复变函数与积分变换课堂ppt课件第三章.ppt

《复变函数与积分变换课堂ppt课件第三章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换课堂ppt课件第三章.ppt（104页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第三章 复变函数的积分,1 复变函数积分的概念,2 柯西古萨基本定理,3 基本定理的推广,复合闭路定理,4 原函数与不定积分,5 柯西积分公式,6 解析函数的高阶导数,7 解析函数与调和函数的关系,1 复变函数积分的概念,1.积分的定义,2.积分存在的条件及其计算法,3.积分的性质,1. 积分的定义,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正,向)，则将 C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。,设曲线 C的两个端点为 A与 B，如果将 A到 B的方向,作为C的正方向，则从 B到 A的方向就是C的负方向，,。 常将两个端点中一个作为起点，另一个,作为终点，则正方向规定为起点至终点的方向。,

2、设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。,并记作,而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点 P 顺此,方向沿该曲线前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P,点的左方。相反的方向就是曲线的负方向。,定义,终点为B的一条光滑有向,设w=f (z)定义在区域 D内，C是 D内起点为 A,曲线。C任意分成n个弧,段，设分点为,的长度 ，,当n无限增加且,趋于零，如,有唯一极限，则称其为,f (z)沿曲线 C的积分，记作,容易看出, 当C是x轴上的区间axb, 而f (z)=u (x)时,这个积分定义就是一元实函数定积分的定义。,如果C为闭曲线，则沿此闭曲线的积分记作,2. 积分存在的条件及计算法,给出,

3、 正方向为参数增加的方向, 参数 a及b对应于起点,如果 f (z) = u (x, y) + iv (x, y)在D内处处连续，则,u (x, y) 及 v (x, y)均为D内的连续函数。设 zk= xk+ ihk，,设光滑曲线C由参数方程,A及终点B, 并且 。,由于,所以，有下面的式子：,由于u, v都是连续函数, 根据线积分的存在定理,当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 不论对,不论对C的分法如何， 点( xk, hk )的取法如何，上式,右端的两个和式的极限都是存在的。因此有,上式在形式上可以看作是,与,所以是比较容易记住的。,相乘后求积分得到：,而且上式说明了两个问题：,i

4、 ) 当 f (z) 是连续函数而 C 是光滑曲线时，积分,是一定存在的。,可以通过两个二元实变函数的线积分,来计算。,根据线积分的计算方法，有,上式右端可以写成,所以,今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续,的，曲线C是按段光滑的。,如果C是由C1, C2, . , Cn等光滑曲线首尾连接而成,则定义,解直线的方程可写作,或,在C上,。于是,又因,容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以,的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，,都等于,解直线的方程可写作,计算积分,例 分别沿y = x与,在C上,。于是,抛物线的方程可写作,在C上,。于是,的正向圆周, n为整数。,例2

5、 计算, 其中C为以z0为中心, r为半径,当n = 0时，结果为,所以,解 C的方程可写作,这个结果以后经常要用到, 它的特点是与积分路线圆周,的中心和半径无关，应当记住。,所以,这是因为,1) 沿原点到点,例3 计算,的值，其中C为,所接成的折线。,解,的直线段,2) 沿从原点到点,的直线段,段,3. 积分的性质,则,( k为常数),复函数的积分也有下列一些简单性质，与实变函,数中定积分的性质类似的：,线因此便得不等式的第一部分，又因,两端取极限，得,两点之间的弧段的长度，所以,所以,这是不等式的第二部分。,绝对值的一个上界。,例4,设C为从顶点到点3+4i的直线段，试求积分,解,C的方程

6、为,。由估值不,等式得,从而有,而,，所以,在C上，,2 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理,或沿封闭曲线的积分值为零的条件，可能与被积函数,的解析性及区域的单连通性有关。究竟关系如何，不,妨先在加强条件下做些初步探讨。假设 f (z) = u + iv在,单连通域B内处处解析，且,连续的，且满足柯西-黎曼方程,从上节的几个例题中思考，积分的值与路线无关,在B内连续。由于,所以 u 和 v 以及它们的偏导数,在 B 内都是,则有,其中C为B内任何一条简单闭曲线，从格林公式与柯西-,黎曼方程(路线 C 取正向)得,其中D是C所围的区域, 所以上式的左端为零。,闭曲线的积分为零。实

7、际上，,是不必要的。因此有下面一条在解析函数理论中最基,本的定理。,因此在上面的假设下，函数 f (z)沿B内任何一条,在 B 内连续的假设,柯西-古萨基本定理,内处处解析, 则在B内任何一条封闭曲线C的积分为零:,如果函数 f (z)在单连通域 B,定理中曲线C 可以不是简单曲线。,这个定理又称柯西积分定理。,柯西-古萨基本定理成立的条件之一是曲线 C 要,属于区域B。如果曲线C是B的边界, 函数 f (z) 在B内与,解析，甚至 f (z)在 B内解析, 在闭,区域B+C上连续, 则 f (z)在边界上,C上解析，即在闭区域 B + C 上,的积分仍然有,解 由积分运算的性质可知,的正向,

8、例 计算积分,其中,利用柯西古萨基本定理,因此有,3 基本定理的推广,复合闭路定理,在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域,里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。,设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条,简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分,设C及C1为D内任,方向)简单闭曲线, C1,就不一定为零。,意两条(正向为逆时针,在C内部, 且以C及C1,为边界的区域D1全含,于D。,D1,其中A, B在C上, AB,D内的简单闭曲线,。如右图，,及,在C1上构成两条全在,作两条不相交的弧线,分析，得知,将上面两等式相加, 得,D1,D1,将上面两式相加

9、, 得,即,或,上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不,因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变,形过程中不经过函数,闭路变形原理。,变形过程中不能够经过 f (z)不解析的点,一重要事实，称为,f (z)不解析的点。这,闭曲线, C1,C2,.,Cn是在C内部的简单闭曲线, 它们互不包,含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ., Cn为边界的区域全含,于D。如果 f (z)在D内解析, 则,设C为多连通域D内的一条简单,定理(复合闭路定理),为由C及Ck(k=1,2,.,n),所组成的复合闭路(C按,顺时针, Ck按逆时针)。,例如 从本章1的例2知: 当C为以z

10、0为中心的正向,所以，根据闭路变形原理，对于包含z0的任何一条正向,圆周时,解 函数,的任何正向简单闭曲线。,是处处解析的。,线, 因此, 它也包含这两个奇点。,在G 内作两个互不包含也互不,相交的正向圆周C1与C2，C1只,例 计算,在复平面内除z=0和z=1两个奇点外,包含奇点 z = 0，C2只包含奇点 z=1。,则根据复合闭路定理可得,从这个例子可以看到：借助于复合闭路定理，有些,比较复杂的函数的积分可以化为比较简单的函数的积分,来计算它的值。这是计算积分常用的一种方法。,解 函数,的正向。,外是处处解析的。,C 内作三个互不包含也互不相交的,正向圆周C1，C2，C3，C1只包含,例

11、计算,在复平面内除z=0, i, -i三个奇点,由于C是圆周|z-3|=1, 它包含这三个奇点。因此在,奇点 z = 0，C2只包含奇点 z=i，,C3只包含奇点 z=-i。,则根据复合闭路定理可得,解 函数,的正向。,外是处处解析的。,C 内作三个互不包含也互不相交的,正向圆周C1，C2，C3，C1只包含,例 计算,在复平面内除z=0, i, -i三个奇点,由于C是圆周|z-3|=1, 它包含这三个奇点。因此在,奇点 z = 0，C2只包含奇点 z=i，,C3只包含奇点 z=-i。,则根据复合闭路定理可得,4 原函数与不定积分,z1,z2,B,C1,C2,z1,z2,C1,C2,B,定理一,

12、如果函数 f (z)在单连通域B内处处解析,由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积分只与,起点z0和终点z1有关, 如图所示, 有,z1,z2,B,C1,C2,z1,z2,C1,C2,B,固定z0，让z1在B内变动，令z1=z，则积分,在B内确定了一个单值函数,对这个函数我们有下面的定理。,证 从导数的定义出发来证。设z为B内任意一点,以z为中心作一含于B内的小圆K, 取,定理二,如果 f (z)在单连通域B内处处解析, 则函数,F(z)必为B内的一个解析函数, 并且,在K内。于是可得,充分小使,又因,从而有,因此根据积分的估值性质有,这就是说,即,这个定理跟微积分学中的对变上限积分的求导定

13、理,完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的,基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。,容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。,设G (z)和H (z)是 f (z)的何任两个原函数, 则,定义,所以,c为任意常数。,因此, 如果函数 f (z)在区域B内有一个原函数 F (z),即,则，它就有无穷多个原函数, 而且具有一般表达式,F(z) +c，c为任意常数。,可推得跟牛顿-莱布尼兹公式类似的解析函数积分计,跟在微积分学中一样，定义：f (z)的原函数的一,般形式F (z) + c (其中c 为任意常数)为 f (z)的不定积分,利用任意两个原函数之差为一常数这

14、一性质，,记作,算公式。,证 因为,也是 f (z)的原函数, 所以,或,f (z)的的一个原函数, 则,如果 f (z)在单连通域B内处处解析, G(z)为,这里z0, z1为域B内的两点。,定理三,解,原函数为zsin z + cos z。所以,函数 zcos z在全平面内解析, 容易求得它有一个,有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数,的积分就可用跟微积分学中类似的方法去计算。,在所设区域内解析。它的一个原函,例2 试沿区域,内的圆弧|z|=1, 计算,解 函数,解,例 求下列积分的值:,或,解,例1 求下列积分的值:,解,例1 求下列积分的值:,5 柯西积分公式,都是相同的。现在

15、来求这个积分的值。,形原理，这积分的值沿任何一条围绕,的简单闭曲线,析，则函数,在,不解析。所以在B内围绕,的一条,闭曲线C的积分,一般不为零。又根据闭路变,则取以z0为中心，半径为的很小的圆周,既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同。,(取其正向)作为积分曲线C。,由于 f (z)的连续性，在C上的函数 f (z)的值将随着,的值也将随着d的缩小而接近于,其实两者是相等的, 即,因此有下面的定理。,的缩小而逐渐接近于它在圆心 z0 处的值, 从而可以,猜想,析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完,全含于D，z0为C内的任一点，则,如果 f (z)在区域D内处处解,定理(柯西积

16、分公式),周K:|z-z0|=R全部在C的内部,时, 存在, 当,证 由于 f (z)在z0连续, 任给,设以z0为中心, R为半径的圆,对上式右边第二个式子整理可得,这表明不等式右端积分的模可以任意小, 只要R足够小,就行了, 根据闭路变形原理, 该积分的值与R无关, 所以,只有在对所有的 R 积分值为零才有可能, 因此, 上式即,为要证的式子。,上式称为柯西积分公式。,如果 f (z)在简单闭曲线C所围成的区域内及C上解,析，那么公式仍然成立。即,即, 解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。,解 由公式有,例 求下列积分(沿圆周方向)的值：,解 由公式有,例 求下列积分(沿圆周方向)

17、的值：,解,例 求下列积分(沿圆周方向)的值：,解 被积函数,例 计算积分,C分别为：,有两个奇点：,(1)在,内有奇点,，故,解 被积函数,例 计算积分,C分别为：,有两个奇点：,(2)在,内有奇点,，故,解 被积函数,例 计算积分,C分别为：,有两个奇点：,(3)由复合闭路定理，有,6 解析函数的高阶导数,一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导,数，它的值也可用函数在边界上的值用积分来表示。,这一点和实变函数完全不同。一个实变函数在某一区,间上可导，它的导数在这区间上是否连续也不一定，,更不要说它有高阶导数存在了。,其中C为在函数 f (z)的解析区域 D内围绕 z0的任何一条,证 设

18、z0为D内任意一点, 先证 n =1的情形, 即,正向简单曲线, 而且它的内部全含于D。,关于解析函数的高阶导数有下面的定理。,定理 解析函数 f (z)的导数仍为解析函数, 它的 n,阶导数为：,先按定义有,因此就是要证,从而有,令,则,又因为f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上,| f (z)| M。d为z0到C上各点,所以,再利用同样的方法去求极限：,便可得,这也就证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数。,得了,依此类推, 用数学归纳法可以证明：,此公式可以这样记忆： 把柯西积分公式的两边对,z0 求 n 阶导数，右边求导在积分号下进行，求导时把,被积函数看作是z0的函

19、数, 而把 z 看作常数。,在于通过求导来求积分。,高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导, 而,解,1) 函数,在C内的z=1处不解析, 但,在C内却是处处解析的。有,例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周:| z |=r1。,解,2) 函数,在C内的,C内以i和,闭路定理,i为中心作两个正向圆周,。则此函数,在由C，,和,所围成的区域内是解析的。根据复合,处不解析。在,由定理有,同样可得,因此,解,1) 函数,在C内的z=0处不解析, 但,在C内却是处处解析的。有,例 求下列积分的值, 其中C为正向圆周：| z |=1。,解,2) 函数,在C内的z=0处不解析, 但,在C内却是处处解析

20、的。有,例 求下列积分的值, 其中C为正向圆周：| z |=1。,解,3) 函数,在C内的z=0处不解析, 但,在C内却是处处解析的。有,例 求下列积分的值, 其中C为正向圆周：| z |=1。,解 被积函数,例 计算积分,C分别为：,有两个奇点：,(1)在,内有奇点,，故,解 被积函数,例 计算积分,C分别为：,有两个奇点：,(2)在,内有奇点,，故,解 被积函数,例 计算积分,C分别为：,有两个奇点：,(3)在,内有奇点,，故,例2 设函数 f (z)在单连通域B内连续，且对于B内任,证,然后还可以用证明定理二相同的方法，证明,函数的导数仍为解析函数，故 f (z)为解析函数。,所以F (

21、z)是B内的一个解析函数，再根据上面定理知解析,何一条简单闭曲线C都有, 证明 f (z)在B内,它定义了一个z的单值函数：,解析(Morera)。,7解析函数与调和函数的关系,问题：,则 和 的二阶偏导有,什么性质？,即在内满足拉普拉斯(Laplace)方程：,分析：,故有,同理,设 在区域内解析，得,问题：,则 和 的二阶偏导,有什么性质？,这里,是一种运算记号，称为拉普拉斯算子。,则称 为区域 内的调和函数。,连续偏导数，且满足拉普拉斯(Laplace)方程,即,定理 若 在区域 内解析，,必为(共轭)调和函数。,从而,则,根据解析函数高阶导数定理，u与v具有任意阶的,连续偏导数，所以,

22、因此u与v都是调和函数。,同理,从而,根据解析函数高阶导数定理，u与v具有任意阶的连,续偏导数，所以,设u(x, y)为区域D内给定的调和函数，把使u+iv在D,内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x, y)的共轭调和,函数。换句话话，在D内满足柯西-黎曼方程,利用柯西-黎曼方程求得它的共轭调和函数v，从而构成,应当指出，如果已知一个调和函数 u，那么就可以,于解析函数的理论解决函数的问题。在第六章将举例说,解析函数和调和函数的上述关系，使我们可以借助,一个解析函数 u+iv。下面举例说明求法。这种方法可以,称为偏积分法。,明解析函数在这个方面的应用。,的两个调和函数中，v称为u的共轭

23、调和函数。因此，上,面的定理说明：区域D内的解析函数的虚部为实部的共,轭调和函数。,这就证明了u(x, y)为调和函数。,所以,例1证明,2) 由,为调和函数，并求其共,，得,解 1) 因为,轭调和函数v(x, y)和由它们构成的解析函数。,从而得到一个解析函数,这个函数可以化为,此例说明，已知解析函数的实部，就可以确定它的,虚部，至多相差一个任意常数。下面的例子则说明类似,地由解析函数的虚部(可能相差一个常数)它的实部。,故,因此,，得,由,例2 已知一调和函数,，使 f (0)=0。,一解析函数,解,由,因为,得,，求,故,由,，得,因此,它可以写成,而,由 f (0)=0，得 c=0，所

24、以所求的解析函数为,已知解析函数 f (z)= u+iv的导数,析函数 f (z) = u+iv的方法。,下面再介绍一种已知调和函数 u (x, y)或v (x, y)求解,且有,仍为解析函数,把,与,还原成z的函数(即用z来表示)，得,将它们积分，即得,与,已知实部 u 求 f (z)可用(3.7.2)；已知虚部 v 求 f (z),可用(3.7.3)。,其中c为任意实常数。,故,不可能包含实的任意常数。所以,在上面的例子中，因,，故,从而,又如上面的例2，因,积分，得,，故,从而,其中c为实常数。,以上这种方法可以称为不定积分法。,例 验证,解,于是,，故在右半平面内，,函数。所以有,是调

25、和,所以可得,，于是有,(C任意常数).,故,它在右半平面内单值解析。,例 求具有下列形式的所有调和函数u:,解 令,因为u满足Laplace方程：,即,，则,即,两边积分，得,再次两边积分，得,则,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有,(补充)一、格林公式,(补充)二平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,与路径无关 (或沿D内任意闭曲线的曲线积分为零) 的,函数,则曲线积分,在D 中,充分必要条件是,