复变函数与积分变换 第7章 傅立叶变换ppt课件.ppt
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1、第7章 傅里叶变换,本章学习目标 1、了解傅里叶积分; 2、理解傅里叶变换; 3、掌握 函数及傅里叶变换; 4、熟悉傅里叶变换的性质.,积分变换,所谓积分变换,就是把某函数类A中的函数(象原函数) 乘上一个确定的二元函数 ,然后计算积分,即 这样变成另一个函数类B中的函数(象函数).根据选取的二元函数(核函数)不同,就得到不同名称的积分变换.,第7章 傅里叶变换,7.1傅里叶变换的概念与性质,4,7.1.1 傅里叶积分,1、 连续或只有有限个第一类间断点2、 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.,在高等数学中学习傅里叶级数时知道,研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期
2、内的情况即可, 通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间-T/2,T/2上,5,因此, 任何满足狄氏条件的周期函数 , 可表示为三角级数的形式如下:,6,而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:,其中,7,例1 定义方波函数为,如图所示:,1,-1,o,t,f(t),1,8,现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则,9,则,10,sinc函数介绍,11,sinc函数的图形:,sinc(x),x,12,前面计算出,w,13,现在将周期扩大一倍, 令T
3、=8, 以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t),1,-1,7,T=8,f8(t),t,14,则,15,则在T=8时,w,16,如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出,w,17,一般地, 对于周期T,18,当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是f(t)的各个频率成份上的分布, 称作f(t)的傅里叶变换.,19,对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是
4、由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在-T/2,T/2之内等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f(t), 即有,20,21,22,如图,O w1 w2 w3 wn-1wn,w,23,24,此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式, 简称傅氏积分公式,而等号右端的积分式称为 的傅里叶积分(简称傅氏积分).,若函数 在任何有限区间上满足狄氏条件(即函数在任何有限区间上满足:(1)连续或只有有限个第一类间断点;(2) 至多有有限个极值
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