； 2、掌握拉普拉变换的逆变换； 3、了解拉普拉斯变换的应用。,第8章 拉普拉斯变换,8.1 拉普拉斯变换的概念与性质,在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为,8.1.1拉普拉斯变换的概念,定义8.1 设函数 当 有定义,而且积分,是一个复参量）,我们称上式为函数 的拉普拉斯变换式 ,记做,叫做,的拉氏变换,象函数.,叫做,的拉氏逆变换,象原函数,= ,的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数,拉普拉斯变换存在定理,若函数,满足下列条件, 在,的任一有限区间上连续或分段连续,时, 当,时,及,使得,成立,则函数

2、 的拉氏变换,在半平面 上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 为解析函数,一些常用函数的拉普拉斯变换,【例2 】求单位阶跃函数 的拉氏变换,解,【例1 】求单位脉冲函数 的拉氏变换,解,【例3 】求函数 的拉氏变换,解,【例4 】求单位斜坡函数 的拉氏变换,解,【例5 】 求幂函数 的拉氏变换,解,当,为正整数时,【例6 】 求正弦函数 的拉氏变换,解,则,所以,即,同理可得,如,是周期为,当 在一个周期上连续或分段连续时,则有,周期函数的拉普拉斯变换,这是求周期函数拉氏变换公式,的周期函数,即,可以证明:若,8.1.2 拉普拉斯变换的性质,1 线性性质,设,为常数

3、，则,2 平移性质（1）象原函数的平移性质,为非负实常数,则,【例7 】求函数,的拉氏变换,解 因为,所以,若,（2）象函数的平移性质,为实常数,则,若,这个性质表明，象原函数乘以 ，等于其象函数做位移,( 为正整数).,【例8】求,解 因为,所以,3.延滞性质,若 则,这个性质表明，时间延迟了 个单位，相当于象函数乘以指数因子,则,4 微分性质（1）象原函数的微分性质,一般地,若,特别地,当,时,可以证明,（2）象函数的微分性质,若,则,从而,这个性质表明，一个函数求导后取拉普拉斯变换，等于这个函数的拉普拉斯变换乘以参数 再减去这个函数的初值,【例9 】 求函数,解 因为,同理,所以,5 积

4、分性质,若,则,（1）象原函数的积分性质,一般地,且积分 收敛,若,则,（2）象函数的积分性质,一般地,或,推论,若,则,且积分 收敛,【例10 】 求,解 因为,所以,亦可得,拉普拉斯还有一些其他性质，如相似性质,若,= ,则,有兴趣者可以查阅相关书籍,第8章 拉普拉斯变换,8.2 拉普拉斯变换的逆变换,求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等. 查表法是一种简单、快速、有效的求拉普拉斯逆变换的基本方法,但是它局限于表中类型.,根据拉普拉斯变换的定义,右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.,8.2.1 利用部分积分法求拉普拉斯逆变换,在用拉普拉斯

5、变换解决工程技术中的应用问题时，经常遇到的象原函数是有理分式，一般可将其分解为部分分式之和，然后再利用拉普拉斯变换表求出象原函数.【例1】求 的拉普拉斯逆变换. 解 先将函数分解为部分分式之和,用待定系数法求得所以则有,8.2.2 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换,一些常用函数的拉氏变换,拉氏逆变换的性质,【例2】已知,求,解,所以,【例3】已知,求,解,所以,【例4】 已知,求,解,所以,【例5】 已知,求,解,所以,利用留数定理求拉氏逆变换，可以参考第5章及相关书籍.,第8章 拉普拉斯变换,8.3 拉普拉斯变换的应用,8.3.1 常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法,利用拉普拉斯变

6、换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.,【例1 】求微分方程,满足初始条件,的解,解 设,对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得,解得,所以,8.3.2 电路问题的拉普拉斯变换解法,【例8.2】在RLC电路中。串接直流电源E(如图).求回路电流 解 根据基尔霍夫定律，有 其中 即,而将它们代入上式可得两边取拉普拉斯变换，设 ，则有解出 ，得求 的拉普拉斯逆变换，得,特别地，若则查表得,